文档内容
2022年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题：（每个小题4分，10个小题共40分）
1．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与﹣2互为倒数 B．2与 互为相反数
C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+a3＝a5
C．﹣2（a+b）＝﹣2a+b D．（﹣2a2）2＝4a4
3．（4分）一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．四棱锥
4．（4分）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的
度数为（ ）
A．28° B．56° C．36° D．62°
5．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x ，x ，若x ＝﹣1，则a
1 2 1
﹣x 2﹣x 2的值为（ ）
1 2
A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6
6．（4分）如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的 O，随机地往 O内投一粒米，落
在正六边形内的概率为（ ） ⊙ ⊙A． B．
C． D．以上答案都不对
7．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函
数y＝﹣ 在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，PA、PB分别与 O相切于点A、B，连接PO并延长与 O交于点C、D，若CD
＝12，PA＝8，则sin∠ADB⊙的值为（ ） ⊙A． B． C． D．
9．（4分）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，
垂足为F，则DF的长为（ ）
A．2 +2 B．5﹣ C．3﹣ D． +1
10．（4分）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上
表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示
数2的点的距离．当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣1 B．x≤﹣1或x≥2 C．﹣1≤x≤2 D．x≥2
二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）
11．（3分）有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为
．
12．（3分）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ ．
13．（3分）某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：
1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30．这组数据的中位数是 ．
14．（3分）若（2x+y﹣5）2+ ＝0，则x﹣y的值是 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，
则四边形OCED的周长是 ．16．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的 O是△ABC的内切圆，连接OB、
OC，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用⊙含 的式子表示）
π
17．（3分）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学
校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°．小青计算后
得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学
楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学
楼CD造成危害．其中正确的是 ．（填写序号，参考数值： ≈1.7， ≈1.4）
18．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个
单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶
点A在y轴上，双曲线y＝ （k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2 ，则k＝ ．20．（3分）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延
长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝ cm．
三、解答题（6个小题，共80分）
21．（14分）（1）计算：（﹣1）﹣3+ +|2﹣ |+（ ﹣1.57）0﹣ ；
（2）先化简，再求值： ÷ ﹣（ +1），其中x＝cos60°．
22．（14分）某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过
一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞
赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表．
参赛成绩 60≤x＜ 70≤x＜ 80≤x＜ 90≤x≤1
70 80 90 00
人数 8 m n 32
级别 及格 中等 良好 优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
（1）王老师抽取了 名学生的参赛成绩；抽取的学生的平均成绩是 分；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生有多少人？
（4）在本次竞赛中，综治办发现七（1）班、八（4）班的成绩不理想，学校要求这两个班加强
学习一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，
请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．23．（14分）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆 O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2， O是△ABC的外接圆，AE是 ⊙O的直径，点B是 的中点，过点B的切线
与AC的延长⊙线交于点D． ⊙
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝6，tan∠ABC＝ ，求 O的半径．
⊙
24．（12分）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机
器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器
人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两
种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48
万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
25．（12分）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．
求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC
＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】（2）如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．
①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．
②若AE2+AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积．
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y
轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM
交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．
若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为
顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2022年贵州省黔东南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每个小题4分，10个小题共40分）
1．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与﹣2互为倒数 B．2与 互为相反数
C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2
【分析】根据倒数的定义判断A选项；根据相反数的定义判断B选项；根据0的相反数是0
判断C选项；根据正数的绝对值等于它本身判断D选项．
【解答】解：A选项，2与﹣2互为相反数，故该选项不符合题意；
B选项，2与 互为倒数，故该选项不符合题意；
C选项，0的相反数是0，故该选项符合题意；
D选项，2的绝对值是2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，相反数，绝对值，掌握乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不
同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+a3＝a5
C．﹣2（a+b）＝﹣2a+b D．（﹣2a2）2＝4a4
【分析】A、根据同底数幂的除法公式计算，即可判断；B、非同类项，不能合并；C、根据去括
号法则计算，即可判断；D、根据积的乘方进行计算，即可判断．
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故A选项不符合题意；
B、a2+a3≠a5，故B选项不符合题意；
C、﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b，故C选项不符合题意；
D、（﹣2a2）2＝4a4，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式化简，掌握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）A．圆锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．四棱锥
【分析】根据三视图的定义解答即可．
【解答】解：根据主视图和左视图都是长方形，判定该几何体是个柱体，
∵俯视图是个圆，
∴判定该几何体是个圆柱．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．
4．（4分）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的
度数为（ ）
A．28° B．56° C．36° D．62°
【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：如下图所示，
过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
则∠2＝∠3．∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵AB∥MN，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠1＝28°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．
∴∠2＝∠3＝62°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，过直角的顶点E作
MN∥AB是解题的关键．
5．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x ，x ，若x ＝﹣1，则a
1 2 1
﹣x 2﹣x 2的值为（ ）
1 2
A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6
【分析】根据根与系数的关系求出x ，a的值，代入代数式求值即可．
2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝﹣a，
1 2 1 2
∵x ＝﹣1，
1
∴x ＝3，x •x ＝﹣3＝﹣a，
2 1 2
∴a＝3，
∴原式＝3﹣（﹣1）2﹣32
＝3﹣1﹣9
＝﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握x +x ＝﹣ ，x •x ＝ 是解题的关键．
1 2 1 2
6．（4分）如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的 O，随机地往 O内投一粒米，落
在正六边形内的概率为（ ） ⊙ ⊙A． B．
C． D．以上答案都不对
【分析】求出正六边形的面积占圆面积的几分之几即可．
【解答】解：圆的面积为 r2，
π
正六边形ABCDEF的面积为 r× r×6＝ r2，
所以正六边形的面积占圆面积的 ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查几何概率，正多边形与圆，求出正多边形面积占圆面积的几分之几是正
确解答的关键．
7．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函
数y＝﹣ 在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．C． D．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而
可得直线与反比例函数图象的大致图象．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限，反比例函数y＝﹣ 图象经过一，三象限，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
8．（4分）如图，PA、PB分别与 O相切于点A、B，连接PO并延长与 O交于点C、D，若CD
＝12，PA＝8，则sin∠ADB⊙的值为（ ） ⊙
A． B． C． D．
【分析】连接AO，BO，根据切线长定理，圆周角定理，锐角三角函数解答即可．
【解答】解连接AO，BO，
∵PA、PB分别与 O相切于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO⊙＝90°，PA＝PB＝8，
∵DC＝12，
∴AO＝6，∴OP＝10，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴ ，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠ADB＝∠AOC，
∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，三角函数，熟练掌握相关性质是解答本
题的关键．
9．（4分）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，
垂足为F，则DF的长为（ ）
A．2 +2 B．5﹣ C．3﹣ D． +1
【分析】方法一：如图，延长DA、BC交于点G，利用正方形性质和等边三角形性质可得：
∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，运用解直角三角形可得AG＝2 ，DG＝2+2 ，再
求得∠G＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，
BH＝ ，再证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH＝ ，即可求得答案．
【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，
∵四边形ABED是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2 ，
∴DG＝AD+AG＝2+2 ，
∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，
∴DF＝ DG＝ ×（2+2 ）＝1+ ，
故选D．
方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，
则∠BHE＝∠DGE＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2× ＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝ ，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形，
∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，
∵∠DEG+∠BEG＝90°，
∴∠BEH＝∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
，
∴△BEH≌△DEG（AAS），
∴DG＝BH＝ ，
∴DF＝DG+FG＝ +1，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角
三角形，题目的综合性很好，难度不大．
10．（4分）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上
表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示
数2的点的距离．当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣1 B．x≤﹣1或x≥2 C．﹣1≤x≤2 D．x≥2
【分析】以﹣1和2为界点，将数轴分成三部分，对x的值进行分类讨论，然后根据绝对值
的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【解答】解：如图，
当x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣2＜0，
|x+1|+|x﹣2|
＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）
＝﹣x﹣1﹣x+2
＝﹣2x+1＞3；
当x＞2时，x+1＞0，x﹣2＞0，|x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）+（x﹣2）
＝x+1+x﹣2
＝2x﹣1＞3；
当﹣1≤x≤2时，x+1≥0，x﹣2≤0，
|x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）﹣（x﹣2）
＝x+1﹣x+2＝3；
综上所述，当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|取得最小值，
所以当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2．
故选C．
【点评】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以﹣1和2
为界点对x的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）
11．（3分）有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为
1.2×10 ﹣ 8 ．
【分析】应用科学记数法．﹣表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．即可得出答案．
【解答】解：0.000000012＝1.2×10﹣8．
故答案为：1.2×10﹣8．
【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较小的数，熟练掌握科学记数法﹣表示较小的
数的方法进行求解是解决本题的关键．
12．（3分）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ 202 2 （ x ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）
＝2022（x﹣1）2．
故答案为：2022（x﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题
的关键．
13．（3分）某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：
1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30．这组数据的中位数是 1.2 5 ．【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：1.10，1.15，1.20，1.25，1.30，1.30，1.35．
所以这组数据的中位数为：1.25．
故答案为：1.25．
【点评】本题主要考查了中位数，熟练掌握中位数的定义进行求解是解决本题的关键．
14．（3分）若（2x+y﹣5）2+ ＝0，则x﹣y的值是 9 ．
【分析】根据非负数的性质可得 ，应用整体思想①﹣②即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
由①﹣②得，
x﹣y＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解
二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，
则四边形OCED的周长是 2 0 ．
【分析】先证四边形OCED是平行四边形，得OC＝DE，OD＝CE，再由矩形的性质得OC＝
OD＝5，则OC＝OD＝CE＝DE，得平行四边形OCED是菱形，即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴OC＝DE，OD＝CE，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC＝ AC＝5，OD＝ BD，BD＝AC，
∴OC＝OD＝5，
∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×5＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质得知识，熟
练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的 O是△ABC的内切圆，连接OB、
⊙
OC，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含 的式子表示）
π
【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面
积．
【解答】解：∵∠A＝80°， O是△ABC的内切圆，
⊙
∴∠DOE＝180°﹣（ ）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝130°，
∴S扇形DOE ＝ ＝ （cm2），
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的
计算是解题的关键．
17．（3分）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学
校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°．小青计算后
得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学
楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学
楼CD造成危害．其中正确的是 ①③④ ．（填写序号，参考数值： ≈1.7，
≈1.4）【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，则AE＝DC，DE＝AC＝12米，在Rt△ADE中，利用
锐角三角函数的定义求出AE，DE的长，从而求出CD的长，即可判断②；
再在Rt△BED中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而求出AB的长，即可判断
①；通过比较AB与AD的长，即可判断③，计算出AB﹣8的值，再和AD的长比较，即可
判断④．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则AE＝DC，DE＝AC＝12米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴AE＝DE•tan30°＝12× ＝4 （米），
AD＝2AE＝8 （米），
∴CD＝AE＝4 ≈6.8（米），
故②不正确；
在Rt△BED中，BE＝DE•tan45°＝12（米），
∴AB＝AE+BE＝12+4 ≈18.8（米），
故①正确；
∵AD＝8 ≈13.6（米），
∴AB＞AD，
∴若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响，
故③正确；
∵AB﹣8＝18.8﹣8＝10.8（米），
∴10.8米＜13.6米，
若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害，
故④正确；
∴小青计算后得到如上结论，其中正确的是：①③④，故答案为：①③④．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
18．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个
单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （ 1 ，﹣ 3 ） ．
【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，
配成顶点式即可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）
﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，
再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣
1）2﹣3，
∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解
答此题的关键．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶
点A在y轴上，双曲线y＝ （k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2 ，则k＝ ﹣ ．
【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE＝ ，得
点A和C的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，
∴CE＝BE，
∴AE＝ BC＝ ，
∴A（0， ），C（﹣ ，2 ），
∵D是AC的中点，
∴D（﹣ ， ），
∴k＝﹣ × ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的
性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的
关键．
20．（3分）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延
长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝ cm．
【分析】如图，连接DF，可证得Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），则AF＝EF，设AF＝xcm，则EF
＝xcm，利用勾股定理求得x＝ ，再由△FGE∽△FMB，即可求得答案．
【解答】解：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵点M是BC边的中点，
∴CM＝BM＝ BC＝2cm，
由折叠得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°，
∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，
∴∠A＝∠DEF，
在Rt△DAF和Rt△DEF中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF，
设AF＝xcm，则EF＝xcm，
∴BF＝（4﹣x）cm，FM＝（x+2）cm，
在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2，
∴（4﹣x）2+22＝（x+2）2，
解得：x＝ ，
∴AF＝EF＝ cm，BF＝4﹣ ＝ cm，FM＝ +2＝ cm，
∵∠FEG＝∠DEM＝90°，
∴∠FEG＝∠B＝90°，
∵∠EFG＝∠BFM，
∴△FGE∽△FMB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴FG＝ cm，
故答案为： ．【点评】此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相
似三角形的判定与性质．此题有一定难度，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题（6个小题，共80分）
21．（14分）（1）计算：（﹣1）﹣3+ +|2﹣ |+（ ﹣1.57）0﹣ ；
（2）先化简，再求值： ÷ ﹣（ +1），其中x＝cos60°．
【分析】（1）应用负整数指数幂，立方根，绝对值，零指数幂，最简二次根式的性质进行计
算即可得出答案；
（2）应用分式化简求值的方法化为最简，再应用特殊角三角函数值求出cos60°的值代入计
算即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝ +2+（ ﹣2）+1﹣2
＝﹣1+2+ ﹣2+1﹣2
＝ ；
（2）原式＝
＝
＝ ，
把x＝cos60°＝ 代入上式，
原式＝ ＝﹣2．
【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，分式的化简求值，熟
练掌握特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，分式的化简求值的方法进行求解是解
决本题的关键．22．（14分）某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过
一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞
赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表．
参赛成绩 60≤x＜ 70≤x＜ 80≤x＜ 90≤x≤1
70 80 90 00
人数 8 m n 32
级别 及格 中等 良好 优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
（1）王老师抽取了 8 0 名学生的参赛成绩；抽取的学生的平均成绩是 85. 5 分；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生有多少人？
（4）在本次竞赛中，综治办发现七（1）班、八（4）班的成绩不理想，学校要求这两个班加强
学习一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，
请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．
【分析】（1）由成绩优秀的学生人数除以所占百分比得出王老师抽取的学生人数，即可解
决问题；
（2）由（1）的结果将条形统计图补充完整即可；
（3）由该校有学生人数乘以竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生所占的百分比即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两个班同时选中同一套试卷的结果有4种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）王老师抽取的学生人数为：32÷40%＝80（名），
∴中等成绩的学生人数为：80×15%＝12（人），良好成绩的学生人数为：80×35%＝28（人），
∴抽取的学生的平均成绩＝ ＝85.5（分），
故答案为：80，85.5；（2）将条形统计图补充完整如下：
（3）1600×（35%+40%）＝1200（人），
答：估计竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生有1200人；
（4）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两个班同时选中同一套试卷的结果有4种，
∴两个班同时选中同一套试卷的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题
时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况
数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
23．（14分）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆 O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2， O是△ABC的外接圆，AE是 ⊙O的直径，点B是 的中点，过点B的切线
与AC的延长⊙线交于点D． ⊙
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝6，tan∠ABC＝ ，求 O的半径．
⊙【分析】（1）利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为
半径作圆即可；
（2）①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BD，证明OB∥AD，根据平行线的性质证明结
论；
②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定
理求出AE，得到答案．
【解答】（1）解：如图1， O即为△ABC的外接圆；
（2）①证明：如图2，连接⊙OB，
∵BD是 O的切线，
∴OB⊥B⊙D，
∵点B是 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠CAB＝∠EAB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠EAB，
∴∠CAB＝∠OBA，
∴OB∥AD，
∴BD⊥AD；
②解：如图2，连接EC，
由圆周角定理得：∠AEC＝∠ABC，
∵tan∠ABC＝ ，
∴tan∠AEC＝ ，∵AE是 O的直径，
∴∠ACE⊙＝90°，
∴ ＝ ，
∵AC＝6，
∴EC＝8，
∴AE＝ ＝10，
∴ O的半径为5．
⊙
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过
切点的半径是解题的关键．
24．（12分）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机
器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器
人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两
种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48
万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物
（x+10）吨，根据题意列出分式方程，解方程检验后即可得出答案；
（2）①根据题意列出一次函数解析式即可；
②先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据一次函数
的性质，即可求出答案．
【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物
（x+10）吨，
由题意得： ，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100（吨），
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；
（2）①由题意得：w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；
②由题意得： ，
解得：15≤m≤17，
∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝17时，w最小，此时w＝﹣0.8×17+60＝46.4，
∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的
相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题
的关键．25．（12分）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．
求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC
＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】（2）如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．
①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．
②若AE2+AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积．
【分析】（1）连接DC，证△CBD≌△ABE（SAS），得CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°，则
∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°，即可得出结论；
（2）①连接CG，证△CBG≌△ABE（SAS），得CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，再证
∠AGC＝90°，得△ACG是直角三角形，即可得出结论；
②由勾股定理得CG2+AG2＝AC2，则AE2+AG2＝AC2＝10，再由正方形的性质和勾股定理
得AB2＝5，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接DC，
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝∠E＝∠BDE＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
即∠CBD＝∠ABE，
∴△CBD≌△ABE（SAS），
∴CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°，∴△ADC为钝角三角形，
∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
（2）解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：
如图2，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，
∴AB＝CB，BE＝BG，∠ABC＝∠BCD＝∠EBG＝∠BGF＝90°，∠EGB＝∠GEB＝45°，
∴∠ABC﹣∠ABG＝∠EBG﹣∠ABG，
即∠CBG＝∠ABE，
∴△CBG≌△ABE（SAS），
∴CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，
∴∠AGC＝∠EGB+∠CGB＝45°+45°＝90°，
∴△ACG是直角三角形，
即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；
②由①可知，CG＝AE，∠AGC＝90°，
∴CG2+AG2＝AC2，
∴AE2+AG2＝AC2，
∵AE2+AG2＝10，
∴AC2＝10，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2＝10，
∴AB2＝5，
∴S正方形ABCD ＝AB2＝5．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的
判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性
质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y
轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM
交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．
若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为
顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待
定系数法即可求解；
（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），利用勾股定
理表示出AC2，AN2，CN2，然后分①当AC＝AN时，②当AC＝CN时，③当AN＝CN时三
种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；
（3）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用
平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t ＝2，t ＝0（不合题意，舍去），
1 2
∴点N的坐标为（2，1）；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t ＝ ，t ＝﹣ （不合题意，舍去），
1 2
∴点N的坐标为（ ，3﹣ ）；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝ ，
∴点N的坐标为（ ， ）；综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（ ，3﹣ ）或（ ， ）；
（3）设E（1，a），F（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3 ，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，
∴（3 ）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝ ，或a＝ ，
∴E（1， ）或（1， ），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+ ＝0+3或n+ ＝0+3，
∴m＝2，n＝ 或n＝ ，
∴点F的坐标为（2， ）或（2， ）；
②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3 ）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3 ）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），
综上所述：存在，点F的坐标为（2， ）或（2， ）或（4，1）或（﹣2，1）．
【点评】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次
函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学
会分类讨论，属于中考压轴题．
