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2022年宁夏中考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符
合题目要求的）
1．（3分）下列事件为确定事件的有（ ）
（1）打开电视正在播动画片
（2）长、宽为m，n的矩形面积是mn
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
（4） 是无理数
A．1个π B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影
子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣2﹣2＝0 B． ﹣ ＝ C．x3+x3＝2x6 D．（﹣x3）2＝x6
4．（3分）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，
除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是
（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
5．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 + 的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
6．（3分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根
据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
7．（3分）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下
降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数
对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑
其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总 （R总 ＝R+R
0
）是反比例关系，
电流I与R总 也是反比例关系，则I与V的函数关系是（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数
C．二次函数 D．以上答案都不对
8．（3分）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量
角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120
处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（ ）
A．（2 ﹣ ）cm2 B．（8 ﹣ ）cm2
π π
C．（8 ﹣ ）cm2 D．（16 ﹣ ）cm2
π π二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝ ．
10．（3分）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是
.（只写一个）
11．（3分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》
《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影
片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙
再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
12．（3分）如图，在 O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OB＝10，AB＝16，则cosB＝
． ⊙
13．（3分）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E
恰好落在直线y＝2x﹣3上，则点A移动的距离是 ．
14．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱．问：
人数、物价各多少？设有x人，物价为y钱，则可列方程组为 ．
15．（3分）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时
针旋转75°至△A OB ，边A O交直线a于点C，则∠1＝ °．
1 1 1
16．（3分）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，
某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角
∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时
返回舱底部离地面的高度CE约为 米（精确到1米）．
（参考数据：sin46°12′≈0.72，cos46°12′≈0.69，tan46°12′≈1.04）
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格点上．建立平
面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（2，1）和（﹣1，3）．
（1）画出该平面直角坐标系xOy；
（2）画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A B ；
1 1
（3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）18．（6分）解不等式组： ．
19．（6分）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
（ ﹣ ）÷
＝（ ﹣ ）• …第一步
＝ …第二步
＝ …第三步
＝﹣ …第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是 ．
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
20．（6分）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的
篮球数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
21．（6分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．
（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；
（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．22．（6分）宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试
验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9
乙品种：如图所示
平均数 中位数 众数 方差
甲品种 3.16 a 3.2 0.29
乙品种 3.16 3.3 b 0.15
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若乙品种种植300棵，估计其产量不低于3.16千克的棵数；
（3）请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，以线段AB为直径作 O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交 O于点D，
过点D作直线DE⊥AC于点E，交⊙AB的延长线于点F．连接BD并延长交A⊙C于点M．
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）求证：AB＝AM；⊙
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．24．（8分）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似
看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为
横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为
（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即 ＝
）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据： ≈1.73）
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比
例函数y＝ （m≠0，x＞0）的图象相交于点A，OB＝1，tan∠OBC＝2，BC：CA＝1：2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接
BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标．26．（10分）综合与实践
知识再现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S 、
1
S 、S ．当S ＝36，S ＝100时，S ＝ ．
2 3 1 3 2
问题探究
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S 、S 、S ，则S 、
1 2 3 1
S 、S 之间的数量关系是 ．
2 3
（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S 、S 、S ，试猜想S 、
4 5 6 4
S 、S 之间的数量关系，并说明理由．
5 6
实践应用
（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时
针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN ＝S四边形PMFG ；
（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为
底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V 、V 、V ．若AB＝4，柱体的高h
1 2 3
＝8，直接写出V +V 的值．
1 22022年宁夏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符
合题目要求的）
1．（3分）下列事件为确定事件的有（ ）
（1）打开电视正在播动画片
（2）长、宽为m，n的矩形面积是mn
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
（4） 是无理数
A．1个π B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）打开电视正在播动画片，是随机事件，不合题意；
（2）长、宽为m，n的矩形面积是mn，是确定事件，符合题意；
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
（4） 是无理数，是确定事件，符合题意；
故选：πB．
【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影
子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【解答】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．【点评】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣2﹣2＝0 B． ﹣ ＝ C．x3+x3＝2x6 D．（﹣x3）2＝x6
【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而
判断得出答案．
【解答】解：A．﹣2﹣2＝﹣4，故此选项不合题意；
B． ﹣ ＝ ，故此选项不合题意；
C．x3+x3＝2x3，故此选项不合题意；
D．（﹣x3）2＝x6，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，正确掌握相
关运算法则是解题关键．
4．（3分）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，
除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是
（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可．
【解答】解：摸到红球的频率为3÷5＝0.6，
估计袋中红球的个数是20×0.6＝12（个），
故选：A．
【点评】本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率．
5．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 + 的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据图形得到a＜0，b＞0，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴原式＝﹣1+1＝0．
故选：C．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
6．（3分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根
据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号
汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的感觉．
7．（3分）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下
降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数
对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑
其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总 （R总 ＝R+R
0
）是反比例关系，
电流I与R总 也是反比例关系，则I与V的函数关系是（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数
C．二次函数 D．以上答案都不对
【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总 是反比例关系，电流I与R总 是反比例关
系，可得I＝ V（ 为常数），即可得到答案．
【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总 是反比例关系，设V•R总 ＝k（k为常
数），
由电流I与R总 是反比例关系，设I•R总 ＝k'（k为常数），∴ ＝ ，
∴I＝ V（ 为常数），
∴I与V的函数关系是正比例函数，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比
例函数的概念．
8．（3分）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量
角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120
处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（ ）
A．（2 ﹣ ）cm2 B．（8 ﹣ ）cm2
π π
C．（8 ﹣ ）cm2 D．（16 ﹣ ）cm2
π π
【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形
的面积减去扇形的面积，即可求出答案．
【解答】解：在Rt△OCF中，∠COF＝180°﹣∠BOF＝60°，
∴∠OFC＝30°，
∵OC＝2cm，
∴OF＝2OC＝4cm，
连接OE，则OE＝OF＝4cm，
在Rt△BOE中，∠B＝30°，
∴∠DOE＝60°，OB＝2OE＝8cm，
根据勾股定理得，BE＝ ＝4 cm，∴S阴影 ＝S△BOE ﹣S扇形DOE ＝ BE•OE﹣ ＝ ×4 ×4﹣ ＝（8 ﹣ ）
π π
cm2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和
扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝ a （ a + b ）（ a ﹣ b ） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题
关键．
10．（3分）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是
OA ＝ OC （答案不唯一） .（只写一个）
【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（SAS），∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11．（3分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》
《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影
片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙
再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别
记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用
到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）如图，在 O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OB＝10，AB＝16，则cosB＝
⊙
．【分析】根据垂径定理得BD＝ AB＝8，再利用余弦的定义可得．
【解答】解：∵半径OC垂直弦AB于点D，
∴BD＝ AB＝8，
∴cosB＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了垂径定理，三角函数的定义，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
13．（3分）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E
恰好落在直线y＝2x﹣3上，则点A移动的距离是 3 ．
【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而
可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△O'A'B'，根据平移的性质即可得出点B与其
对应点间的距离．
【解答】解：当y＝2x﹣3＝3时，x＝3，
∴点E的坐标为（3，3），
∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，
∴点A与其对应点间的距离为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解析式中求出点E的坐标是解题的关键．
14．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价
各几何？”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱．问：
人数、物价各多少？设有x人，物价为y钱，则可列方程组为 ．
【分析】根据“每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱”，即可得出关于x，y的二元一
次方程组，此题得解．
【解答】解：∵每人出八钱，余三钱，
∴8x﹣y＝3；
∵每人出七钱，差四钱，
∴y﹣7x＝4．
∴可列方程组为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
15．（3分）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时
针旋转75°至△A OB ，边A O交直线a于点C，则∠1＝ 5 0 °．
1 1 1
【分析】根据旋转的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A OB ，
1 1
∴∠A OB ＝∠AOB＝55°，∠AOA ＝75°，
1 1 1
∴∠A OD＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
1
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠A OD＝50°，
1
故答案为：50．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16．（3分）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，
某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角
∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时
返回舱底部离地面的高度CE约为 161 4 米（精确到1米）．
（参考数据：sin46°12′≈0.72，cos46°12′≈0.69，tan46°12′≈1.04）
【分析】首先利用勾股定理求出OB的长，设DE＝CE＝xm，则AF＝（50+x）m，DF＝（x﹣
14）m，利用tan46°12′＝ ＝ ＝1.04，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理得，
OB＝ ＝ ＝48（m），
∴AF＝OE＝OB+BC+CE＝48+2+CE，
∵∠CDE＝45°，∠DEC＝90°，
∴DE＝CE，
设DE＝CE＝xm，
则AF＝（50+x）m，DF＝（x﹣14）m，
∵∠ADE＝46°12′．∴tan46°12′＝ ＝ ＝1.04，
解得x≈1614，
∴CE＝1614米，
故答案为：1614．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，用x的代数式表示AF和
DF的长是解题的关键．
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格点上．建立平
面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（2，1）和（﹣1，3）．
（1）画出该平面直角坐标系xOy；
（2）画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A B ；
1 1
（3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置；
（2）根据中心对称的性质，即可画出线段A B ；
1 1
（3）根据平行四边形的性质即可画出图形．
【解答】解：（1）如图，即为所求；（2）如图，线段A B 即为所求；
1 1
（3）如图，平行四边形AOBD即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，作图﹣
旋转变换，熟练掌握各性质是解题的关键．
18．（6分）解不等式组： ．
【分析】分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
【解答】解： ，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1．
【点评】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
19．（6分）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
（ ﹣ ）÷
＝（ ﹣ ）• …第一步
＝ …第二步
＝ …第三步＝﹣ …第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第 一 步是通分，通分的依据是 分式的性质 ．
②第 二 步开始出现错误，错误的原因是 去括号没有变号 ．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；
②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：①一，分式的性质．
②二，去括号没有变号．
任务二：
（ ﹣ ）÷
＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝ •
＝ ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
20．（6分）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的
篮球数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球
数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球（20﹣y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过
1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+30＝110．
∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．
（2）设购买篮球y个，则购买排球（20﹣y）个，
依题意得：110y+80（20﹣y）≤1800，
解得y≤6 ，
即y的最大值为6，
∴最多购买6个篮球．
【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
21．（6分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．
（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；
（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．
（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结
合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∴∠CBE＝∠BEC，
∴BC＝EC，
∵AB＝BC，
∴AB＝EC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCE为菱形．
【点评】本题考查尺规作图、菱形的判定，熟练掌握角平分线的作图步骤以及菱形的判定
定理是解答本题的关键．
22．（6分）宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试
验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9
乙品种：如图所示
平均数 中位数 众数 方差
甲品种 3.16 a 3.2 0.29
乙品种 3.16 3.3 b 0.15
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：a＝ 3. 2 ，b＝ 3. 5 ；
（2）若乙品种种植300棵，估计其产量不低于3.16千克的棵数；
（3）请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出；（2）用300乘以产量不低于3.16千克的百分比即可；
（3）根据方差可以判断乙品种更好，产量稳定．
【解答】解：（1）把甲品种的产量从小到大排列：2.0，2.5，3.1，3.1，3.2，3.2，3.2，3.6，3.8，
3.9，中位数是 ＝3.2，
乙品种的产量3.5千克的最多有3棵，所以众数为3.5，
故答案为：3.2，3.5．
（2）300× ＝180（棵）；
答：估计其产量不低于3.16千克的棵数有180棵；
（3）因为甲品种的方差为0.29，乙品种的方差为0.15，
所以乙品种更好，产量稳定．
【点评】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、
方差、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，以线段AB为直径作 O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交 O于点D，
过点D作直线DE⊥AC于点E，交⊙AB的延长线于点F．连接BD并延长交A⊙C于点M．
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）求证：AB＝AM；⊙
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝
90°，即可证明直线DE是 O的切线；
（2）由线段AB是 O的⊙直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝
∠ABM，则AB＝AM⊙；
（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是 O的半径，且DE⊥OD，
∴直线D⊙E是 O的切线．
（2）证明：∵⊙线段AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°， ⊙
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．【点评】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角
形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角
所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（8分）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似
看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为
横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为
（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即 ＝
）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据： ≈1.73）
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐
标减去DE的长可得出结论．【解答】解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，
∴A（0，4）．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，
∵A（0，4），
∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣ ．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣4）2+12．
（3）在Rt△CDE中， ＝ ，CD＝2.5，
∴CE＝1.5，DE＝2．
∴点D的纵坐标为﹣1.5，
令﹣ （x﹣4）2+12＝﹣1.5，
解得，x＝4+3 ≈9.19或x＝4﹣3 ≈﹣1.19（不合题意，舍去），
∴D（9.19，﹣1.5）．
∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．
∴OC的长约为7.2米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐
标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比
例函数y＝ （m≠0，x＞0）的图象相交于点A，OB＝1，tan∠OBC＝2，BC：CA＝1：2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接
BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标．【分析】（1）根据正切函数的定义可得出 OC 长，过点 A 作 AF⊥x 轴于点 F，则
△ACF∽△BCO，由相似比可得出CF和AF的长，进而可得出点A的坐标，代入反比例函
数可得出m的值，进而可得结论；
（2）由（1）可得直线AB的解析式．设点D的横坐标为t，由此可表达点D，E的坐标，根据
三角形的面积公式可表达△BDE的面积，根据二次函数的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∴AF∥y轴，
∴△ACF∽△BCO，
∴BC：AC＝OB：AF＝OC：CF＝1：2．
∵OB＝1，tan∠OBC＝2，
∴OC＝2，
∴AF＝2，CF＝4，
∴OF＝OC+CF＝6，
∴A（6，2）．
∵点A在反比例函数y＝ （m≠0，x＞0）的图象上，
∴m＝2×6＝12．
∴反比例函数的表达式为：y＝ （x＞0）．
（2）由题意可知，B（0，﹣1），
∴直线AB的解析式为：y＝ x﹣1．
设点D的横坐标为t，
则D（t， t﹣1），E（t， ）．∴ED＝ ﹣ t+1．
∴△BDE的面积为：
（t﹣0）（ ﹣ t+1）
＝﹣ t2+ t+6
＝﹣ （t﹣1）2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴t＝1时，△BDE的面积的最大值为 ，此时D（1，﹣ ）．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求反比例函数解析式，
三角形的面积，二次函数的性质，得出△BDE与t函数关系式是解题的关键．
26．（10分）综合与实践
知识再现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S 、
1
S 、S ．当S ＝36，S ＝100时，S ＝ 6 4 ．
2 3 1 3 2
问题探究
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S 、S 、S ，则S 、
1 2 3 1
S 、S 之间的数量关系是 S + S ＝ S ．
2 3 1 2 3
（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S 、S 、S ，试猜想S 、
4 5 6 4
S 、S 之间的数量关系，并说明理由．
5 6实践应用
（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时
针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN ＝S四边形PMFG ；
（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为
底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V 、V 、V ．若AB＝4，柱体的高h
1 2 3
＝8，直接写出V +V 的值．
1 2
【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；
问题探究：（1）利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；
（2）过点D作DG⊥BC交于G，分别求出S ＝ BC2，S ＝ AC2，S ＝ AB2，由勾股
4 5 6
定理可得 AB2＝ AC2+ BC2，即可求S +S ＝S ；
4 5 6
实践应用：（1）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，则HN＝a+b﹣c，FG＝c﹣a，MF＝c﹣b，可证明
△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则S△PMN ＝ （a+b﹣c）2，S四边形PMFG
＝ （c﹣a）（c﹣b），再由c2＝a2+b2，可证明S△PHN ＝S四边形PMFG ；
（2）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，以AB为直径的圆的面积为S 、以BC为直径的圆的面积为
3
S 、以AC为直径的圆的面积为S ，可得S +S ＝S ，又由V +V ＝ （S +S ）h＝ S h＝V ，
1 2 1 2 3 2 1 1 2 3 3
即可求V +V ＝16 ．
1 2
【解答】知识再现π：解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴S +S ＝S ，
1 2 3
∵S ＝36，S ＝100，
1 3
∴S ＝64，
2
故答案为：64；
问题探究：（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴ AB2＝ AC2+ BC2，
∴S +S ＝S ，
1 2 3
故答案为：S +S ＝S ；
1 2 3
（2）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
过点D作DG⊥BC交于G，
在等边三角形BCD中，CD＝BC，CG＝ BC，
∴DG＝ BC，
∴S ＝ ×BC× BC＝ BC2，
4
同理可得S ＝ AC2，S ＝ AB2，
5 6
∴ AB2＝ AC2+ BC2，
∴S +S ＝S ；
4 5 6
实践应用：（1）证明：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∴HN＝a+b﹣c，FG＝c﹣a，MF＝c﹣b，
∵△HGB是等边三角形，△ABF是等边三角形，
∴HG∥AF，MN∥BF，
∴∠HPN＝60°，
∴△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，
∴S△PHN ＝ （a+b﹣c）2，S四边形PMFG ＝ （c﹣a）（c﹣b），
∵△ABC是直角三角形，
∴c2＝a2+b2，
∴ （a+b﹣c）2＝ （a2+b2+c2+2ab﹣2bc﹣2ac）＝ （c2+ab﹣bc﹣ac）＝ （c﹣a）
（c﹣b），
∴S△PHN ＝S四边形PMFG ；
（2）解：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，以AB为直径的圆的面积为S 、以BC为直径的圆的面
3
积为S 、以AC为直径的圆的面积为S ，
1 2
∵△ABC是直角三角形，
∴c2＝a2+b2，
∴ c2＝ a2+ b2，
∴S +S ＝S ，
1 2 3
∵V ＝ S h，V ＝ S h，V ＝ S h，
2 2 1 1 3 3
∴V +V ＝ （S +S ）h＝ S h＝V ，
2 1 1 2 3 3
∵AB＝4，h＝8，
∴V ＝ S h＝ × ×4×8＝16 ，
3 3
π π
∴V +V ＝16 ．
1 2
π【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，
圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键．
