文档内容
2022年四川省巴中市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑）
1．（4分）下列各数是负数的是（ ）
A．（﹣1）2 B．|﹣3| C．﹣（﹣5） D．
2．（4分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（
）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝﹣2 B．（ ）﹣1＝﹣
C．（a2）3＝a6 D．a8÷a4＝a2（a≠0）
4．（4分）若一组数据1，2，4，3，x，0的平均数是2，则众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A． 是无理数
B．明天巴中城区下雨是必然事件
C．正五边形的每个内角是108°
D．相似三角形的面积比等于相似比
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作
CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
7．（4分）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的
实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＞﹣ B．k＜﹣ C．k＞﹣ 且k≠0 D．k≥﹣ 且k≠0
8．（4分）如图，AB为 O的直径，弦CD交AB于点E， ，∠CDB＝30°，AC＝2 ，则
OE＝（ ） ⊙
A． B． C．1 D．2
9．（4分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将
△AOB绕O点逆时针旋转到如图△A′OB′的位置，A的对应点A′恰好落在直线AB上，
连接BB′，则BB′的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（4分）如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于 CD为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误
的是（ ）
A．∠BCD＝120° B．若AB＝3，则BE＝4
C．CE＝ BC D．S△ADE ＝ S△ABE
11．（4分）甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时
间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲比乙早1分钟出发
B．乙的速度是甲的速度的2倍
C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟
D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地
12．（4分）函数y＝|ax2+bx+c（| a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣
4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论
正确的是（ ）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位
置上）
13．（3分）今年是中国共青团建团100周年，据统计截止2021年12月31日，全国共有学生
团员48310000名，48310000用科学记数法表示为 ．
14．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是 ．
15．（3分）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ．
16．（3分）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°
方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离
约为 海里．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
17．（3分）、 是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且 2﹣2 ﹣ ＝4，则k的值为
． α β α α β
18．（3分）将双曲线y＝ 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线
y＝k（x﹣2）﹣1（k＞0，i＝1，2，3，…，1011）相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之
i i
和为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上）
19．（16分）解答题（1）计算： ﹣4cos30°+（3.14﹣ ）0+|1﹣ |．
π
（2）先化简，再求值 ÷（x+1﹣ ），其中x＝ ﹣4．
（3）求不等式组 的整数解．
20．（10分）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋
和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽
取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数 50 30 80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，
请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
21．（10分）如图， ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延
长EC至点G，使▱CG＝CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
22．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价
提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该
商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B
两点，与双曲线y＝ （k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．
（1）求b，k的值；
（2）求D点坐标并直接写出不等式 x+b﹣ ≥0的解集；
（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．
24．（12分）四边形ABCD内接于 O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与 O相切于点
B． ⊙ ⊙
（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，
直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？
如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2022年四川省巴中市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑）
1．（4分）下列各数是负数的是（ ）
A．（﹣1）2 B．|﹣3| C．﹣（﹣5） D．
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可．
【解答】解：（﹣1）2＝1，是正数，故 A 选项不符合题意；
|﹣3|＝3，是正数，故 B 选项不符合题意；
﹣（﹣5）＝5，是正数，故 C 选项不符合题意；
，是负数，故 D 选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．
2．（4分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（
）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，
B、不是轴对称图形，不符合题意，
C、不是轴对称图形，不符合题意，
D、是轴对称图形，符合题意，故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，正确理解定义是解题的关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝﹣2 B．（ ）﹣1＝﹣
C．（a2）3＝a6 D．a8÷a4＝a2（a≠0）
【分析】根据算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法依次计算判断即可．
【解答】解：A、 ，选项错误，不符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，选项正确，符合题意；
D、a8÷a4＝a4（a≠0），选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握
各个运算法则是解题关键．
4．（4分）若一组数据1，2，4，3，x，0的平均数是2，则众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平均数的定义，先求出x，然后写出众数即可．
【解答】解：∵一组数据1，2，4，3，x，0的平均数是2，
∴ ，
解得x＝2，
∴这组数据的众数是2；
故选：B．
【点评】本题考查了平均数的定义，众数的定义，解题的关键是正确的求出x的值．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A． 是无理数
B．明天巴中城区下雨是必然事件
C．正五边形的每个内角是108°
D．相似三角形的面积比等于相似比
【分析】根据二次根式的化简可得 ＝2，随机事件，正五边形每个内角是108°，相似三角形的性质，逐一判断即可解得．
【解答】解：A．∵ ＝2，
∴ 是有理数，
故A不符合题意；
B．明天巴中城区下雨是随机事件，故B不符合题意；
C．正五边形的每个内角是108°，故C符合题意；
D．相似三角形的面积比等于相似比的平方，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数，随机事件，多边形的内角与外角，三角形的面积，熟练掌握这
些数学概念是解题的关键．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作
CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据CD∥OB得出 ，根据AC：OC＝1：2，得出 ，根据C、D两点纵
坐标分别为1、3，得出OB＝6，即可得出答案．
【解答】解：∵CD∥OB，
∴ ，
∵AC：OC＝1：2，
∴ ，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴CD＝3﹣1＝2，
∴ ，解得：OB＝6，
∴B点的纵坐标为6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出
，是解题的关键．
7．（4分）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的
实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＞﹣ B．k＜﹣ C．k＞﹣ 且k≠0 D．k≥﹣ 且k≠0
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根
的判别式列不等式求解即可．
【解答】解：根据定义新运算，得x2﹣x＝k，
即x2﹣x﹣k＝0，
∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，
解得： ，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，新定义等，熟练掌握根的判别式Δ＝b2﹣
4ac与根的情况的关系是解题的关键．
8．（4分）如图，AB为 O的直径，弦CD交AB于点E， ，∠CDB＝30°，AC＝2 ，则
OE＝（ ） ⊙
A． B． C．1 D．2
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝
30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为 O的直径， ，
∴AB⊥C⊙D，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°， ，
∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴ ，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周
角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
9．（4分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将
△AOB绕O点逆时针旋转到如图△A′OB′的位置，A的对应点A′恰好落在直线AB上，
连接BB′，则BB′的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】先求出点A、B的坐标，可求得OA、OB，进而可求得∠OAB＝60°，利用旋转的性质
和等边三角形的判定与性质证明△A'OA和△B'OB为等边三角形得到OB'＝OB即可求解．
【解答】解：在 中，当x＝0时， ，
当y＝0时，得 ，
解得x＝1，
∴A（1，0），B（0， ），
∴OA＝1， ，
∴tan∠OAB＝ ＝ ，
∴∠OAB＝60°，
由旋转性质得：OA′＝OA，OB'＝OB，∠AOA'＝∠BOB'，
∴△A'OA是等边三角形，
∴∠AOA'＝∠BOB'＝60°，
又∵OB'＝OB，
∴△B'OB是等边三角形，
∴ ，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定与性
质、解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得△B'OB是等边三角形是解题的
关键．
10．（4分）如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于 CD为半径画弧，两弧分别交
于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误
的是（ ）
A．∠BCD＝120° B．若AB＝3，则BE＝4
C．CE＝ BC D．S△ADE ＝ S△ABE
【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．
【解答】解：连接AC．由作法得MN垂直平分CD，
∴AD＝AC，CM＝DM，∠AED＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB＝3，则CE＝DE＝ ，
∵∠D＝60°，
∴AE＝ ，∠DAE＝30°，∠BAD＝120°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△ABE中，BE＝ ，所以B选项的结论错误，符
合题意；
∵四边形ABCD是菱形，
∴．BC＝CD＝2CE，即 ，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵AB∥CD，AB＝2DE，
∴ ，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活
运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．11．（4分）甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时
间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲比乙早1分钟出发
B．乙的速度是甲的速度的2倍
C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟
D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地
【分析】根据函数图象得出甲比乙早1分钟出发，及列一元一次方程依次进行判断即可．
【解答】解：A、由图象得，甲比乙早1分钟出发，选项正确，不符合题意；
B、由图可得，甲乙在t＝2时相遇，甲行驶的时间为2分钟，乙行驶的时间为1分钟，路程
相同，
∴乙的速度是甲的速度的2倍，选项正确，不符合题意；
C、设乙用时x分钟到达，则甲用时（x+5+1）分钟，
由B得，乙的速度是甲速度的2倍，
∴乙用的时间是甲用的时间的一半，
∴2x＝x+5+1，
解得：x＝6，
∴甲用时12分钟，选项错误，符合题意；
D、若甲出发时的速度为原来的2倍，此时甲乙速度相同，
∵甲比乙早1分钟出发，
∴甲比乙提前1分钟到达B地，选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查根据函数图象获取相关信息及一元一次方程的应用，理解题意，从
图象获取相关信息是解题关键．
12．（4分）函数y＝|ax2+bx+c（| a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣
4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为 ，进而可得2a+b＝0，由
图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，由抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，
对称轴位置和抛物线与y轴交点位置可得abc的符号，求出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点
式，可得图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点
【解答】解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．
由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，②错误．
由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，③正确．
设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得：3＝﹣3a，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求
法是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位
置上）
13．（3分）今年是中国共青团建团100周年，据统计截止2021年12月31日，全国共有学生
团员48310000名，48310000用科学记数法表示为 4.831×1 0 7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：48310000＝4.831×107；
故答案为：4.831×107．
【点评】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法
的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．
14．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是 x ＞ 3 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以
求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3＞0，
解得：x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．（3分）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ﹣ a （ a ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】先提公因式﹣a，再用完全平方式分解因式即可．
【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2．故答案为：﹣a（a﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，注意当第一项的系数是负数时，经
常提出负号，使括号内第一项的系数为正数．
16．（3分）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°
方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离
约为 5 0 海里．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
【分析】由题意可得∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，则∠PAB＝90°，∠B
＝37°，在Rt△PAB中，利用正弦函数求解即可．
【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，
∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，
在Rt△PAB中，sin37°＝ ≈ ，
解得PB≈50，
∴此时与灯塔P的距离约为50海里．
故答案为：50．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数
的定义是解题的关键．
17．（3分）、 是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且 2﹣2 ﹣ ＝4，则k的值为
﹣ 4 ．α β α α β
【分析】2﹣2 ﹣ ＝ 2﹣ ﹣（ + ）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与
系数的关α系，α得到β关α于kα的一α元一β 次方程，即可解得答案．
【解答】解：∵ 、 是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，
∴ 2﹣ +k﹣1＝0α，β+ ＝1，
∴α 2﹣α2 ﹣ ＝ 2﹣α﹣β（ + ）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，
∴αk＝﹣α4，β α α α β
故答案是：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题
的关键．
18．（3分）将双曲线y＝ 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线
y＝k（x﹣2）﹣1（k＞0，i＝1，2，3，…，1011）相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之
i i
和为 404 4 ．
【分析】直线y＝k（
i
x﹣2）﹣1（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）可由直线y＝k
i
x（k
i
＞0，i＝1，2，
3，⋅⋅⋅，1011）向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，这与双曲线 的平移方式
相同，从而可知新双曲线与直线y＝k（
i
x﹣2）﹣1（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点也可
以由双曲线 与直线y＝k
i
x（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点以同样的方式平移得
到，从而得知新双曲线与直线y＝k（
i
x﹣2）﹣1（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点横坐标
之和是4，再用4乘以1011得解．
【解答】解：直线y＝k（
i
x﹣2）﹣1（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）可由直线y＝k
i
x（k
i
＞0，i＝
1，2，3，⋅⋅⋅，1011）向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，
∴直线y＝k
i
x（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）到直线y＝k（
i
x﹣2）﹣1（k
i
＞0，i＝1，2，3，
⋅⋅⋅，1011）的平移方式与双曲线 双曲线的相同，
∴新双曲线与直线y＝k（
i
x﹣2）﹣1（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点也可以由双曲线与直线y＝k
i
x（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点以同样的方式平移得到，
设双曲线 与直线y＝k
i
x（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标为x
i
，x'
i
，（i＝
1，2，3，⋅⋅⋅，1011），
则新双曲线与直线y＝k（
i
x﹣2）﹣1（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标为x
i
+2，
x'
i
+2（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），
根据双曲线 与直线y＝k
i
x（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）图像都关于原点对称，可知双
曲线 与直线y＝k
i
x（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点也关于原点对称，
∴x
i
+x'
i
＝0，（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），
∴（x
i
+2）+（x'
i
+2）＝4（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），
即新双曲线与直线y＝k（
i
x﹣2）﹣1（k
i
＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标之和都
是4，
∴这2022个点的横坐标之和为：4×1011＝4044．
故答案是：4044．
【点评】本题考查正比例函数与反比例函数的图象交点问题和平移，掌握正比例函数与反
比例函数的图象和平移规则是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上）
19．（16分）解答题
（1）计算： ﹣4cos30°+（3.14﹣ ）0+|1﹣ |．
π
（2）先化简，再求值 ÷（x+1﹣ ），其中x＝ ﹣4．
（3）求不等式组 的整数解．
【分析】（1）先求特殊角的三角函数值，零指数幂，去绝对值，再加减运算即可；
（2）先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即
可；
（3）分别解不等式①，②，再按“大小小大取中间”求得不等式组解集．
【解答】解：（1） ﹣4cos30°+（3.14﹣ ）0+|1﹣ |
π＝2 ﹣4× +1+ ﹣1
＝2 ﹣2 +1+ ﹣1
＝ ．
（2） ÷（x+1﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝
＝ ，
当x＝ ﹣4时，原式＝ ＝ +2．
（3） ，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤1，
∴该不等式组的整数解是﹣1，0，1．
【点评】本题考查了实数的混合运算，锐角三角函数，零指数幂，二次根式的性质和运算，
分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握相应的运算法则是解题关键．
20．（10分）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋
和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽
取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数 50 30 80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 20 0 人，其中参加围棋社的有 4 0 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，
请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围
棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有
可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【解答】解：（1）抽取的学生共有：80÷40%＝200（人），
参加围棋社的有：200﹣50﹣30﹣80＝40（人）；
故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：3200× ＝480（人）；
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
∴恰好抽到一男一女概率为 ＝ ．
【点评】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计
图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考
查了利用树状图或列表法求概率．21．（10分）如图， ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延
长EC至点G，使▱CG＝CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，
利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC＝EB，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴DC＝CF，
又∵CE＝CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE＝CG，
∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，
∴DF＝EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟
练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
22．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵
10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价
提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该
商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，根据猪肉粽进价比豆
沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
（2）根据当a＝50时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽
[100﹣2（a﹣50）]盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
【解答】解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，
由题意得： ，
解得： ，
∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
（2）w＝（a﹣40）[100﹣2（a﹣50）]＝﹣2（a﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意
列出相应的函数关系式是解此题的关键．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B
两点，与双曲线y＝ （k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．
（1）求b，k的值；（2）求D点坐标并直接写出不等式 x+b﹣ ≥0的解集；
（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．
【分析】（1）根据点A在直线 上，把点A代入 ，求出b的值；过C作
CF⊥x轴于点F，得△AOB∽△AFC，根据AB：BC＝2：1，可求出点F的坐标，可得点C的
坐标，代入反比例函数，即可求出k的值；
（2）根据交点坐标的性质，可求出点D的坐标，根据 ，得 ，根据函
数图象，即可得到解集；
（3）根据同底同高，得S△ODE ＝S△COD ，S△COD ＝S△COA +S△ADO 即可．
【解答】解：（1）∵点A在直线 上，A（﹣4，0），
∴ ，
解得b＝2，
过C作CF⊥x轴于点F，
∴△AOB∽△AFC，
∵AB：BC＝2：1，
∴ ，
∴AF＝6，
∴OF＝2，
在 中，令x＝2，得y＝3，
∴C（2，3），∴ ，
∴k＝6．
（2）∵D点是 和 交点，
∴ ，
解得 或 ，
∵D点在第三象限，
∴D（﹣6，﹣1），
由图象得，当﹣6≤x＜0或x≥2时， ，
∴不等式 的解集为﹣6≤x＜0或x≥2．
（3）∵△ODE和△OCD同底同高，
∴S△ODE ＝S△OCD ，
∵S△COD ＝S△COA +S△ADO ，
∴ ．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形的性
质，不等式的解集，交点坐标，三角形面积的转换．
24．（12分）四边形ABCD内接于 O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与 O相切于点
B． ⊙ ⊙
（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBA+∠ABO＝90°，再由∠PBA＝30°，可得
∠ABO＝60°，从而得到△AOB为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得BE平分
∠ABO，即可求证；
（2）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得∠PBA＝∠OBC＝∠OCB，从而得到
∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA，进而得到∠AOB＝∠ACD，再由∠BAO＝∠BDC，即可求证．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵直线PB与 O相切于点B，
∴∠PBO＝90⊙°．
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵∠PBA＝30°，
∴∠ABO＝60°．
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
又∵OE＝AE，
∴BE平分∠ABO．
∴ ，
∴BA平分∠PBD；
（2）证明：∵直线PB与 O相切于点B，
∴∠PBO＝90°． ⊙
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°．
∴∠OBC+∠ABO＝90°．∴∠OBC＝∠PBA．
∵OB＝OC，
∴∠PBA＝∠OBC＝∠OCB．
∴∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA．
∵∠ACD＝∠ABD＝2∠PBA，
∴∠AOB＝∠ACD，
又∵∠BAO＝∠BDC，
∴△OAB∽△CDE．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练
掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，
直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？
如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）由当y≥0时，﹣1≤x≤3，可知x ＝﹣1，x ＝3是ax2+2x+c＝0的两根，代入方
1 2
程可得a，c，从而得解；
（2）①把x＝2代入抛物线解析式可得D点坐标，再将x＝0代入抛物线解析式可得C点
坐标，从而 得知 线段 CD∥x 轴， 利用配方法 可知 点 F 坐标，从而 利用
求面积；
②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），用待定系数法求出直线AD与直线BD的解析式，再
令x＝1得y ，y ，从而得出ME，NE的长，从而得到NE+ME是定值8．
M N
【解答】解：（1）∵当y≥0时，﹣1≤x≤3，
∴x ＝﹣1，x ＝3是ax2+2x+c＝0的两根，A（﹣1，0），B（3，0），
1 2
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3，
∴D（2，3）．
又当x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
∴线段CD∥x轴．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4）， ；
②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），
直线AD：y＝k x+b ，BD：y＝k x+b ，
1 1 2 2因此可得： 或 ，
解得： 或 ，
∴直线AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．
令x＝1得y ＝6﹣2m，y ＝2m+2，
M N
∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2，
∴NE+ME＝8．
【点评】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌
握待定系数法和面积求法是解题的关键．
