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2022年上海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）8的相反数是（ ）
A．8 B． C．﹣8 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．（4分）已知反比例函数y＝ （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可
能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
4．（4分）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不
计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
6．（4分）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：3a﹣2a＝ ．
8．（4分）已知f（x）＝3x，则f（1）＝ ．
9．（4分）解方程组： 的结果为 ．
10．（4分）已知x2﹣2 x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
11．（4分）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为 ．
12．（4分）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相
同，则增长率为 ．13．（4分）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了
相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0﹣1小时4人，1
﹣2小时10人，2﹣3小时14人，3﹣4小时16人，4﹣5小时6人），若共有200名学生，则
该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 ．
14．（4分）已知直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的
一条直线： ．
15．（4分）如图所示，在 ABCD中，AC，BD交于点O， ＝ ， ＝ ，则 ＝ ．
▱
16．（4分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则
这个花坛的面积为 .（结果保留 ）
π
17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上， ＝ ，
则 ＝ ．18．（4分）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我
们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，
这个圆的半径为 ．
三.解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|﹣ |﹣ + ﹣ ．
20．（10分）解关于x的不等式组： ．
21．（10分）一个一次函数的截距为﹣1，且经过点A（2，3）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求
cos∠ABC的值．
22．（10分）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，
从C点测得A点的仰角为 ，求灯杆AB的高度．（用含a，b， 的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利α 用影子对物体进行测量的方法，在至α今仍有借鉴意义．如图
（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木
杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．23．（12分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB
上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．
求证：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF•FQ＝AF•BQ．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP ＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，
求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
25．（14分）如图，在 ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．▱
ⅰ．求证： ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝▱5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，
如果CE＝ AE，求 的值．2022年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）8的相反数是（ ）
A．8 B． C．﹣8 D．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：8的相反数为：﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可
作出判断．
【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用以及合并同类项法则，积的乘方的
运算法则，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
3．（4分）已知反比例函数y＝ （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可
能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：因为反比例函数y＝ （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，所以k＜0，
A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；
B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；
C．3×0＝0，故本选项不符合题意；
D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减
小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
4．（4分）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不
计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：因为计算了点单的总额和不计算外卖费的总额只相差外卖费，其余数据的波
动幅度相同，
所以两种情况计算出的数据一样的是方差，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
【分析】根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项
说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是
真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫
做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
6．（4分）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么
这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等
进而得出答案．
【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；
D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：3a﹣2a＝ a ．
【分析】根据同类项与合并同类项法则计算．
【解答】解：3a﹣2a＝（3﹣2）a＝a．
【点评】本题考查合并同类项、代数式的化简．同类项相加减，只把系数相加减，字母及字
母的指数不变．
8．（4分）已知f（x）＝3x，则f（1）＝ 3 ．
【分析】把x＝1代入函数关系式即可求得．
【解答】解：因为f（x）＝3x，
所以f（1）＝3×1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了函数的关系式，解题的关键是对函数关系式进行正确的理解．
9．（4分）解方程组： 的结果为 ．
【分析】由x2﹣y2＝3可知（x+y）（x﹣y）＝3，再根据x+y＝1计算出x﹣y＝3，然后与x+y＝1
联立计算即可．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，且x+y＝1，
∴x﹣y＝3，∴可得方程组 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了高次方程组的解法，根据题干寻找解题方向及熟练掌握常见公式如平
方差公式等是解题的关键．
10．（4分）已知x2﹣2 x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m ＜ 3 ．
【分析】由根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取
值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2 x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2 ）2﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故答案为：m＜3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，
找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．
11．（4分）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有2种，再由概率公式
求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有2种，
∴分到甲和乙的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（4分）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相
同，则增长率为 20% ．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36
万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
由题意得25（1+x）2＝36，
解得x ＝0.2，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）
1 2
所以平均每月的增长率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解
题的关键．
13．（4分）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了
相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0﹣1小时4人，1
﹣2小时10人，2﹣3小时14人，3﹣4小时16人，4﹣5小时6人），若共有200名学生，则
该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 8 8 ．
【分析】用200乘样本中阅读时间不低于3小时的学生所占比例即可．
【解答】解：200× ＝88（人），
故该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是88人．
故答案为：88．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（4分）已知直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的
一条直线： y ＝﹣ x + 1 （答案不唯一） ．
【分析】根据一次函数的性质，写出符合条件的函数关系式即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，
∴k＜0，b＞0，
∴符合条件的函数关系式可以为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当
k＜0，b＞0时，函数的图象过第一、二、四象限，y随自变量x的值增大而减小是解答此题
的关键．
15．（4分）如图所示，在 ABCD中，AC，BD交于点O， ＝ ， ＝ ，则 ＝ ﹣ 2 +
． ▱
【分析】根据平行四边形的性质分析即可．
【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以 ＝ ，
所以 ＝ ﹣ ＝ ﹣ ﹣ ＝﹣2 + ．
故答案为：﹣2 + ．
【点评】本题考查了平面向量与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的有关性质和平
面向量的有关知识是解题的关键．
16．（4分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则
这个花坛的面积为 40 0 .（结果保留 ）
π π【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD＝ AB＝ （AC+BC）＝ ×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S ＝ ×OB2＝400 ，
O
故答⊙案为π：400 ． π
π
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆
面积的计算公式是正确解答的前提．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上， ＝ ，
则 ＝ 或 ．
【分析】利用平行线截线段成比例解答．
【解答】解：∵D为AB中点，
∴ ＝ ．
当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，则 ＝ ＝ ＝ 当DE与BC不平行时，DE＝DE′， ＝ ．
故答案是： 或 ．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边（或
两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
18．（4分）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我
们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，
这个圆的半径为 2 ﹣ ．
【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形
的面积公式进行计算即可．
【解答】解：如图，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当 O过点C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，
此时⊙O最大，
过点⊙O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC，
∴AC＝BC＝ ×2＝ ，
由S△AOC +S△BOC +S△AOB ＝S△ABC ，
∴ AC•OP+ BC•ON+ AB•OM＝S△ABC ＝ AC•BC，
设OM＝x，则OP＝ON＝x，
∴ x+ x+2x＝ × ，
解得x＝ ﹣1，即OP＝ON＝ ﹣1，
在Rt△CON中，OC＝ ON＝2﹣ ，
故答案为：2﹣ ．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握直角三角形的边角
关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的
关键．
三.解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|﹣ |﹣ + ﹣ ．
【分析】先根据绝对值的性质，负整数指数幂的法则，分母有理化的法则，二次根式的性质
进行化简，然后计算加减．
【解答】解：|﹣ |﹣ + ﹣
＝
＝
＝1﹣ ．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键掌握分数指数幂的运算法则，将分数指数幂
转化为二次根式形式．
20．（10分）解关于x的不等式组： ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，由①得，3x﹣x＞﹣4，
2x＞﹣4，
解得x＞﹣2，
由②得，4+x＞3x+6，
x﹣3x＞6﹣4，
﹣2x＞2，
解得x＜﹣1，
所以不等式组的解集为：﹣2＜x＜﹣1．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求
不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
21．（10分）一个一次函数的截距为﹣1，且经过点A（2，3）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求
cos∠ABC的值．
【分析】（1）理解截距得概念，再利用待定系数法求解；
（2）数形结合，求两个点之间得距离，再利用三角函数得定义求解．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx﹣1，
∴2k﹣1＝3，
解得：k＝2，
一次函数的解析式为：y＝2x﹣1．
（2）∵点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，
∴B（6，1），
∴C（6，3），
∴△ABC是直角三角形，且BC＝2，AC＝4，
根据勾股定理得：AB＝2 ，
∴cos∠ABC＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了待定系数法的应用，结合三角函数的定义求解是解题的关键．
22．（10分）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，
从C点测得A点的仰角为 ，求灯杆AB的高度．（用含a，b， 的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利α 用影子对物体进行测量的方法，在至α今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木
杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．
【分析】（1）根据题意可得BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝ ，然后
在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，进行计算即可解答； α
（2）根据题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，然后证明
A字模型相似三角形△ABH∽△GCH，从而可得 ＝ ，再证明A字模型相似三角形
△ABF∽△EDF，从而可得 ＝ ，进而可得 ＝ ，最后求出BC
的长，从而求出AB的长．
【解答】解：（1）如图：
由题意得：
BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝ ，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan ＝atan （米）， α
∴AB＝AE+BE＝（b+atan ）α米， α
∴灯杆AB的高度为（atanα +b）米；
（2）由题意得： α
GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，
∵∠AHB＝∠GHC，
∴△ABH∽△GCH，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∵∠F＝∠F，
∴△ABF∽△EDF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BC＝0.9米，
∴ ＝ ，
∴AB＝3.8米，
∴灯杆AB的高度为3.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，数学常识，中心投影，列代数式，
平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形
的判定与性质是解题的关键．
23．（12分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB
上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．
求证：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF•FQ＝AF•BQ．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，利用SAS证明△ACE≌△ABF，根据
全等三角形的性质即可得解；
（2）利用全等三角形的性质，结合题意证明△ACE∽AFQ，△CAF∽△BFQ，根据相似三角
形的性质即可得解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CF＝BE，
∴CF﹣EF＝BE﹣EF，
即CE＝BF，
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE＝∠BAF；
（2）∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，
∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB，
∴ ＝ ，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC＝∠AQF，
∴∠AEF＝∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠BQF＝∠AFE，
∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，
∴ ＝ ，
即CF•FQ＝AF•BQ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似
三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP ＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，
求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）i．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，由二次函数
的性质可得出答案；
ii．P（m， ﹣3），证出BP＝PQ，由等腰三角形的性质求出∠BPC＝60°，由直角三角形
的性质可求出答案．
【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y＝ x2+bx+c，得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣3．
（2）i．∵y＝ x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），
即点B是原抛物线的顶点，
∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），
∴抛物线平移了|m|个单位，∴S△OPB ＝ ×3|m|＝3，
∵m＞0，
∴m＝2，
即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，
∴k≥2；
ii．把P（m，n）代入y＝ x2﹣3，
∴n＝ ﹣3，
∴P（m， ﹣3），
由题意得，新抛物线的解析式为y＝ +n＝ ﹣3，
∴Q（0，m2﹣3），
∵B（0，﹣3），
∴ BQ ＝ m2 ， + ， PQ2 ＝
，
∴BP＝PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝|m|，
∵PB＝PQ，PC⊥BQ，∴BC＝ BQ＝ m2，∠BPC＝ ∠BPQ＝ ×120°＝60°，
∴tan∠BPC＝tan60°＝ ＝ ，
∴m＝2 或m＝﹣2 （舍），
∴n＝ ﹣3＝3，
∴P点的坐标为（2 ，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，
二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐
角三角函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
25．（14分）如图，在 ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．▱
ⅰ．求证： ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝▱5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，
如果CE＝ AE，求 的值．
【分析】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COE（SSS），由全等三
角形的性质得出∠AOE＝∠COE，证出AC⊥BD，由菱形的判定可得出结论；
ii．由重心的性质得出BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，由勾股定理得出9﹣x2＝25﹣9x2，
求出x的值，则可得出答案；
（2）方法一：由相交两圆的性质得出AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，由重心的
性质及勾股定理得出答案．
方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2 x，证出∠DCE＝90°，延长AP交DC的延长线于
点Q，则CQ＝CD，由勾股定理可得出答案．【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝CE，OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOE+∠COE＝180°，
∴∠COE＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD为菱形；
ii．▱解：∵OA＝OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵P为BC的中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝2OE，
设OE＝x，则BE＝2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，
∴9﹣x2＝25﹣9x2，
解得x＝ （负值舍去），
∴OB＝3x＝3 ，
∴BD＝2OB＝6 ；
（2）解：方法一：如图，∵ A与 B相交于E，F，
∴⊙AB⊥E⊙F，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又∵F在直线CE上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG＝BG＝ AB，EG＝ CE，
∵CE＝ AE，
∴GE＝ AE，CG＝CE+EG＝ AE，
∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2﹣ ＝ ，
∴AG＝ AE，
∴AB＝2AG＝ AE，
∴BC2＝BG2+CG2＝ AE2+ ＝5AE2，
∴BC＝ AE，
∴ ．
方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2 x，
∵AE＝AF，BE＝BF，
∴AB垂直平分EF，∠AGF＝90°，
∴∠DCE＝90°，
延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，∴EQ＝ED＝4x，由勾股定理得CD＝2 x，∠DEC＝∠CEQ＝45°，
由DE＝4x可得BE＝2x，
∴BP＝ ＝ x，
∴AB：BC＝2 x：2 x＝ ．
【点评】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾
股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，相交两圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性
质是解题的关键．
