文档内容
2022年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题
卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）实数2022的相反数是（ ）
A．﹣2022 B．﹣ C． D．2022
2．（3分）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是
轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）计算（2a4）3的结果是（ ）
A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，且x ＜0＜x ，则下列结论
1 1 2 2 1 2
一定正确的是（ ）
A．y +y ＜0 B．y +y ＞0 C．y ＜y D．y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
7．（3分）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学
随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝
24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A． cm B．8cm C．6 cm D．10cm
10．（3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9
个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接
填写在答题卡指定的位置．
11．（3分）计算 的结果是 ．
12．（3分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售
量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 ．
尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 1 3 10 4 2
13．（3分）计算 ﹣ 的结果是 ．
14．（3分）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同
时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是 m．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，
且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m＝ ，则3a+2c＜0；
③若点M（x ，y ），N（x ，y ）在抛物线上，x ＜x ，且x +x ＞1，则y ＞y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三
个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、
演算步骤或画出图形．
17．（8分）解不等式组 请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
19．（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣
讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项
活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整
理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）本次调查的样本容量是 ，B项活动所在扇形的圆心角的大小是 ，条
形统计图中C项活动的人数是 ；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
20．（8分）如图，以AB为直径的 O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和
∠ABC，AE的延长线交 O于点⊙D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状⊙，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2 ，求BC的长．
21．（8分）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三
个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点
F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC；
（2）在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC＝ ．先将AB绕点A逆时针旋转2 ，得到线段
AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点α关于直线AC对称． α22．（10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白
球在黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间（t 单
位：s）变化的数据，整理得下表．
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度v/ 10 9.5 9 8.5 8
cm/s
运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动
时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值
范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明
理由．
23．（10分）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED
交AB于点F，探究 的值．
问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出 的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点， ＝ （n＜2），延
长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出 的值（用含n的式子表示）．
24．（12分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上
一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离
相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．
求 的值（用含m的式子表示）．2022年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题
卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）实数2022的相反数是（ ）
A．﹣2022 B．﹣ C． D．2022
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【解答】解：实数2022的相反数是﹣2022，
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
2．（3分）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可判断．
【解答】解：彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是随机事件，
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的
关键．
3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是
轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形，
故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合．
4．（3分）计算（2a4）3的结果是（ ）
A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（2a4）3＝8a12，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题
的关键．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看共有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6．（3分）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，且x ＜0＜x ，则下列结论
1 1 2 2 1 2
一定正确的是（ ）
A．y +y ＜0 B．y +y ＞0 C．y ＜y D．y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】先根据反比例函数y＝ 判断此函数图象所在的象限，再根据x ＜0＜x 判断出A
1 2
（x ，y ）、B（x ，y ）所在的象限即可得到答案．
1 1 2 2【解答】解：∵反比例函数y＝ 中的6＞0，
∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（x ，y ），B（x ，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，且x ＜0＜x ，
1 1 2 2 1 2
∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，
∴y ＜y ．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此
题的关键．
7．（3分）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的
变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗
细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；即随着时间的变化，水面高度
变化的快慢不同，与所给容器的底面积有关．则相应的排列顺序就为选项A．
故选：A．
【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
8．（3分）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学
随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出A，B两位同学座位相邻的结果
数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
列表为：
ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB
BACD BADC CABD CADB DABC DACB
BCAD BDAC CBAD CDAB DBAC DCAB
BCDA BDCA CBDA CDBA DBCA DCBA
4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学
座位相邻的结果数为12，
故A，B两位同学座位相邻的概率是 ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
9．（3分）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝
24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）A． cm B．8cm C．6 cm D．10cm
【分析】如图，当AB，BC，CD相切于 O于点E，F，G时， O的面积最大．连接OA，OB，
OC，OD，OE，OF，OG，过点D作⊙DH⊥BC于点H．利⊙用面积法构建方程求解．
【解答】解：如图，当AB，BC，CD相切于 O于点E，F，G时， O的面积最大．连接OA，
OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D⊙作DH⊥BC于点H．⊙
∵AD∥CB，∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝20cm，AD＝BH＝9cm，
∵BC＝24cm，
∴CH＝BC﹣BH＝24﹣9＝15（cm），
∴CD＝ ＝ ＝25（cm），
设OE＝OF＝OG＝rcm，
则有 ×（9+24）×20＝ ×20×r+ ×24×r+ ×25×r+ ×9×（20﹣r），
∴r＝8，
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，直角梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，
学会利用面积法构建方程解决问题．10．（3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9
个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间
的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，
∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，
最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，
∴ ，
解得： ，
∴x+y＝12，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接
填写在答题卡指定的位置．
11．（3分）计算 的结果是 2 ．
【分析】利用二次根式的性质计算即可．
【解答】解：法一、
＝|﹣2|
＝2；法二、
＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“ ＝|a|”是解决本题的关键．
12．（3分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售
量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 2 5 ．
尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 1 3 10 4 2
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由表知，这组数据中25出现次数最多，有10次，
所以这组数据的众数为25，
故答案为：25．
【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个
数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
13．（3分）计算 ﹣ 的结果是 ．
【分析】先通分，再加减．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．
14．（3分）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同
时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是 80 0
m．【分析】过点C作CE⊥BD，在Rt△BCE中先求出CE，再在Rt△DCE中利用边角间关系求
出CD．
【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E．
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°．
在Rt△BCE中，
∵BC＝1600m，
∴CE＝ BC＝800m，∠BCE＝60°．
∵∠BCD＝105°，
∴∠ECD＝45°．
在Rt△DCE中，
∵cos∠ECD＝ ，
∴CD＝
＝
＝800 （m）．
故答案为：800 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握“直角三角形中30°角所对的边等于斜边
的一半”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m＝ ，则3a+2c＜0；
③若点M（x ，y ），N（x ，y ）在抛物线上，x ＜x ，且x +x ＞1，则y ＞y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ①③④ （填写序号）．
【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；
②错误．3a+2c＝0；
③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x ，y ），N（x ，y ）在抛物
1 1 2 2
线上，x ＜x ，且x +x ＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y ＞
1 2 1 2 1
y ；
2
④正确，证明判别式＞0即可．
【解答】解：∵对称轴x＝ ＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
故①正确；
当m＝ 时，对称轴x＝﹣ ＝ ，
∴b＝﹣ ，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴ c＝0，
∴3a+2c＝0，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，
∵点M（x ，y ），N（x ，y ）在抛物线上，x ＜x ，且x +x ＞1，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，
∴y ＞y ，故③正确；
1 2设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），
方程a（x+1）（x﹣m）＝1，
整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，
Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）
＝a2（m+1）2+4a，
∵1＜m＜2，a≤﹣1，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读
懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三
个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，
LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 8 0 ．
【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得
△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角
三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可
得BJ与AJ，即可求解．
【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝
90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，
∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，
∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），
∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，
∴DM＝NF，
∴△DMI≌△FNI（AAS），
∴DI＝FI，MI＝NI，
∵∠DCF＝90°，
∴DI＝FI＝CI＝5，
在Rt△DMI中，由勾股定理可得：
MI＝ ＝ ＝3，
∴NI＝MI＝3，
∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，
∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，
∵四边形ABHL为正方形，
∴AL＝AB＝10，
∵四边形AJKL为矩形，
∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，
故答案为：80．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用全等三角形的性质进行求解．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、
演算步骤或画出图形．
17．（8分）解不等式组 请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x ≥﹣ 3 ；
（2）解不等式②，得 x ＜ 1 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ﹣ 3 ≤ x ＜ 1 ．
【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公
共部分即可得到原不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣3；
（2）解不等式②，得：x＜1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
（4）原不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
故答案为：（1）x≥﹣3；
（2）x＜1；
（4）﹣3≤x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合
的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD；
（2）根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝
∠BCD，根据平行线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题
的关键．
19．（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣
讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项
活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整
理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 8 0 ，B项活动所在扇形的圆心角的大小是 54 ° ，条形
统计图中C项活动的人数是 2 0 ；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．【分析】（1）根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
（2）根据样本估计总体列式计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是16÷20%＝80，B项活动所在扇形的圆心角的大小
是360°× ＝54°，条形统计图中C项活动的人数是80﹣32﹣12﹣16＝20（人），
故答案为：80，54°，20；
（2）2000× ＝800（人），
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人．
【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确地理解题意是解题的
关键．
20．（8分）如图，以AB为直径的 O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和
∠ABC，AE的延长线交 O于点⊙D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状⊙，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2 ，求BC的长．
【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直
角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以
BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2
，可得BD＝2 ．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和
Rt△BDF中，52﹣t2＝（2 ）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2 ，
∴BD＝2 ．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2 ）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4 ，再根据面积相等求得BC．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明
△BDE是等腰直角三角形是解题关键．
21．（8分）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三
个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点
F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC；
（2）在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC＝ ．先将AB绕点A逆时针旋转2 ，得到线段
AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点α关于直线AC对称． α
【分析】（1）构造平行四边形ABCF即可解决问题，CF交格线于点T，连接DT交AC于点
G，点G，点F即为所求；
（2）取格点M，N，J，连接MN，BJ交于点H，连接AH，PH，PH交AC于点K，连接BK，延
长BK交AH 于点Q，线段AH，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图（1）中，点F，点G即为所求；
（2）如图（2）中，线段AH，点Q即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会
利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白
球在黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间（t 单
位：s）变化的数据，整理得下表．
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度v/ 10 9.5 9 8.5 8
cm/s
运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动
时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值
范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明
理由．
【分析】（1）设v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出m和n；设y＝
at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可；
（2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可；（3）设黑白两球的距离为wcm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质
可得出结论．
【解答】解：（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得 ，
解得， ，
∴v＝﹣ t+10；
设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得 ，
解得 ，
∴y＝﹣ t2+10t．
（2）令y＝64，即﹣ t2+10t＝64，
解得t＝8或t＝32，
当t＝8时，v＝6；
当t＝32时，v＝﹣6（舍）；
（3）设黑白两球的距离为wcm，
根据题意可知，w＝70+2t﹣y
＝ t2﹣8t+70
＝ （t﹣16）2+6，
∵ ＞0，
∴当t＝16时，w的最小值为6，
∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当w＝0时， t2﹣8t+70＝0，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距
离之差小于70 cm．
【点评】本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点
等知识，（3）关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到．
23．（10分）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED
交AB于点F，探究 的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出 的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点， ＝ （n＜2），延
长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出 的值（用含n的式子表示）．
【分析】问题探究
（1）取AB的中点G，连接DG，利用等边三角形的性质可得点F为AG的中点，从而得出
答案；
（2）取BC的中点H，连接DH，利用ASA证明△DBH≌△DEC，得BH＝EC，则 ，再
根据DH∥AB，得△EDH∽△EFB，从而得出答案；
问题拓展取BC的中点H，连接DH，由（2）同理可证明△DGH≌△DEC，得GH＝CE，得 ，再
根据DH∥AB，得△EDH∽△EFB，同理可得答案．
【解答】解：（1）如图，取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝ AG，
∵AG＝ AB，
∴AF＝ AB，
∴ ；
（2）取BC的中点H，连接DH，∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，DH＝ AB，
∵AB＝AC，
∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH，
∵BD＝DE，
∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH＝EC，
∴ ，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴ ，
∵DH＝ AB，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，
相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的
关键．
24．（12分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上
一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．
求 的值（用含m的式子表示）．
【分析】（1）令y＝0，解方程可得结论；
（2）分两种情形：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为
D ．②若点D在AC的上方时，点D 关于点P的对称点G（0，5），过点G作AC的平行线l
1 1
交抛物线于点D ，D ，D ，D 符合条件．构建方程组分别求解即可；
2 3 2 3
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由 ，可得x2﹣
（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x ，x 是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x x ＝﹣3﹣b，推出
1 2 1 2
x •x ＝x •x ＝﹣3﹣b可得n＝﹣1﹣ ，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝
A C B E
﹣3﹣q推出q＝﹣mn﹣3，推出q＝﹣（3+b）（﹣1﹣ ）﹣3＝ b2+2b，推出OF＝ b2+b，
可得结论．
【解答】解：（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵OP＝OA＝1，
∴P（0，1），
∴直线AC的解析式为y＝x+1．
①若点D在AC的下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D ．
1
∵B（3，0），BD ∥AC，
1
∴直线BD 的解析式为y＝x﹣3，
1
由 ，解得 或 ，
∴D （0，﹣3），
1
∴D 的横坐标为0．
1
②若点D在AC的上方时，点D 关于点P的对称点G（0，5），
1
过点G作AC的平行线l交抛物线于点D ，D ，D ，D 符合条件．
2 3 2 3
直线l的解析式为y＝x+5，
由 ，可得x2﹣3x﹣8＝0，
解得x＝ 或 ，
∴D ，D 的横坐标为 ， ，
2 3
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0， ， ．
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，
由 ，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
设x ，x 是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x x ＝﹣3﹣b，
1 2 1 2
∴x •x ＝x •x ＝﹣3﹣b
A C B E
∵x ＝﹣1，
A
∴x ＝3+b，
C∴m＝3+b，
∵x ＝3，
B
∴x ＝﹣1﹣ ，
E
∴n＝﹣1﹣ ，
设直线CE的解析式为y＝px+q，
同法可得mn＝﹣3﹣q
∴q＝﹣mn﹣3，
∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣ ）﹣3＝ b2+2b，
∴OF＝ b2+2b，
∴ ＝ b+1＝ （m﹣3）+1＝ m．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程
的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学
会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
