文档内容
2022年青海省西宁市城区中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）下列各数是负数的是（ ）
A．0 B． C．﹣（﹣5） D．
2．（3分）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．11
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a2b）3＝a6b3 D．a6÷a6＝a
4．（3分）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
5．（3分）家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩
子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽
取了部分七年级学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下频数分布表：
组别 一 二 三 四
劳动时间 0≤x＜1 1≤x＜2 2≤x＜3 x≥3
x/h
频数 10 20 12 8
根据表中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是50人
B．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组
C．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组
D．若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有100人
6．（3分）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．
如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个
钩码质量是50g．若OA＝20cm，OB＝40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重
物的质量为xg，根据题意列方程得（ ）A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3
C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×50
7．（3分）如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点
B；分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，
画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错
误的是（ ）
A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
8．（3分）如图，△ABC中，BC＝6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且
EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（
）A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在
答题卡对应的位置上）
9．（2分）﹣ 的绝对值是 ．
10．（2分）计算：3x2•（﹣2xy3）＝ ．
11．（2分）若正n边形的一个外角是36°，则n＝ ．
12．（2分）某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会上的重要讲
话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是 ．
13．（2分）如图，直线y ＝k x与直线y ＝k x+b交于点A（1，2）．当y ＜y 时，x的取值范围是
1 1 2 2 1 2
．
14．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，则cosA＝ ．
15．（2分）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且
∠AFB＝90°，则EF＝ ．
16．（2分）如图，等边三角形ABC内接于 O，BC＝2 ，则图中阴影部分的面积是 ．
⊙
17．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝ ．
18．（2分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上
一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是 ．
三、解答题（本大题共9小题，第19、20、21、22题每题7分，第23、24题每题8分，第25、26
题每题10分，第27题12分，共76分．解答时将必要的文字说明、证明过程或演算步骤写在
答题卡相应的位置上）
19．（7分）计算：（﹣2）3+ +（ ）﹣1．
20．（7分）解不等式组： ，并写出该不等式组的最大整数解．
21．（7分）解方程： ﹣ ＝0．
22．（7分）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后
列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
（1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是
（填“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．
如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，
并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏
绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域
就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请
用画树状图或列表的方法求出甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能
的结果．23．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．
24．（8分）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，4），点B
在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的
坐标．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的 O与AC相切
于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M． ⊙
（1）求证：四边形EMFC是矩形；
（2）若AE＝ ， O的半径为2，求FM的长．
⊙26．（10分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，
再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分
解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解
一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若
直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
27．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线
AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请
说明理由．2022年青海省西宁市城区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）下列各数是负数的是（ ）
A．0 B． C．﹣（﹣5） D．
【分析】先化简各式，然后再进行判断即可．
【解答】解：A．0既不是正数也不是负数，故A不符合题意；
B． ＞0，故B不符合题意；
C．﹣（﹣5）＝5＞0，故C不符合题意；
D．﹣ ＜0，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了负数的定义．解题的关键是掌握负数的定义，要注意0既不是正数，
也不是负数．
2．（3分）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．11
【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐个判断即可．
【解答】解：∵长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，
∴6﹣4＜a＜6+4，
∴2＜a＜10，
∴只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理是解此题的关
键，注意：三角形的任意两边之和都大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a2b）3＝a6b3 D．a6÷a6＝a
【分析】用完全平方公式，合并同类项，幂的运算法则依次判断即可．【解答】解：∵a2，a4不是同类项，不能合并，
∴A不合题意．
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴B不合题意．
∵（a2b）3＝a6b3，
∴C符合题意．
∵a6÷a6＝a0＝1，
∴D不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的运算法则，掌握相应法则是求解本题的
关键．
4．（3分）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
【分析】利用Δ的符号求出k的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴12﹣4×2×（﹣k）＜0，
∴1+8k＜0，
∴k＜﹣ ．
故选A．
【点评】本题考查一元二次方程解的情况，掌握一元二次方程没有实数根的条件是求解本
题的关键．
5．（3分）家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩
子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽
取了部分七年级学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下频数分布表：
组别 一 二 三 四
劳动时间 0≤x＜1 1≤x＜2 2≤x＜3 x≥3
x/h
频数 10 20 12 8
根据表中的信息，下列说法正确的是（ ）A．本次调查的样本容量是50人
B．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组
C．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组
D．若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有100人
【分析】利用样本容量、众数、中位数及样本估计总体分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A．本次调查的样本容量是50，原说法错误，故本选项不合题意；
B．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组，说法正确，故本选项
符合题意；
C．无法判断本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在哪一组，原说法错误，
故本选项不合题意；
D．若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有500×
＝80（人），原说法错误，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了样本容量、众数、中位数及样本估计总体，理解这些概念的意义是正确
做出判断的前提．
6．（3分）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．
如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个
钩码质量是50g．若OA＝20cm，OB＝40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重
物的质量为xg，根据题意列方程得（ ）
A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3
C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×50
【分析】利用重物的质量×OA的长度＝3个钩码的质量×OB的长度，即可得出关于x的一
元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：20x＝40×50×3．故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
7．（3分）如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点
B；分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，
画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错
误的是（ ）
A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
【分析】利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判
定定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B，
∴OA＝OB，
∵∠MON＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴A的结论正确，不符合题意；
∵分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，
∴PA＝PB，
在△OPA和△OPB中，
，
∴△OPA≌△OPB（SSS），∴∠POA＝∠POB．
∵PE⊥OM，PF⊥ON，
∴PE＝PF．
∴B的结论正确，不符合题意；
∵PE⊥OM，PF⊥ON，
∴∠PEA＝∠PFB＝90°．
在Rt△PAE和Rt△PBF中，
，
∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）．
∴C的结论正确，不符合题意；
由作图过程可知：OB与PB不一定相等，
∴四边形OAPB是菱形不成立，
∴D的结论错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，
基本作图和菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，BC＝6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且
EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（
）
A．B．
C．
D．
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而
求出函数关系式，由此即可求出答案．
【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
根据相似比可知： ＝ ，
即EF＝2（3﹣x）
所以y＝ ×2（3﹣x）x＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣ ）2+ ．∴y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣ ）2+ ．
纵观各选项，只有（A）选项图象符合．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出y与x的函数
关系式是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在
答题卡对应的位置上）
9．（2分）﹣ 的绝对值是 ．
【分析】利用绝对值定义计算即可．
【解答】解：|﹣ |＝ ；
故答案为： ．
【点评】考查绝对值的计算，关键要掌握绝对值的定义．
10．（2分）计算：3x2•（﹣2xy3）＝ ﹣ 6 x 3 y 3 ．
【分析】根据单项式乘单项式，把系数和相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字
母，则连同它的指数，作为积的一个因式．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算即可．
【解答】解：3x2•（﹣2xy3），
＝3×（﹣2）•（x2•x）y3，
＝﹣6x3y3．
故填﹣6x3y3．
【点评】先确定符号，相应的关于整式乘除法的法则需熟练掌握且区分清楚，才不容易出
错．
11．（2分）若正n边形的一个外角是36°，则n＝ 1 0 ．
【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
【解答】解：n＝360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和
求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
12．（2分）某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会上的重要讲
话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是 ．
【分析】直接根据概率求解即可．
【解答】解：∵共有50人，男生有26人，
∴随机抽取1人，恰好抽中男生的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率的求法．通过所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件结果数
目m，然后根据概率公式P＝ 求出事件概率．
13．（2分）如图，直线y ＝k x与直线y ＝k x+b交于点A（1，2）．当y ＜y 时，x的取值范围是
1 1 2 2 1 2
x ＜ 1 ．
【分析】根据两函数的交点坐标和函数的图象得出x的范围即可．
【解答】解：∵直线y ＝k x与直线y ＝k x+b交于点A（1，2），
1 1 2 2
∴当y ＜y 时，x的取值范围是x＜1，
1 2
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集
是解此题的关键．
14．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，则cosA＝ ．
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出cosA即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ ，所以cosA＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
15．（2分）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且
∠AFB＝90°，则EF＝ 1 ．
【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝ BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半得到DF＝ AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝4．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，
∴DF＝ AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半的相关内容，题目比较好，难度适中．
16．（2分）如图，等边三角形ABC内接于 O，BC＝2 ，则图中阴影部分的面积是
⊙
．【分析】根据内接于圆O的等边三角形的性质可得S△AOB ＝S△AOC ，∠AOC＝120°，将阴影
部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴S△BOC ＝S△AOC ，∠AOC＝120°，
在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝120°，BC＝2 ，
∴OB＝OC＝2，
∴S阴影 ＝S扇形AOC ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的
关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转
15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝ 3 ﹣ 3 ．
【分析】先在含30°锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边
相等、对应角相等得到AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3 ，即可解答．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，
∴AC＝3，BC＝3 ，∠CAB＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB′C′，∠C'AE＝45°，
∴AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3 ，
∴B'E＝B'C'﹣C'E＝3 ﹣3．
【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角
形的性质的应用，解题关键是熟练掌握旋转的性质．
18．（2分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上
一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是 5
或 4 ．
【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE＝
AE＝5 即可；
②当P E＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P B，再由勾股定理求出底边AP 即可．
1 1 1
【解答】解：如图所示，
①当AP＝AE＝5时，
∵∠BAD＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE＝ AE＝5 ；
②当P E＝AE＝5时，
1
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，
∴P B＝ ，
1
∴底边AP ＝ ；
1
综上所述：等腰三角形AEP 的底边长为5 或4 ；
1
故答案为：5 或4 ．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，第19、20、21、22题每题7分，第23、24题每题8分，第25、26
题每题10分，第27题12分，共76分．解答时将必要的文字说明、证明过程或演算步骤写在
答题卡相应的位置上）
19．（7分）计算：（﹣2）3+ +（ ）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
【解答】解：原式＝﹣8+2 +3
＝2 ﹣5．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，二次根式的化简，准确熟练地进行计算是
解题的关键．
20．（7分）解不等式组： ，并写出该不等式组的最大整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解： ，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜﹣2，
∴不等式组的解集是x＜﹣2，
∴该不等式组的最大整数解为﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的应用，解此题的关键是
求出不等式组的解集．
21．（7分）解方程： ﹣ ＝0．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：
4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．
去括号得：
4x﹣4﹣3x﹣3＝0，
移项，合并同类项得：
x＝7．
检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝7是原方程的根．∴x＝7．
【点评】本题主要考查了解分式方程，利用解分式方程的一般步骤解答是解题的关键．
22．（7分）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后
列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
（1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是 抽
样调查 （填“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．
如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，
并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏
绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域
就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请
用画树状图或列表的方法求出甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能
的结果．
【分析】（1）由题意即可得出结论；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，分别为AA、AB、AC、AD、BA、BB、BC、BD、CA、
CB、CC、CD、DA、DB、DC、DD，其中甲，乙两名同学获得同一种绣品的结果有4种，再由
概率公式求解即可．
【解答】解：（1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方
式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，分别为AA、AB、AC、AD、BA、BB、BC、BD、CA、CB、CC、CD、
DA、DB、DC、DD，其中甲，乙两名同学获得同一种绣品的结果有4种，
∴甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及抽样调查．树状图法适合两步或两步以上完
成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求
情况数与总情况数之比．
23．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．
【分析】（1）由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知AB＝AD，∠B＝∠D；然后根
据已知条件“AE⊥BC，AF⊥CD”知∠AEB＝∠AFD；最后由全等三角形的判定定理AAS
证明△ABE≌△ADF；
（2）由全等三角形△ABE≌△ADF的对应边相等知BE＝DF，然后根据菱形的四条边相等
求得AB＝CD，设AB＝CD＝x，已知CF＝2，则BE＝DF＝x﹣2，利用勾股定理即可求出菱
形的边长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS）；
（2）解：设菱形的边长为x，
∵AB＝CD＝x，CF＝2，
∴DF＝x﹣2，∵△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF＝x﹣2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，
AE2+BE2＝AB2，
即42+（x﹣2）2＝x2，
解得x＝5，
∴菱形的边长是5．
【点评】本题考查了菱形的性质，解题的关键熟记菱形的性质并灵活运用．菱形的性质①
菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂
直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两
条对角线所在直线．
24．（8分）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，4），点B
在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的
坐标．
【分析】（1）先求a，再求解析式．（2）数形结合，利用平行四边形的性质求D的坐标．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝4x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，4），
∴4＝4a，
∴a＝1，
∴A（1，4），
∴k＝4×1＝4．
∴反比例函数的表达式为：y＝ ．
（2）当x＝2时，y＝ ＝2，
∴B（2，2）．
∴BC＝2．
∵D在第一象限，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∵BC⊥x轴，
∴D的坐标为（1，2）或（1，6）．
【点评】本题考查求反比例函数表达式及点的坐标，掌握待定系数法，充分利用平行四边
形性质是求解本题的关键．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的 O与AC相切
于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M． ⊙
（1）求证：四边形EMFC是矩形；
（2）若AE＝ ， O的半径为2，求FM的长．
⊙
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出∠CFD＝90°，由 O与
AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出OE⊥AC，进而可得出∠O⊙EC＝∠OEA＝90°，结合∠C＝90°，三个角是直角即可证明矩形即可；
（2）在Rt△AEO中，利用勾股定理可求出OA的长，进而可得出AB的长，由∠AEO＝∠C，
利用“同位角相等，两直线平行”可得出OE∥BC，进而可得出△AEO∽△ACB，利用相
似三角形的性质可求出AC的长，结合CE＝AC﹣AE可求出CE的长，再利用矩形的对边
相等，即可求出FM的长．
【解答】（1）证明：∵BD是 O的直径，
∴∠BFD＝90°， ⊙
∴∠CFD＝90°．
∵ O与AC相切于点E，
∴⊙OE⊥AC，
∴∠OEC＝∠OEA＝90°．
又∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠CFD＝∠OEC＝90°，
∴∠EMF＝90°，
∴四边形EMFC是矩形．
（2）解：在Rt△AEO中，∠AEO＝90°，AE＝ ，OE＝2，
∴OA＝ ＝ ＝3，
∴AB＝OA+OB＝3+2＝5．
∵∠AEO＝∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴△AEO∽△ACB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AC＝ ，
∴CE＝AC﹣AE＝ ﹣ ＝ ．
又∵四边形EMFC是矩形，
∴FM＝CE＝ ．【点评】本题考查了矩形的判定、相切、勾股定理、平行线的判定与性质以及相似三角形的
判定与性质，解题的关键是：（1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC的四个角均为
直角；（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度．
26．（10分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，
再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分
解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解
一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若
直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；
（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；
（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
27．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线
AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在
抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请
说明理由．【分析】（1）由点A的坐标可得出点E的坐标，由点A，E的坐标，利用待定系数法即可求
出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系
数法可求出直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，再
利用三角形的面积计算公式，结合S△BCE ＝S△ABE ﹣S△ACE ，即可求出△BCE的面积；
（3）存在，由点A，B的坐标可得出OA＝OB，结合∠AOB＝90°可得出∠BAE＝45°，设点P
的坐标为（m，﹣m2+2m+3），分点P在x轴上方及点P在x轴下方两种情况考虑：①当点
P在x轴上方时记为P ，过点P 作P M⊥x轴于点M，则EM＝P M，进而可得出关于m的
1 1 1 1
一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合题意的m值代入点P的坐标中即可求出点
P 的坐标；②当点P在x轴下方时记为P ，过点P 作P N⊥x轴于点N，则EN＝P N，进
1 2 2 2 2
而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合题意的m值代入点P的
坐标中即可求出点P 的坐标．
2
【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点
A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得： ，解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，
0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE ＝S△ABE ﹣S△ACE ＝ AE•OB﹣ AE•CD＝ ×4×3﹣ ×4×2＝2，
∴△BCE的面积为2．
（3）存在，理由如下：
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．
①当点P在x轴上方时记为P ，过点P 作P M⊥x轴于点M，
1 1 1
在Rt△EMP 中，∠P EA＝45°，∠P ME＝90°，
1 1 1
∴EM＝P M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
1
解得：m ＝﹣1（不合题意，舍去），m ＝2，
1 2
∴点P 的坐标为（2，3）；
1
②当点P在x轴下方时记为P ，过点P 作P N⊥x轴于点N，
2 2 2
在Rt△ENP 中，∠P EN＝45°，∠P NE＝90°，
2 2 2
∴EN＝P N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
2
解得：m ＝﹣1（不合题意，舍去），m ＝4，
1 2
∴点P 的坐标为（4，﹣5）．
2
综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数
法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、等腰直角三角形以及
解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点A，E的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解
析式；（2）利用三角形的面积计算公式，结合S△BCE ＝S△ABE ﹣S△ACE 求出△BCE的面积；（3）
分点P在x轴上方及点P在x轴下方两种情况，求出点P的坐标．
