文档内容
2015 年青海省西宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，恰有一项是符合题目要求的）
1．﹣2﹣1的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
2．（3分）（2015•西宁）下列计算正确的是（ ）
A．a•a3=a3 B．a4+a3=a2 C．（a2）5=a7 D．（﹣ab）2=a2b2
3．（3分）（2015•西宁）不等式3x≤2（x﹣1）的解集为（ ）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2
4．（3分）（2015•西宁）下列说法正确的是（ ）
A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查
B． 一组数据3，6，6，7，9的中位数是6
C． 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是必然事件
5．（3分）（2015•西宁）有四张分别画有线段、等边三角形、平行四边形和正方形
的四个图形的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中翻开任意一张
的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
6．（3分）（2015•西宁）同一直角坐标系中，一次函数y =k x+b与正比例函数
1 1
y =k x的图象如图所示，则满足y ≥y 的x取值范围是（ ）
2 2 1 2
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
7．（3分）（2015•西宁）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB
上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB
平行，则∠DEB的度数是（ ）A．74°12′ B．74°36′ C．75°12′ D．75°36′
8．（3分）（2015•西宁）一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正
六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm B．12 mm C．6mm D．6 mm
9．（3分）（2015•西宁）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作
半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A． π﹣1 B． π﹣2 C．π﹣2 D．π﹣1
10．（3分）（2015•西宁）如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下
底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别
为y和x，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．（2分）（2015•西宁）计算： = ．
12．（2分）（2015•西宁）1989年以来，省委省政府、西宁市委市政府相继启动实施
南北山绿化工程，经过26年的绿化建设，绿化面积、森林覆盖率得到明显提高，
城市生态环境得到明显改善，截止2015年两山形成森林209300亩，将209300用
科学记数法表示为 ．
13．（2分）（2015•西宁）写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体
．
14．（2分）（2015•西宁）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab= ．
15．（2分）（2015•西宁）圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是 cm．
16．（2分）（2015•西宁）若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根
则矩形的周长为 ．
17．（2分）（2015•西宁）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平
分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为 ．
18．（2分）（2015•西宁）某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如
图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进
至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，
则蒲宁之珠的高度CD约为 m．（sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整
数）19．（2分）（2015•西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则
顶角的度数是 ．
20．（2分）（2015•西宁）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上
的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点D ，再将△BEF折
1
叠，使点B于点D 重合，折痕GH交BD 于点D ，依次折叠，则BD = ．
1 1 2 n
三、解答题（本大题共8小题，第21,22题每题7分，第23、24、25题每小题7分，
第26、27题每小题7分，第28题12分，共70分，解答时将文字说明、证明过程或
演算步骤写出）
21．（7分）（2015•西宁）计算：2sin60°+| ﹣2|+ ．
22．（7分）（2015•西宁）先化简，再求值： ÷（2+ ），其中x= ﹣1．23．（8分）（2015•西宁）如图，一次函数y=﹣ x+2的图象与x轴交于点B，与反比
例函数y= 的图象的交点为A（﹣2，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积
等于18，求P点的坐标．
24．（8分）（2015•西宁）如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．
（1）求证：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．25．（8分）（2015•西宁）央视新闻报道从5月23日起，在《朝闻天下》、《新闻直播
间》、《新闻联播》和《东方时空》等多个栏目播放《湟鱼洄游季探秘青海湖》新闻
节目，广受全国观众关注，青海电视台到我市某中学进行宣传调查活动，随机调
查了部分学生对湟鱼洄游的了解程度，以下是根据调查结果做出的统计图的一部
分：
（1）根据图中信息，本次调查共随机抽查了 名学生，其中“不了解”在扇形
统计图中对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有3000名学生，试估计该校所有学生中“非常了解”的有多少名？
（3）青海电视台要从随机调查“非常了解”的学生中，随机抽取两人做为“随行
小记者”参与“湟鱼洄游”的宣传报道工作，请你用树状图或列表法求出同时选
到一男一女的概率是多少？并列出所有等可能的结果．26．（10分）（2015•西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于
点A，D是射线BF上的一点，且满足 = ，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于
点M，连接BM，AM．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠ABM= ，AM=6，求⊙O的半径．
27．（10分）（2015•西宁）兰新铁路的通车，圆了全国人民的一个梦，坐上火车去
观赏青海门源百里油菜花海，感受大美青海独特的高原风光，暑假某校准备组织
学生、老师到门源进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，
根据报名人数，若都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等座单程火车票
花钱最少，则需1650元：
西宁到门源的火车票价格如下表
运行区间 票价
上车站 下车站 一等座 二等座
西宁 门源 36元 30元
（1）参加社会实践的学生、老师各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（参加社会实践的学生人数＜x
＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）y与x
之间的函数关系式．
28．（12分）（2015•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线
与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC，正方
形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，
交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x … ﹣2 0 4 8 10 …
y … 0 5 9 5 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式；
（2）求正方形DEFG的边长；
（3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形
ADQP的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．2015 年青海省西宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，恰有一项是符合题目要求的）
1．﹣2﹣1的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【考点】有理数的减法．.
【分析】根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数把原式化
为加法，根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：﹣2﹣1=﹣2+（﹣1）=﹣3，
故选：B．
【点评】有本题考查的是有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反
数，掌握法则是解题的关键．
2．（3分）（2015•西宁）下列计算正确的是（ ）
A．a•a3=a3 B．a4+a3=a2 C．（a2）5=a7 D．（﹣ab）2=a2b2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．.
【分析】A：根据同底数幂的乘法法则判断即可．
B：根据合并同类项的方法判断即可．
C：根据幂的乘方的运算方法判断即可．
D：根据积的乘方的运算方法判断即可．
【解答】解：∵a•a3=a4，
∴选项A不正确；
∵a4+a3≠a2，
∴选项B不正确；
∵（a2）5=a10，
∴选项C不正确；
∵（﹣ab）2=a2b2，
∴选项D正确．故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要
熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相
乘时才是底数不变，指数相加．
（3）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
3．（3分）（2015•西宁）不等式3x≤2（x﹣1）的解集为（ ）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2
【考点】解一元一次不等式．.
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号、移项、合并同类项计算，即可得到
答案．
【解答】解：去括号得，3x≤2x﹣2，
移项、合并同类项得，x≤﹣2，[来源:Zxxk.Com]
故选：C．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的一般步
骤是解题的关键．
4．（3分）（2015•西宁）下列说法正确的是（ ）
A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查
B． 一组数据3，6，6，7，9的中位数是6
C． 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是必然事件
【考点】中位数；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；随机事件．.
【分析】根据全面调查以及抽样调查的知识对A选项进行判断；根据中位数的定
义对B选项作出判断；根据样本容量的知识对C选项作出判断；根据随机事件的
意义对D选项作出判断．
【解答】解：A、了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，此选项错误；
B、一组数据3，6，6，7，9的中位数是6，此选项正确；C、从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为200，此选项错误；
D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，此选项错误；
故选B．
【点评】本题主要考查了中位数、随机事件、抽样调查以及样本容量等知识点，解
答本题的关键是熟练掌握中位数、随机事件、抽样调查以及样本容量的意义，此
题难度不大．
5．（3分）（2015•西宁）有四张分别画有线段、等边三角形、平行四边形和正方形
的四个图形的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中翻开任意一张
的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．.
【分析】先找出是中心对称图形不是轴对称图形的图形，再根据概率公式求解即
可．
【解答】解：线段、等边三角形、平行四边形和正方形的四个图形的卡片中是中心
对称图形，但不是轴对称图形只有平行四边形，
所以翻开任意一张的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的概率为 ，
故选A．
【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的
可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
6．（3分）（2015•西宁）同一直角坐标系中，一次函数y =k x+b与正比例函数
1 1
y =k x的图象如图所示，则满足y ≥y 的x取值范围是（ ）
2 2 1 2A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式．.
【分析】观察函数图象得到当x≤﹣2时，直线l ：y =k x+b 都在直线l ：y =k x的上
1 1 1 1 2 2 2
方，即y ≥y ．
1 2
【解答】解：当x≤﹣2时，直线l ：y =k x+b 都在直线l ：y =k x的上方，即y ≥y ．
1 1 1 1 2 2 2 1 2
故选A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻
求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象
的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构
成的集合．也考查了观察函数图象的能力．
7．（3分）（2015•西宁）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB
上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB
平行，则∠DEB的度数是（ ）
A．74°12′ B．74°36′ C．75°12′ D．75°36′
【考点】平行线的性质；度分秒的换算．.
专题： 跨学科．
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，
故∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和
定理求得∠DEB的度数．
【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，
∴∠2=90°﹣37°36′=52°24′；
∴在△DEF中，∠DEB=180°﹣2∠2=75°12′．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然
后由法线的性质来解答问题．
8．（3分）（2015•西宁）一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正
六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm B．12 mm C．6mm D．6 mm
【考点】正多边形和圆．.
专题： 计算题．
【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形
的边长．
【解答】解：已知圆内接半径r为12mm，
则OB=12，
∴BD=OB•sin30°=12× =6，
则BC=2×6=12，
可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．
故选A．
【点评】此题所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含义，即求圆内接正六边
形的边长．9．（3分）（2015•西宁）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作
半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A． π﹣1 B． π﹣2 C．π﹣2 D．π﹣1
【考点】扇形面积的计算．.[来源:学科网]
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平
分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积
与△ADC的面积之差．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB= =2 ，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD= ，
∴D为半圆的中点，
∴S =S ﹣S = π×22﹣ ×（ ）2=π﹣1．
阴影部分 扇形ACB △ADC
故选D．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的
求法．
10．（3分）（2015•西宁）如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下
底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别
为y和x，则y与x的函数图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．.
【分析】立方体的上下底面为正方形，立方体的高为x，则得出y﹣ x=4x，再得出
图象即可．
【解答】解：正方形的边长为 x，y﹣ x=4x，
∴y与x的函数关系式为y= x，
故选B．
【点评】本题考查了一次函数的图象和综合运用，解题的关键是从y﹣ x等于该
立方体的上底面周长，从而得到关系式．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．（2分）（2015•西宁）计算： = 4 ．
【考点】二次根式的性质与化简．.
【分析】运用开平方定义化简．
【解答】解：原式= =4．【点评】主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：
①被开方数的因数是整数，因式是整式．
②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）
的二次根式叫最简二次根式．
12．（2分）（2015•西宁）1989年以来，省委省政府、西宁市委市政府相继启动实施
南北山绿化工程，经过26年的绿化建设，绿化面积、森林覆盖率得到明显提高，
城市生态环境得到明显改善，截止2015年两山形成森林209300亩，将209300用
科学记数法表示为 2.093×1 0 5 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将209300用科学记数法表示为2.093×105，
故答案为2.093×105．
点评： 本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（2分）（2015•西宁）写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体
球或正方体 ．
【考点】简单几何体的三视图．.
专题： 开放型．
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：球的俯视图与主视图都为圆；
正方体的俯视图与主视图都为正方形．
故答案为：球或正方体（答案不唯一）．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象
能力方面的考查．
14．（2分）（2015•西宁）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab= ．【考点】关于原点对称的点的坐标．.
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：
求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系
的图形记忆．
【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，
∴b=﹣1，a=2，
∴ab=2﹣1= ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，
记忆时要结合平面直角坐标系．
15．（2分）（2015•西宁）圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是 4 π cm．
【考点】弧长的计算．.
专题： 应用题．
【分析】弧长的计算公式为l= ，将n=120°，R=6cm代入即可得出答案．
【解答】解：由题意得，n=120°，R=6cm，
故可得：l= =4πcm．
故答案为：4π．
【点评】此题考查了弧长的计算公式，属于基础题，解答本题的关键是掌握弧长的
计算公式及公式字母所代表的含义．
16．（2分）（2015•西宁）若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根
则矩形的周长为 1 6 ．
【考点】根与系数的关系；矩形的性质．.
【分析】设矩形的长和宽分别为x、y，由矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜
m≤32）的两个根，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到
x+y=8；xy=，然后利用矩形的性质易求得到它的周长．
【解答】解：设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x+y=8；
所以矩形的周长=2（x+y）=16．
故答案为：16．[来源:Z#xx#k.Com]
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的
两根分别为x ，x ，则x +x =﹣ ，x •x = ．也考查了矩形的性质．
1 2 1 2 1 2
17．（2分）（2015•西宁）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平
分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为 ．
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设
CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD，
设CD=x，则BD=4﹣x，
在Rt△BCD中，
CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，
解得x= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线
段两端点的距离相等是解答此题的关键．18．（2分）（2015•西宁）某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如
图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进
至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，
则蒲宁之珠的高度CD约为 18 9 m．（sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整
数）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
【分析】首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=56°，AB=62m，在Rt△ACD中，易
求得BD=AD﹣AB=CD﹣62；在Rt△BCD中，可得BD= ，即可得AB=AD
﹣BD=CD﹣ =62，继而求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵AD=AB+BD，
∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），
∵在Rt△BCD中，tan∠CBD= ，
∴BD= ，
∴AB=AD﹣BD=CD﹣ =62，
∴CD≈189，（m）．
答：蒲宁之珠的高度CD约为189，
故答案为：189．【点评】本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形
并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
19．（2分）（2015•西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则
顶角的度数是 110 ° 或 70 ° ．
【考点】等腰三角形的性质．.
【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角
是锐角两种情况．
【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°
+20°=110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°=70°．
故答案为：110°或70°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角
形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
20．（2分）（2015•西宁）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上
的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点D ，再将△BEF折
1
叠，使点B于点D 重合，折痕GH交BD 于点D ，依次折叠，则BD = ．
1 1 2 n【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．.
专题： 规律型．
【分析】根据等边三角形的性质依次求出边上的高，找出规律即可得到结果．
【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，
∴BD= ，
∵△BEF是边长为 等边三角形，
∴BD = ，
1
∴BD = ，
2
…
∴BD = ，
n
故答案为： ．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等边三角形的性质，根据已知条件找出
规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，第21,22题每题7分，第23、24、25题每小题7分，
第26、27题每小题7分，第28题12分，共70分，解答时将文字说明、证明过程或
演算步骤写出）
21．（7分）（2015•西宁）计算：2sin60°+| ﹣2|+ ．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．.
【分析】分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则计算出各
数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=2× +2﹣ +2
=2+2 ．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数
的开方法则是解答此题的关键．
22．（7分）（2015•西宁）先化简，再求值： ÷（2+ ），其中x= ﹣1．
【考点】分式的化简求值．.
专题： 计算题．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解
约分后得到原式= ，再把x的值代入计算．
【解答】解：原式= ÷
= ÷
= •
= ，
当x= ﹣1时，原式= = ．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通
分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应
的分式的值．23．（8分）（2015•西宁）如图，一次函数y=﹣ x+2的图象与x轴交于点B，与反比
例函数y= 的图象的交点为A（﹣2，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积
等于18，求P点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．.
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，列出关于系数m的方程，通
过解方程来求m的值；
（2）由一次函数解析式可以求得点B的坐标，然后根据三角形的面积公式来求点
P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图象上，则 =3，
解得m=﹣6．
故该反比例函数的解析式为y=﹣ ；
（2）设点P的坐标是（a，b）．
∵一次函数y=﹣ x+2的图象与x轴交于点B，
∴当y=0时，﹣ x+2=0，
解得x=4．
∴点B的坐标是（4，0），即OB=4．
∴BC=6．∵△PBC的面积等于18，
∴ ×BC×|b|=18，
解得：|b|=6，
∴b =6，b =﹣6，
1 2
∴点P的坐标是（﹣1，6），（1，﹣6）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用函数图象上点的坐
标特征求得相关点的坐标，然后由坐标与图形的性质得到相关线段的长度是解题
的关键．
24．（8分）（2015•西宁）如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．
（1）求证：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．.
【分析】（1）根据中点的性质，可得AE与EF的关系，根据平行的性质，可得内错
角相等，根据全等三角形的判定与性质，可得CF与DA的关系，根据等量代换，
可得答案；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BFCD的形状，
根据直角三角形的性质，可得BD=CD，根据菱形的判定，可得答案；
【解答】（1）证明∵AE是DC边上的中线，
∴AE=FE，
∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE．
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF=DA．
（2）∵CD是△ABC的中线，
∴D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∴BD=CF，
∵AB∥CF，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是平行四边形，[来源:Z&xx&k.Com]
∵∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∴CD= AB，
∵BD= AB，
∴BD=CD，
∴四边形BFCD是菱形．
【点评】本题考查了四边形综合题，（1）利用了全等三角形的判定与性质，（2）利
用了直角三角形的性质，菱形的判定分析．
25．（8分）（2015•西宁）央视新闻报道从5月23日起，在《朝闻天下》、《新闻直播
间》、《新闻联播》和《东方时空》等多个栏目播放《湟鱼洄游季探秘青海湖》新闻
节目，广受全国观众关注，青海电视台到我市某中学进行宣传调查活动，随机调查了部分学生对湟鱼洄游的了解程度，以下是根据调查结果做出的统计图的一部
分：
（1）根据图中信息，本次调查共随机抽查了 5 0 名学生，其中“不了解”在扇
形统计图中对应的圆心角的度数是 72 ° ，并补全条形统计图；
（2）该校共有3000名学生，试估计该校所有学生中“非常了解”的有多少名？
（3）青海电视台要从随机调查“非常了解”的学生中，随机抽取两人做为“随行
小记者”参与“湟鱼洄游”的宣传报道工作，请你用树状图或列表法求出同时选
到一男一女的概率是多少？并列出所有等可能的结果．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．.
专题： 计算题．
【分析】（1）由比较了解得人数除以占的百分比求出调查的学生总数即可；由不
了解占的百分比乘以360即可得到结果；
（2）求出非常了解的百分比，乘以3000，即可得到结果；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概
率．
【解答】解：（1）根据题意得：（16+20）÷72%=50（名）， ×360°=72°，
则本次调查共随机抽查了50名学生，“不了解”在扇形统计图中对应的圆心角
的度数是72°；故答案为：50；72°；
（2）根据题意得： ×3000=240（名），
则估计该校所有学生中“非常了解”的有240名；
（3）列表如下：
男 男 男 女
男 ﹣﹣﹣ （男，男） （男，男） （女，男）
男 （男，男） ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） ﹣﹣﹣ （女，男）
女 （男，女） （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中一男一女的情况有6种，
则P（一男一女）= = ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，以及条形
统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（10分）（2015•西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于
点A，D是射线BF上的一点，且满足 = ，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于
点M，连接BM，AM．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠ABM= ，AM=6，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．.
【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．（2）连接CM，根据垂径定理求得 = ，进而求得∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，
从而得出sin∠CBM= ，在RT△BMC中，利用正弦函数即可求得直径AB，进而
求得半径．
【解答】（1）证明：连接OA；
∵BA平分∠CBF，
∴∠ADB=∠CAB，
∵ ，
∴△ADB∽△CBA，
∴∠ADB=∠CAB，
又∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB=90°，∠ADB=90°，
又∵点A在圆O上，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=∠DBA，[来源:学+科+网]
∴FB∥OA，
∴∠ADB+∠OAD=180°，
∠OAD=90°，
∴OA⊥DA，∵OA为半径，
∴DA为⊙O的切线．
（2）解：连接CM，
∵OM⊥AC于点E，OM是半径，
∴ = ，
∴∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，
∴sin∠ABM=sin∠CBM= ，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BMC=90°，
在RT△BMC中，sin∠CBM= ，
∴ = ，∴BC=10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连
接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．
27．（10分）（2015•西宁）兰新铁路的通车，圆了全国人民的一个梦，坐上火车去
观赏青海门源百里油菜花海，感受大美青海独特的高原风光，暑假某校准备组织
学生、老师到门源进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，
根据报名人数，若都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等座单程火车票
花钱最少，则需1650元：
西宁到门源的火车票价格如下表
运行区间 票价
上车站 下车站 一二
等等
座座
西宁 门源 3 3
6 0
元元
（1）参加社会实践的学生、老师各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（参加社会实践的学生人数＜x
＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都
有座位坐并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）y与x
之间的函数关系式．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．.
【分析】（1）设参加社会实践的学生有m人，老师有n人，根据都买一等座单程火
车票需2340元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需1650元，列出方程组即
可；
（2）当50＜x＜65时，费用最低的购票方案为：学生都买学生票共50张，（x﹣50）
名老师买二等座火车票，（65﹣x）名老师买一等座火车票，然后列出函数关系式
即可．
【解答】解；（1）设参加社会实践的学生有m人，老师有n人．
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题
意得：
，
解得： ．
答：参加社会实践的学生、老师分别为50人、15人；
（2）由（1）知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人．
当50＜x＜65时，费用最低的购票方案为：
学生都买学生票共50张，（x﹣50）名老师买二等座火车票，（65﹣x）名老师买一
等座火车票．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=30×0.8×50+30（x﹣
50）+36（65﹣x）即y=﹣6x+2040（50＜x＜ 65）．
答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y=﹣6x+2040（50＜x
＜65）．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用和列函数关系式，分别求得购
买二等座火车票的教师的人数和一等座火车票的人数是解题的关键．
28．（12分）（2015•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线
与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC，正方
形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，
交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x … ﹣2 0 4 8 10 …y … 0 5 9 5 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式；
（2）求正方形DEFG的边长；
（3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形
ADQP的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．.
【分析】（1）利用已知表格中数据结合顶点式直接求出抛物线解析式即可；
（2）首先得出四边形HEFK为矩形，再利用△ADE∽△ABC，得出正方形DEFG的
边长；
（3）首先求出AB所在直线解析式，进而得出D点坐标，再求出直线A′D′的解析
式得出Q′的坐标即可．
【解答】解：（1）由图表可得：抛物线的顶点坐标为：（4，9），
设函数解析式为：y=a（x﹣4）2+9（a≠0），
把点（0，5）代入y=a（x﹣4）2+9，
解得：a=﹣ ．
∴函数解析式为：y=﹣ （x﹣4）2+9；
（2）设正方形DEFG的边长为m，
∵AK⊥x轴，
∴∠AKC=90°，
∵∠DEF=∠EFG=90°，
∴四边形HEFK为矩形，∴HK=EF=m，
∵点A在抛物线y=﹣ （x﹣4）2+9上，横坐标为2，
∴y=﹣ （x﹣4）2+9=8，
∴点A的坐标为：（2，8），
∴AK=8，∴AH=AK﹣HK=8﹣m，
由题意可得：B（﹣2，0），C（10，0），
∴BC=12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴m=﹣ ，
∴正方形的边长为： ；
（3）存在，
理由：过顶点M作抛物线的对称轴直线l：x=4，
设点A关于直线l：x=4对称点为A′，A′点的坐标为：（6，8），
∴设AB所在直线解析式为：y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴AB所在直线解析式为：y=2x+4，
∵D在直线AB上，DG= ，
∴点D的纵坐标为： ，由2x+4= ，
解得：x= ，
∴点D的坐标为：（ ， ），
设点D关于x轴对称点为D′，则D′（ ，﹣ ），
连接A′D′交对称轴于点P，交x轴于点Q，连接AP，DQ，
则四边形ADQP的周长最小，
设直线A′D′的解析式为：y=k′x+b′，
∴ ，
解得： ，
∴直线A′D′的解析式为：y= x﹣ ，
当x=4时，y= ×4﹣ = ，∴P（4， ），
当y=0时，x= ，
∴Q点坐标为：（ ，0）．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求一次函数解析式等知识
利用轴对称得出四边形ADQP的周长最小时P的位置是解题关键．
