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2016年青海省西宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）（2016•西宁）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣3C．3D．﹣
2．（3分）（2016•西宁）下列计算正确的是（ ）
A．2a•3a=6aB．（﹣a3）2=a6C．6a÷2a=3aD．（﹣2a）3=﹣6a3
3．（3分）（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm
4．（3分）（2016•西宁）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以
看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2016•西宁）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2016•西宁）赵老师是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30
天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的
步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．1.2，1.3B．1.4，1.3C．1.4，1.35D．1.3，1.3
7．（3分）（2016•西宁）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=（ ）
第1页（共25页）A．73°B．56°C．68°D．146°
8．（3分）（2016•西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始
沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移
动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2
9．（3分）（2016•西宁）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，
第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．
这批电话手表至少有（ ）
A．103块B．104块C．105块D．106块
10．（3分）（2016•西宁）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为
边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x
的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题
卡对应的位置上）
11．（2分）（2016•西宁）因式分解：4a2+2a= ．
12．（2分）（2016•西宁）青海日报讯：十五年免费教育政策已覆盖我省所有贫困家庭，首批惠
及学生近86.1万人．将86.1万用科学记数法表示为 ．
第2页（共25页）13．（2分）（2016•西宁）使式子 有意义的x取值范围是 ．
14．（2分）（2016•西宁）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为
．
15．（2分）（2016•西宁）已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为
．
16．（2分）（2016•西宁）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱
形ABCD的周长是 ．
17．（2分）（2016•西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，
则PD= ．
18．（2分）（2016•西宁）⊙O的半径为1，弦AB= ，弦AC= ，则∠BAC度数为
．
19．（2分）（2016•西宁）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通
往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊
BC的距离AD的长约为 米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
20．（2分）（2016•西宁）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，
且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为
．
三、解答题（本大题共8题，第21、22题每题7分，第23、24、25题每题8分，第26、27题每题
10分，第28题12分，共70分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的
位置上）
第3页（共25页）21．（7分）（2016•西宁）计算： ．
22．（7分）（2016•西宁）化简： ，然后在不等式x≤2的非负整数
解中选择一个适当的数代入求值．
23．（8分）（2016•西宁）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两
点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤ 的解集．
24．（8分）（2016•西宁）如图，在 ▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线
于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
第4页（共25页）25．（8分）（2016•西宁）随着我省“大美青海，美丽夏都”影响力的扩大，越来越多的游客慕
名而来．根据青海省旅游局《2015年国庆长假出游趋势报告》绘制了如下尚不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）2015年国庆期间，西宁周边景区共接待游客 万人，扇形统计图中“青海
湖”所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图；
（2）预计2016年国庆节将有80万游客选择西宁周边游，请估计有多少万人会选择去贵德旅
游？
（3）甲乙两个旅行团在青海湖、塔尔寺、原子城三个景点中，同时选择去同一个景点的概率是
多少？请用画树状图或列表法加以说明，并列举所有等可能的结果．
26．（10分）（2016•西宁）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且
∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6， ．求BE的长．
第5页（共25页）27．（10分）（2016•西宁）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车
租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公
共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资
340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
28．（12分）（2016•西宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M
的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴
垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分 ．
（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共25页）2016 年青海省西宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）（2016•西宁）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣3C．3D．﹣
【考点】相反数．
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【分析】直接根据相反数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵﹣ 与 只有符号不同，
∴﹣ 的相反数是 ．
故选A．
【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关
键．
2．（3分）（2016•西宁）下列计算正确的是（ ）
A．2a•3a=6aB．（﹣a3）2=a6C．6a÷2a=3aD．（﹣2a）3=﹣6a3
【考点】整式的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
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【分析】A：根据单项式乘单项式的方法判断即可．
B：根据积的乘方的运算方法判断即可．
C：根据整式除法的运算方法判断即可．
D：根据积的乘方的运算方法判断即可．
【解答】解：∵2a•3a=6a2，
∴选项A不正确；
∵（﹣a3）2=a6，
∴选项B正确；
∵6a÷2a=3，
∴选项C不正确；
∵（﹣2a）3=﹣8a3，
∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了整式的除法，解答此题的关键是熟练掌握整式的除法法则：①单
项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字
母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一
项分别除以单项式，再把所得的商相加．
（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）
n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
第7页（共25页）（3）此题还考查了单项式乘单项式的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：单项式与
单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同
它的指数作为积的一个因式．
3．（3分）（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm
【考点】三角形三边关系．
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【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作
出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
4．（3分）（2016•西宁）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以
看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【解答】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形，
故选D．
【点评】考查了轴对称图形的知识，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是
找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
5．（3分）（2016•西宁）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
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【分析】分别确定四个几何体从正面和上面看所得到的视图即可．
【解答】解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；
B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；
C、此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；
D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
第8页（共25页）6．（3分）（2016•西宁）赵老师是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30
天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的
步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．1.2，1.3B．1.4，1.3C．1.4，1.35D．1.3，1.3
【考点】众数；条形统计图；中位数．
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【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中
间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条
形最高的数据写出．
【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，7环，故众数是1.4
（万步）；
因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的步数都是1.3（万步），故中位数是1.3（万步）．
故选B．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到
小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中
位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7．（3分）（2016•西宁）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=（ ）
A．73°B．56°C．68°D．146°
【考点】平行线的性质．
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【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得
出∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠CBD=34°，
∴∠CBE=180°∠ CBD=146°，
∴∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°．
故选A．
第9页（共25页）【点评】本题考查了平行线的性质，这道题目比较容易，根据折叠的性质得出∠ABC=∠ABE=
∠CBE是解答本题的关键．
8．（3分）（2016•西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始
沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移
动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2
【考点】解直角三角形；二次函数的最值．
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【分析】先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积
为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．
【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = ，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
故选C．
【点评】本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二
次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类
动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，
直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最
值，要注意时间的取值范围．
第10页（共25页）9．（3分）（2016•西宁）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，
第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．
这批电话手表至少有（ ）
A．103块B．104块C．105块D．106块
【考点】一元一次不等式的应用．
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【分析】根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：设这批手表有x块，
550×60+（x﹣60）×500＞55000
解得，x＞104
∴这批电话手表至少有105块，
故选C．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
10．（3分）（2016•西宁）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为
边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x
的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
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【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x
的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，
∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
第11页（共25页）∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中，
，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根
据函数关系式判断出正确的函数图象．
二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题
卡对应的位置上）
11．（2分）（2016•西宁）因式分解：4a2+2a= 2 a （ 2a+ 1 ） ．
【考点】因式分解-提公因式法．
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【分析】原式提取公因式即可得到结果．
【解答】解：原式=2a（2a+1），
故答案为：2a（2a+1）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12．（2分）（2016•西宁）青海日报讯：十五年免费教育政策已覆盖我省所有贫困家庭，首批惠
及学生近86.1万人．将86.1万用科学记数法表示为 8.61×1 0 5 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵1万=1×104，
∴86.1万=86.1×104=8.61×105．
故答案为：8.61×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（2分）（2016•西宁）使式子 有意义的x取值范围是 x≥﹣ 1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
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第12页（共25页）【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，
被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的意义，被开方数是
非负数．
14．（2分）（2016•西宁）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【考点】多边形内角与外角．
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【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
15．（2分）（2016•西宁）已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为
2 ．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=x2+x﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：原式=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4
=x2+x﹣3，
因为x2+x﹣5=0，
所以x2+x=5，
所以原式=5﹣3=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的
值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺
序和有理数的混合运算顺序相似．
16．（2分）（2016•西宁）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱
形ABCD的周长是 1 6 ．
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
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【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴AB=2EF=4，
第13页（共25页）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16．
故答案为16．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．灵活应用三角形中位线性质是解决问
题的关键．
17．（2分）（2016•西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，
则PD= 2 ．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
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【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得
∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即
可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE= PC= ×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
18．（2分）（2016•西宁）⊙O的半径为1，弦AB= ，弦AC= ，则∠BAC度数为 75 ° 或
15° ．
【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
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【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解
直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．
【解答】解：有两种情况：
①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
第14页（共25页）由垂径定理得：AE=BE= ，AF=CF= ，
cos∠OAE= = ，cos∠OAF= = ，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；
②如图2所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE= ，AF=CF= ，
cos∠OAE═ = ，cos∠OAF= = ，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=45°﹣30°=15°；
故答案为：75°或15°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根
据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．此题比较好，但是一道比较容易出错的题目．
19．（2分）（2016•西宁）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通
往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊
BC的距离AD的长约为 6 0 米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
【考点】解直角三角形的应用．
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【分析】根据题意和图形可以分别表示出AD和CD的长，从而可以求得AD的长，本题得以
解决．
【解答】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，
第15页（共25页）∴BD= ，CD= ，
∴ + =100，
解得，AD≈60，
故答案为：60．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答．
20．（2分）（2016•西宁）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，
且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为
．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
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【分析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得
到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角
形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边
长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出
BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出
方程的解得到x的值，即为FM的长．
【解答】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
第16页（共25页）∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x= ，
∴FM= ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此
题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题（本大题共8题，第21、22题每题7分，第23、24、25题每题8分，第26、27题每题
10分，第28题12分，共70分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的
位置上）
21．（7分）（2016•西宁）计算： ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
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【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和二次根式的化简分别进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式=3 + ﹣1+2﹣1
=4 ．
【点评】此题考查了实数的运算，用到的知识点是零指数幂、负整数指数幂、绝对值和二次根
式，关键是掌握运算顺序和法则，注意结果的符号．
22．（7分）（2016•西宁）化简： ，然后在不等式x≤2的非负整数
解中选择一个适当的数代入求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．
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【分析】首先利用分式的混合运算法则将原式化简，然后解不等式，选择使得分式有意义的值
代入求解即可求得答案．
【解答】解：原式=
=
=
=
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2
∵（x+1）（x﹣1）≠0，x+2≠0，
∴x≠±1，x≠﹣2，
第17页（共25页）∴把x=0代入 ．
【点评】此题考查了分式的化简求值问题．注意掌握分式有意义的条件是解此题的关键．
23．（8分）（2016•西宁）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两
点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤ 的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y= ，分别求得m及k的值；
（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不
等式组0＜x+m≤ 的解集．
【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，
∴2+m=1即m=﹣1，
∵A（2，1）在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴k=2；
（2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，
∴点C的坐标是（1，0），
由图象可知不等式组0＜x+m≤ 的解集为1＜x≤2．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，掌握用待定系数法求一次函数和反
比例函数是解题的关键．
24．（8分）（2016•西宁）如图，在 ▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线
于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
第18页（共25页）【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由在 ▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得
结论；
（2）由AD=2AB，AB=FC=CD，可得AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE=EF，然后利用三线
合一，证得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE=∠FCE，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE与△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=FC；
（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，
∴AD=DF，
∵△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∴DE⊥AF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与
性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
25．（8分）（2016•西宁）随着我省“大美青海，美丽夏都”影响力的扩大，越来越多的游客慕
名而来．根据青海省旅游局《2015年国庆长假出游趋势报告》绘制了如下尚不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
第19页（共25页）（1）2015年国庆期间，西宁周边景区共接待游客 5 0 万人，扇形统计图中“青海湖”所对
应的圆心角的度数是 108 ° ，并补全条形统计图；
（2）预计2016年国庆节将有80万游客选择西宁周边游，请估计有多少万人会选择去贵德旅
游？
（3）甲乙两个旅行团在青海湖、塔尔寺、原子城三个景点中，同时选择去同一个景点的概率是
多少？请用画树状图或列表法加以说明，并列举所有等可能的结果．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
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【分析】（1）根据条形图和扇形图得到游“青海湖”的人数和所占的百分比，计算出共接待
游客人数，根据“青海湖”所占的百分比求出圆心角，求出塔尔寺人数，补全条形统计图；
（2）求出选择西宁周边游所占的百分比，计算即可；
（3）列表求出共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一
个景点的结果有3种，根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）由条形图和扇形图可知，游“青海湖”的人数是15万人，占30%，
∴共接待游客人数为：15÷30%=50（万人），
“青海湖”所对应的圆心角的度数是：360°×30%=108°，
塔尔寺人数为：24%×50=12（万人），补全条形统计图如图：
（2） （万人）
答：估计将有9.6万人会选择去贵德旅游；
（3）设A，B，C分别表示青海湖、塔尔寺、原子城．
由此可见，共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个
景点的结果有3种．
∴同时选择去同一个景点的概率是 ．
【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及列表法求概率，读懂统
计图、从中获取正确的信息、理解概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
26．（10分）（2016•西宁）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且
∠CDA=∠CBD．
第20页（共25页）（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6， ．求BE的长．
【考点】切线的判定与性质．
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【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，
∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到 ，求得CD=4，由切
线的性质得到BE=DE，BE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：连结OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA=∠ODB，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD
∴△CDA∽△CBD
∴
∵ ，BC=6，
∴CD=4，
∵CE，BE是⊙O的切线
∴BE=DE，BE⊥BC
∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2
解得：BE= ．
第21页（共25页）【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考
查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．
27．（10分）（2016•西宁）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车
租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公
共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资
340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
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【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以
及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出
答案；
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行
车数量，得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1+a）2=2205
解此方程：（1+a）2= ，
即： ， （不符合题意，舍去）
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解
题关键．
28．（12分）（2016•西宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M
的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴
垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分 ．
（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第22页（共25页）【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；
（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，进而得
出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；
（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标．
【解答】（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，
则MA=MB=MC=ME=2，
又∵CO⊥MB，
∴MO=BO=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），
抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），
设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）
把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，
解得：a= ，
故二次函数解析式为：y= （x+1）2﹣2；
（2）证明：连接DM，
∵△MBC为等边三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠AMC=120°，
∵点D平分弧AC，
∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，
∵MD=MC=MA，
∴△MCD，△MDA是等边三角形，
∴DC=CM=MA=AD，
∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；
（3）解：存在．
理由如下：
设点P的坐标为（m，n）
第23页（共25页）∵S = AB|n|，AB=4
△ABP
∴ ×4×|n|=5，
即2|n|=5，
解得：n=± ，
当 时， （m+1）2﹣2= ，
解此方程得：m =2，m =﹣4
1 2
即点P的坐标为（2， ），（﹣4， ），
当n=﹣ 时， （m+1）2﹣2=﹣ ，
此方程无解，
故所求点P坐标为（2， ），（﹣4， ）．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及菱形的判定方法、三角形面积求法和等边三角形
的性质等知识，正确得出E点坐标是解题关键．
第24页（共25页）参与本试卷答题和审题的老师有：CJX；放飞梦想；sd2011；sjzx；zjx111；wd1899；tcm123；
zgm666；HJJ；sks；gbl210；workholic；HLing；gsls；nhx600；wdzyzmsy@126.com；zcx；lantin；
张其铎；王学峰；1286697702（排名不分先后）
菁优网
2016年7月19日
第25页（共25页）
