文档内容
2015 年青海省中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）
1．﹣ 的绝对值是 ， 的算术平方根是 ．
2． 4x•（﹣2xy2）= ；分解因式：xy2﹣4x= ．
3．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m=
．
4．我省具有发展太阳能光伏发电产业得天独厚的条件．截止2015年，我省光伏
并网发电容量将超过5000000千瓦，该数字用科学记数法可以表示为
千瓦．
5．如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，
若∠1=58°，则∠2= ．
6．若实数m，n满足（m﹣1）2+ =0，则（m+n）5= ．
7．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是
（结果保留π）．
8．若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点
的坐标为 ．9．如图，点O为 所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，
AD=AC，则∠D= ．
10．如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使
△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助
线）．
11．在一个不透明的袋子中装有红白两种颜色的球（形状大小质地完全相同）共
25个，其中白球有5个．每次从中随机摸出一个球，并记下颜色后放回，那么从袋
子中随机摸出一个红球的概率是 ．
12．如图是一组有规律的图案，图案1是由4个 组成的，图案2是由7个 组
成的，那么图案5是由 个 组成的，依此，第n个图案是由
个 组成的．
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，
只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格
内）。
13．下列计算正确的是（ ）A．x7÷x4=x11 B．（a3）2=a5 C．2 +3 =5 D． ÷ =
14．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
15．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD
于点F，则 等于（ ）
A． B． C． D．
16．甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已
知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的
是（ ）
A． = B． = C． = D． =
17．如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是
（ ）
A． B． C． D．
18．甲、乙、丙、丁四位同学最近五次数学成绩统计如表，如果从这四位同学中，选
出一位成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选（
）
甲 乙 丙 丁
平均数 80 85 85 80
方差 42 42 54 5919．.已知一次函数y=2x﹣3与反比例函数y=﹣ ，那么它们在同一坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
20．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形
的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使
得DE=DF，则∠BDN的度数是（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题7分，第23题8分，共20分）
21．.计算： +（π﹣2015）0﹣| ﹣2|+2sin60°．
22．.先化简再求值： ，其中 ．
23．.如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部
11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED=60°，∠BED=45°．小明的观测点
与地面的距离EF为1.6米．
（1）求建筑物BC的高度；
（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
参考数据： ≈1.41， ≈1.73．四、（本大题共3小题，第24题8分，第25题8分，第26题8分，共24分）
24．.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：
四边形ADCE是菱形．
25．..某玩具商计划生产A、B两种型号的玩具投入市场，初期计划生产100件，生
产投入资金不少于22400元，但不超过22500元，且资金要全部投入到生产这两
种型号的玩具．假设生产的这两种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成本
和售价如表：
型号 A B
成本（元） 200 240
售价（元） 250 300
（1）该玩具商对这两种型号玩具有哪几种生产方案？
（2）该玩具商如何生产，就能获得最大利润？
26．..如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，
交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长．五、（本大题共2小题，第27题9分，第28题13分，共22分）
27．（9分）.为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合
设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘
公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中
单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下
列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 人，并把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是 ，“其他方
式”所在扇形的圆心角度数是 ；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用
列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．28．（13分）.如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）
两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相
似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2015年青海省中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）
1．（4分）.﹣ 的绝对值是 ， 的算术平方根是 ．
考点： 实数的性质；算术平方根．.
分析： 根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；根据算术平方根的定义进
行解答．
解答： 解：﹣ 的绝对值是 ， 的算术平方根是 ，
故答案为： ；点评： 本题考查了算术平方根的定义、绝对值的定义．注意一个正数的算术平
方根是正数，0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
2．（4分）.4x•（﹣2xy2）= ﹣ 8 x 2 y 2 ；分解因式：xy2﹣4x= x（ y+ 2 ）（ y﹣ 2 ） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用；单项式乘单项式．.
分析： 4x•（﹣2xy2）：根据单项式与单项式相乘的法则，把系数相乘作为积的系
数，相同的字母相乘作为积的因式，只在一个单项式中含有的字母也作为积的一
个因式计算即可；xy2﹣4x：只需先提得公因子x，然后再运用平方差公式展开即
可
解答： 解：4x•（﹣2xy2），
=4×（﹣2）•（x•x）•y2，
=﹣8x2y2．
xy2﹣4x=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2）．
故答案为：﹣8x2y2，x（y+2）（y﹣2）．
点评： 本题考查了单项式与单项式的乘法，提公因式法与公式法的综合运用，
关键是对平方差公式的掌握．
3．..已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m= 1 ．
考点： 一元二次方程的解．.
分析： 设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，利用根与系数的关系先
求出a，再得利用根与系数的关系先求出m即可．
解答： 解：∵设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，
∴a×（﹣1）=﹣ ，解得a= ，
∴ +（﹣1）= ，解得m=1．
故答案为：1．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是灵活运用根与系数的
关系．4．..我省具有发展太阳能光伏发电产业得天独厚的条件．截止2015年，我省光伏
并网发电容量将超过5000000千瓦，该数字用科学记数法可以表示为 5×1 0 6
千瓦．
考点： 科学记数法—表示较大的数．.
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：5000000千瓦用科学记数法可以表示为5×106千瓦，
故答案为：5×106
点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．..如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于
l，若∠1=58°，则∠2= 32 ° ．
考点： 平行线的性质．.
分析： 由平行线的性质得出∠3=∠1=58°，由垂直的定义得出∠MPQ=90°，即可
得出∠2的度数．
解答： 解：如图所示：
∵a∥b，∴∠3=∠1=58°，
∵PM⊥l，
∴∠MPQ=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣58°=32°；故答案为：32°．
点评： 本题考查了平行线的性质、垂线的定义、角的互余关系；熟练掌握平行线
的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
6．..若实数m，n满足（m﹣1）2+ =0，则（m+n）5= ﹣ 1 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．.
分析： 根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出（m+n）5的值．
解答： 解：由题意知，
m，n满足（m﹣1）2+ =0，
∴m=1，n=﹣2，
∴（m+n）5=（1﹣2）5=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对
值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其
中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
7．..如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结
果保留π）．
考点： 扇形面积的计算．.
专题： 压轴题．分析： 阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．
解答： 解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，
∴阴影部分的面积应为：S= = ．
故答案是： ．
点评： 本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转
化为几个规则图形的面积的和或差来求．
8．..若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的
点的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 1 ） ．
考点： 关于原点对称的点的坐标．.
分析： 过点A作AD⊥OB于点D，根据等腰直角三角形的性质求出OD及AD
的长，故可得出A点坐标，再由关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论．
解答： 解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵△AOB是等腰直角三角形，OB=2，
∴OD=AD=1，
∴A（1，1），
∴点A关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣1）．故答案为（﹣1，﹣1）．
点评： 本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知等腰直角三角形的性
质是解答此题的关键．
9．..如图，点O为 所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，
AD=AC，则∠D= 28 ° ．
考点： 圆周角定理；等腰三角形的性质．.
分析： 由AD=AC，可得∠ACD=∠ADC，由∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，可得
∠BAC的度数，由∠D= ∠BAC即可求解．
解答： 解：∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，
∴∠BAC= ∠BOC= ×112°=56°，
∴∠D= ∠BAC=28°．
故答案为：28°．
点评： 本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与
∠BOC的关系．10．..如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使
△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC=DF （只需写一个，不添加辅助
线）．
考点： 全等三角形的判定．.
专题： 开放型．
分析： 求出BC=EF，∠ABC=∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．
解答： 解：AC=DF，
理由是：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AC=DF．
点评： 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有
SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．11．在一个不透明的袋子中装有红白两种颜色的球（形状大小质地完全相同）共
25个，其中白球有5个．每次从中随机摸出一个球，并记下颜色后放回，那么从袋
子中随机摸出一个红球的概率是 ．
考点： 概率公式．.
分析： 根据袋中共有25个球，每个球被摸到的机会是均等的，利用概率公式即
可解答．
解答： 解：∵袋子中装有20个红球和5个白球，
∴根据概率公式，从袋子中摸出一个红球的概率P= = ；
故答案为： ．
点评： 此题考查了概率公式：如果一个随机事件有以下特征，（1）试验中所有可
能出现的基本事件有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等，则可用概率
公式计算．
12．如图是一组有规律的图案，图案1是由4个 组成的，图案2是由7个 组
成的，那么图案5是由 个 组成的，依此，第n个图案是由
个 组成的．
考点： 规律型：图形的变化类．.
分析： 观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个基础图形，然后写出第5
个和第n个图案的基础图形的个数即可．
解答： 解：由图可得，第1个图案基础图形的个数为4，第2个图案基础图形的个数为7，7=4+3，
第3个图案基础图形的个数为10，10=4+3×2，
…，
第5个图案基础图形的个数为4+3（5﹣1）=16，
第n个图案基础图形的个数为4+3（n﹣1）=3n+1．
故答案为：16，3n+1．
点评： 本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多3
个基础图形”是解题的关键．
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，
只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格
内）。
13．下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x4=x11 B．（a3）2=a5 C．2 +3 =5 D． ÷ =
考点： 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；二次根式的乘除法；二次根式的
加减法．.
分析： 利用同底数幂的除法，幂的乘方，二次根式的加减法，乘除法运算法则运
算即可．
解答： 解：A．x7÷x4=x3，故此选项错误；
B．（a3）2=a6，故此选项错误；
C.2 +3 ，不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
D. = ，此选项正确；
故选D．
点评： 本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，二次根式的加减法，乘除法
运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
14．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16考点： 三角形三边关系．.
分析： 设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．
解答： 解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4和10，
∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选C．
点评： 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
15．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD
于点F，则 等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.
分析： 根据题意得出△DEF∽△BCF，那么 = ；由AE：ED=2：1可设ED=k，
得到AE=2k，BC=3k；得到 = ，即可解决问题．
解答： 解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ED∥BC，BC=AD，
∴△DEF∽△BCF，
∴ = ，
设ED=k，则AE=2k，BC=3k；
∴ = = ，故选A．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知
识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．
16．甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已
知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的
是（ ）
A． = B． = C． = D． =
考点： 由实际问题抽象出分式方程．.
分析： 根据题意设出未知数，根据甲所用时间=乙所用时间列出分式方程即可．
解答： 解：设甲每天完成x个零件，则乙每天完成（x﹣4）个，
由题意得， = ，
故选：A．
点评： 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题
的关键．
17．如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是
（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．.
专题： 计算题．分析： 从上面看几何体，得到俯视图即可．
解答： 解：如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的
俯视图是 ．
故选C
点评： 此题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的试图．
18．甲、乙、丙、丁四位同学最近五次数学成绩统计如表，如果从这四位同学中，选
出一位成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选（
）
甲 乙 丙 丁
平均数 80 85 85 80
方差 42 42 54 59
考点： 方差；算术平均数．.
分析： 此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小
的运动员参赛．
解答： 解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．
故选：B．
点评： 本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，
方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方
差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据
越稳定．19．已知一次函数y=2x﹣3与反比例函数y=﹣ ，那么它们在同一坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．.
专题： 数形结合．
分析： 根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系进行判断．
解答： 解：一次函数y=2x﹣3经过第一、三、四象限，反比例函数y=﹣ 的图象
分布在第二、四象限．
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数图象：反比例函数y= 的图象为双曲线，当k＞0
时，图象分布在第一、三象限，当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次
函数图象．
20．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形
的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使
得DE=DF，则∠BDN的度数是（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
考点： 旋转的性质．.
分析： 根据等腰三角形的性质和 特殊直角三角形的性质即可得到结果．解答： 解：∵DE=DF，∠EDF=30°，
∴∠DEF= （180°﹣∠EDF）=75°，
∴∠DEC=105°，
∵∠C=45°，
∴∠CDE=180°﹣45°﹣105°=30°，
∴∠BDN=120°，
故选C．
点评： 本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的
识别图形是解题的关键．
三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题7分，第23题8分，共20分）
21．计算： +（π﹣2015）0﹣| ﹣2|+2sin60°．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.
分析： 根据特殊角的三角函数值、0指数幂、绝对值的定义解答．
解答： 解：原式=9+1﹣（2﹣ ）+2×
=8+2 ．
点评： 本题考查了实数的运算，涉及特殊角的三角函数值、0指数幂、绝对值等
知识，是基础题．
22．先化简再求值： ，其中 ．
考点： 分式的化简求值．.专题： 探究型．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算
即可．
解答： 解：原式= ×
= ×
=a﹣2，
当a=2+ 时，原式=2+ ﹣2= ．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
23．如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部
11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED=60°，∠BED=45°．小明的观测点
与地面的距离EF为1.6米．
（1）求建筑物BC的高度；
（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
参考数据： ≈1.41， ≈1.73．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
分析： （1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得
BD=ED=FC=11.4，DC=EF=1.6，从而求出BC；
（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为60°可求出AD，则AB=AD﹣BD．
解答： 解：（1）过点E作ED⊥BC于D，
根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，∴四边形CDEF是矩形，
已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°，
∴∠EBD=45°，
∴BD=ED=FC=11.4，
∴BC=BD+DC=BD+EF=11.4+1.6=13，
答：建筑物BC的高度为13m；
（2）已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为60°，即∠AED=60°，
∴AD=ED•tan60°
≈11.4×1.73≈19.7，
∴AB=AD﹣BD=19.7﹣11.4=8.3，
答：旗杆AB的高度约为8.3m．
点评： 此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转
化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．
四、（本大题共3小题，第24题8分，第25题8分，第26题8分，共24分）
24．..如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：
四边形ADCE是菱形．
考点： 菱形的判定．.
专题： 证明题．
分析： 首先根据平行四边形的判定方法，判断出四边形ADCE是平行四边形；
然后判断出AE=CE，即可判断出四边形ADCE是菱形，据此解答即可．解答： 证明：∵AB∥DC，CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAE，
又∵CE∥DA，
∴∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
又∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．
点评： 此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关
键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱
形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图
形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
25．某玩具商计划生产A、B两种型号的玩具投入市场，初期计划生产100件，生
产投入资金不少于22400元，但不超过22500元，且资金要全部投入到生产这两
种型号的玩具．假设生产的这两种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成本
和售价如表：
型号 A B
成本（元） 200 240
售价（元） 250 300
（1）该玩具商对这两种型号玩具有哪几种生产方案？
（2）该玩具商如何生产，就能获得最大利润？
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．.
分析： （1）设该厂生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机100﹣x台，由题意
可得：22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，求解即得；
（2）计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案．
解答： 解：（1）设该厂生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机（100﹣x）台，由“该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元”和表中生产成
本可得：
22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，
37.5≤x≤40，
∵x为整数，
∴x取值为38、39、40．
故有三种生产方案．
即：第一种方案：生产A型挖掘机38台，生产B型挖掘机62台；
第二种方案：生产A型挖掘机39台，生产B型挖掘机61台；
第三种方案：生产A型挖掘机40台，生产B型挖掘机60台．
（2）三种方案获得的利润分别为：
第一种方案：38×（250﹣200）+62×（300﹣240）=5620；
第二种方案：39×（250﹣200）+61×（300﹣240）=5610；
第三种方案：40×（250﹣200）+60×（300﹣240）=5600．
故生产A型挖掘机38台，生产B型挖掘机62台的方案获得利润最大．
点评： 本题考查了一次函数的应用一元一次不等式组的应用，解决问题的关键
是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
26．如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，
交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长．
考点： 切线的性质．.
分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度数，根
据切线的性质求出∠M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；（2）作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出
CG，得到答案．
解答： （1）证明：连接OA，
∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，
∴∠OCA=∠M，
∴AM=AC；
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG= ，
由勾股定理的，CG= ，
则MC=2CG=3 ．
点评： 本题考查的是切线是性质、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，掌握
圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
五、（本大题共2小题，第27题9分，第28题13分，共22分）
27．为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了
一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交
车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问
题：
（1）本次接受调查的总人数是 30 0 人，并把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是 29.3% ，“其他方式”
所在扇形的圆心角度数是 24 ° ；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用
列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．.
分析： （1）根据上学方式为“骑自行”的学生数除以所占的百分比即可求出调
查的学生总数；根据总学生数求出上学方式为“步行”的学生数，补全条形统计
图即可；
（2）由 ×100%可以求得在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比；
同理求得“其他方式”所占的百分比，进而求得“其他方式”所在扇形的圆心角
度数；
（3）根据题意画出树状图，再根据概率公式计算即可．
解答： 解：（1）接受调查的总人数是： =300（人），
则步行上学的人数为：300﹣54﹣126﹣12﹣20=88（人）．
故答案是：300；（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是： ×100%≈29.3%；
“其他方式”所在扇形的圆心角度数是：360°× ×100%=24°．
故答案是：29.3%；24°；
（3）画树状图：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女有12种结果；
则P = ．
（一男一女）=
点评： 此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观
察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．概率公式P（m）=
．
28．如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与
y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相
似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．.
专题： 综合题．
分析： （1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的
解析式；
（2）根据B、C、M的坐标，可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否
符合勾股定理即可；
（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得
△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶
点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂
线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）
求得OP的长，也就得到了点P的坐标．
解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）
两点，
∴ ，
解得： ，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）△BCM为直角三角形，理由为：
对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4），令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），
根据勾股定理得：BC=3 ，BM=2 ，CM= ，
∵BM2=BC2+CM2，
∴△BCM为直角三角形；
（3）如图1，
连接AC，
∵△COA∽△CAP，△PCA∽△BCD，
∴Rt△COA∽Rt△BCD，P点与O点重合，
∴点P（0，0）．
如图2，过A作AP ⊥AC交y轴正半轴于P ，
1 1
∵Rt△CAP ∽Rt△COA∽Rt△BCD，
1
∴ = ，
即 = ，
∴点P （0， ）．
1
如图3，过C作CP ⊥AC交x轴正半轴于P ，
2 2∵Rt△P CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
2
∴ = ，
即 = ，AP =10，
2
∴点P （9，0）．
2
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P （0， ），P （9，0）．
1 2
点评： 此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直
角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符
合要求的P点，是解决此题的突破口．
