文档内容
2015年青海省中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）
1．（4分）﹣ 的绝对值是 ， 的算术平方根是 ．
2．（4分）4x•（﹣2xy2）＝ ；分解因式：xy2﹣4x＝ ．
3．（2分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5＝0的一个根是﹣1，则m＝ ．
4．（2分）我省具有发展太阳能光伏发电产业得天独厚的条件．截止2015年，我省光伏并网发
电容量将超过5000000千瓦，该数字用科学记数法可以表示为 千瓦．
5．（2分）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若
∠1＝58°，则∠2＝ ．
6．（2分）若实数m，n满足（m﹣1）2+ ＝0，则（m+n）5＝ ．
7．（2分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留
）．
π
8．（2分）若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐
标为 ．
9．（2分）如图，点O为 所在圆的圆心，∠BOC＝112°，点D在BA的延长线上，AD＝AC，则
∠D＝ ．10．（2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使
△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
11．（2分）在一个不透明的袋子中装有红白两种颜色的球（形状大小质地完全相同）共25个，
其中白球有5个．每次从中随机摸出一个球，并记下颜色后放回，那么从袋子中随机摸出
一个红球的概率是 ．
12．（4分）如图是一组有规律的图案，图案1是由4个 组成的，图案2是由7个 组成
的，那么图案5是由 个 组成的，依此，第n个图案是由 个 组成的．
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）。
13．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x4＝x11 B．（a3）2＝a5 C．2 +3 ＝5 D． ÷ ＝
14．（3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
15．（3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点
F，则 等于（ ）A． B． C． D．
16．（3分）甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲
比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
17．（3分）如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是（
）
A． B． C． D．
18．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学最近五次数学成绩统计如表，如果从这四位同学中，选出一
位成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 80 85 85 80
方差 42 42 54 59
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
19．（3分）已知一次函数y＝2x﹣3与反比例函数y＝﹣ ，那么它们在同一坐标系中的图象
可能是（ ）A． B．
C． D．
20．（3分）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜
边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE＝DF，
则∠BDN的度数是（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题7分，第23题8分，共20分）
21．（5分）计算： +（ ﹣2015）0﹣| ﹣2|+2sin60°．
π
22．（7分）先化简再求值： ，其中 ．23．（8分）如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米
的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED＝60°，∠BED＝45°．小明的观测点与地面的距
离EF为1.6米．
（1）求建筑物BC的高度；
（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
参考数据： ≈1.41， ≈1.73．
四、（本大题共3小题，第24题8分，第25题8分，第26题8分，共24分）
24．（8分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边
形ADCE是菱形．25．（8分）某玩具商计划生产A、B两种型号的玩具投入市场，初期计划生产100件，生产投
入资金不少于22400元，但不超过22500元，且资金要全部投入到生产这两种型号的玩具．
假设生产的这两种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成本和售价如表：
型号 A B
成本（元） 200 240
售价（元） 250 300
（1）该玩具商对这两种型号玩具有哪几种生产方案？
（2）该玩具商如何生产，就能获得最大利润？
26．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝60°， O是△ABC的外接圆，过点A作 O的切线，交
CO的延长线于点M，CM交 O于点D⊙． ⊙
（1）求证：AM＝AC； ⊙
（2）若AC＝3，求MC的长．
五、（本大题共2小题，第27题9分，第28题13分，共22分）
27．（9分）为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D
（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条
形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 人，并把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是 ，“其他方式”所在扇形的圆
心角度数是 ；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画
树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
28．（13分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴
交于点C．该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015 年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）
1．（4分）﹣ 的绝对值是 ， 的算术平方根是 ．
【考点】22：算术平方根；28：实数的性质．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；根据算术平方根的定义进行解答．
【解答】解：﹣ 的绝对值是 ， 的算术平方根是 ，
故答案为： ；
【点评】本题考查了算术平方根的定义、绝对值的定义．注意一个正数的算术平方根是正数，0
的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
2．（4分）4x•（﹣2xy2）＝ ﹣ 8 x 2 y 2 ；分解因式：xy2﹣4x＝ x （ y + 2 ）（ y ﹣ 2 ） ．
【考点】49：单项式乘单项式；55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】4x•（﹣2xy2）：根据单项式与单项式相乘的法则，把系数相乘作为积的系数，相同的字
母相乘作为积的因式，只在一个单项式中含有的字母也作为积的一个因式计算即可；xy2
﹣4x：只需先提得公因子x，然后再运用平方差公式展开即可
【解答】解：4x•（﹣2xy2），
＝4×（﹣2）•（x•x）•y2，
＝﹣8x2y2．
xy2﹣4x＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2）．
故答案为：﹣8x2y2，x（y+2）（y﹣2）．
【点评】本题考查了单项式与单项式的乘法，提公因式法与公式法的综合运用，关键是对平方
差公式的掌握．
3．（2分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5＝0的一个根是﹣1，则m＝ 1 ．
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5＝0的另一个根a，利用根与系数的关系先求出a，再得
利用根与系数的关系先求出m即可．
【解答】解：∵设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5＝0的另一个根a，∴a×（﹣1）＝﹣ ，解得a＝ ，
∴ +（﹣1）＝ ，解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是灵活运用根与系数的关系．
4．（2分）我省具有发展太阳能光伏发电产业得天独厚的条件．截止2015年，我省光伏并网发
电容量将超过5000000千瓦，该数字用科学记数法可以表示为 5×1 0 6 千瓦．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5000000千瓦用科学记数法可以表示为5×106千瓦，
故答案为：5×106
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2分）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若
∠1＝58°，则∠2＝ 32 ° ．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】由平行线的性质得出∠3＝∠1＝58°，由垂直的定义得出∠MPQ＝90°，即可得出∠2
的度数．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，∴∠3＝∠1＝58°，
∵PM⊥l，
∴∠MPQ＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣58°＝32°；故答案为：32°．
【点评】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清
各个角之间的关系是解决问题的关键．
6．（2分）若实数m，n满足（m﹣1）2+ ＝0，则（m+n）5＝ ﹣ 1 ．
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根．
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出（m+n）5的值．
【解答】解：由题意知，
m，n满足（m﹣1）2+ ＝0，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴（m+n）5＝（1﹣2）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次
方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
根据这个结论可以求解这类题目．
7．（2分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留
）．
π
【考点】MO：扇形面积的计算．
【专题】16：压轴题．
【分析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1的扇形．
【解答】解：根据图示知，∠1+∠2＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2＝135°，∴阴影部分的面积应为：S＝ ＝ ．
故答案是： ．
【点评】本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则
图形的面积的和或差来求．
8．（2分）若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐
标为 （﹣ 1 ，﹣ 1 ） ．
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．
【分析】过点A作AD⊥OB于点D，根据等腰直角三角形的性质求出OD及AD的长，故可得
出A点坐标，再由关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论．
【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵△AOB是等腰直角三角形，OB＝2，
∴OD＝AD＝1，
∴A（1，1），
∴点A关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为（﹣1，﹣1）．
【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．
9．（2分）如图，点O为 所在圆的圆心，∠BOC＝112°，点D在BA的延长线上，AD＝AC，则
∠D＝ 28 ° ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理．
【分析】由AD＝AC，可得∠ACD＝∠ADC，由∠BAC＝∠ACD+∠ADC＝2∠D，可得∠BAC的
度数，由∠D＝ ∠BAC即可求解．
【解答】解：∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠BAC＝∠ACD+∠ADC＝2∠D，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝ ×112°＝56°，
∴∠D＝ ∠BAC＝28°．
故答案为：28°．
【点评】本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与∠BOC的关
系．
10．（2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使
△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AB ＝ DE （只需写一个，不添加辅助线）．
【考点】KB：全等三角形的判定．
【专题】26：开放型．
【分析】求出BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB＝DE，
理由是：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，
AAS，SSS，答案不唯一．
11．（2分）在一个不透明的袋子中装有红白两种颜色的球（形状大小质地完全相同）共25个，
其中白球有5个．每次从中随机摸出一个球，并记下颜色后放回，那么从袋子中随机摸出
一个红球的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据袋中共有25个球，每个球被摸到的机会是均等的，利用概率公式即可解答．
【解答】解：∵袋子中装有20个红球和5个白球，
∴根据概率公式，从袋子中摸出一个红球的概率P＝ ＝ ；
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式：如果一个随机事件有以下特征，（1）试验中所有可能出现的基
本事件有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等，则可用概率公式计算．
12．（4分）如图是一组有规律的图案，图案1是由4个 组成的，图案2是由7个 组成
的，那么图案5是由 1 6 个 组成的，依此，第n个图案是由 3 n + 1 个 组成的．【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个基础图形，然后写出第5个和第n个
图案的基础图形的个数即可．
【解答】解：由图可得，第1个图案基础图形的个数为4，
第2个图案基础图形的个数为7，7＝4+3，
第3个图案基础图形的个数为10，10＝4+3×2，
…，
第5个图案基础图形的个数为4+3（5﹣1）＝16，
第n个图案基础图形的个数为4+3（n﹣1）＝3n+1．
故答案为：16，3n+1．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多 3个基础图
形”是解题的关键．
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）。
13．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x4＝x11 B．（a3）2＝a5 C．2 +3 ＝5 D． ÷ ＝
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；75：二次根式的乘除法；78：二次根式
的加减法．
【分析】利用同底数幂的除法，幂的乘方，二次根式的加减法，乘除法运算法则运算即可．
【解答】解：A．x7÷x4＝x3，故此选项错误；
B．（a3）2＝a6，故此选项错误；
C.2 +3 ，不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
D. ＝ ，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，二次根式的加减法，乘除法运算，熟练掌
握运算法则是解答此题的关键．
14．（3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）A．5 B．6 C．12 D．16
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4和10，
∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边是解答此题的关键．
15．（3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点
F，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么 ＝ ；由AE：ED＝2：1可设ED＝k，得到AE
＝2k，BC＝3k；得到 ＝ ，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ED∥BC，BC＝AD，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ＝ ，
设ED＝k，则AE＝2k，BC＝3k；
∴ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．
16．（3分）甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲
比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意设出未知数，根据甲所用时间＝乙所用时间列出分式方程即可．
【解答】解：设甲每天完成x个零件，则乙每天完成（x﹣4）个，
由题意得， ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
17．（3分）如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是（
）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【专题】11：计算题．
【分析】从上面看几何体，得到俯视图即可．
【解答】解：如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是
．
故选：C．【点评】此题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的试图．
18．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学最近五次数学成绩统计如表，如果从这四位同学中，选出一
位成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 80 85 85 80
方差 42 42 54 59
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】W1：算术平均数；W7：方差．
【分析】此题有两个要求： 成绩较好， 状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参
赛． ① ②
【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．
故选：B．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数
据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
19．（3分）已知一次函数y＝2x﹣3与反比例函数y＝﹣ ，那么它们在同一坐标系中的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．【专题】31：数形结合．
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】解：一次函数y＝2x﹣3经过第一、三、四象限，反比例函数y＝﹣ 的图象分布在第二、
四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝ 的图象为双曲线，当k＞0时，图象分
布在第一、三象限，当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
20．（3分）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜
边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE＝DF，
则∠BDN的度数是（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
【考点】R2：旋转的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据等腰三角形的性质和 特殊直角三角形的性质即可得到结果．
【解答】解：∵DE＝DF，∠EDF＝30°，
∴∠DFC＝ （180°﹣∠EDF）＝75°，
∵∠C＝45°，
∴∠BDN＝∠DFC+∠C＝75°+45°＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是
解题的关键．三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题7分，第23题8分，共20分）
21．（5分）计算： +（ ﹣2015）0﹣| ﹣2|+2sin60°．
π
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值、0指数幂、绝对值的定义解答．
【解答】解：原式＝9+1﹣（2﹣ ）+2×
＝8+2 ．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及特殊角的三角函数值、0指数幂、绝对值等知识，是基础
题．
22．（7分）先化简再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】2B：探究型．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ×
＝ ×
＝a﹣2，
当a＝2+ 时，原式＝2+ ﹣2＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
23．（8分）如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米
的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED＝60°，∠BED＝45°．小明的观测点与地面的距
离EF为1.6米．
（1）求建筑物BC的高度；
（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
参考数据： ≈1.41， ≈1.73．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得BD＝ED＝FC＝11.4，
DC＝EF＝1.6，从而求出BC；
（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为60°可求出AD，则AB＝AD﹣BD．
【解答】解：（1）根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，
∴四边形CDEF是矩形，
∵∠BED＝45°，
∴∠EBD＝45°，
∴BD＝ED＝FC＝11.4，
∴BC＝BD+DC＝BD+EF＝11.4+1.6＝13，
答：建筑物BC的高度为13m；
（2）∵∠AED＝60°，
∴AD＝ED•tan60°
≈11.4×1.73≈19.7，
∴AB＝AD﹣BD＝19.7﹣11.4＝8.3，
答：旗杆AB的高度约为8.3m．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角
三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．
四、（本大题共3小题，第24题8分，第25题8分，第26题8分，共24分）
24．（8分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边
形ADCE是菱形．
【考点】L9：菱形的判定．
【专题】14：证明题．【分析】首先根据平行四边形的判定方法，判断出四边形ADCE是平行四边形；然后判断出
AE＝CE，即可判断出四边形ADCE是菱形，据此解答即可．
【解答】证明：∵AB∥DC，CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAE，
又∵CE∥DA，
∴∠ACE＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE，
又∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互
①相垂直，并且每一条对角线平分一组对②角； 菱形是轴对称图形，③它有2条对称轴，分别
是两条对角线所在直线． ④
25．（8分）某玩具商计划生产A、B两种型号的玩具投入市场，初期计划生产100件，生产投
入资金不少于22400元，但不超过22500元，且资金要全部投入到生产这两种型号的玩具．
假设生产的这两种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成本和售价如表：
型号 A B
成本（元） 200 240
售价（元） 250 300
（1）该玩具商对这两种型号玩具有哪几种生产方案？
（2）该玩具商如何生产，就能获得最大利润？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．
【分析】（1）设该厂生产 A型玩具 x件，则生产 B型玩具 100﹣x件，由题意可得：
22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，求解即得；
（2）计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案．
【解答】解：（1）设该厂生产A型玩具x件，则生产B型玩具（100﹣x）件，
由“该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元”和表中生产成本可得：
22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，37.5≤x≤40，
∵x为整数，
∴x取值为38、39、40．
故有三种生产方案．
即：第一种方案：生产A型号玩具38件，生产B号玩具62件；
第二种方案：生产A号玩具39件，生产B号玩具61件；
第三种方案：生产A号玩具40件，生产B号玩具60件．
（2）三种方案获得的利润分别为：
第一种方案：38×（250﹣200）+62×（300﹣240）＝5620；
第二种方案：39×（250﹣200）+61×（300﹣240）＝5610；
第三种方案：40×（250﹣200）+60×（300﹣240）＝5600．
故生产A号玩具38台，生产B号玩具62台的方案获得利润最大．
【点评】本题考查了一次函数的应用一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，
找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
26．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝60°， O是△ABC的外接圆，过点A作 O的切线，交
CO的延长线于点M，CM交 O于点D⊙． ⊙
（1）求证：AM＝AC； ⊙
（2）若AC＝3，求MC的长．
【考点】MC：切线的性质．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC＝120°，得到∠OCA的度数，根据切线的性
质求出∠M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；
（2）作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答
案．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵AM是 O的切线，∴∠OAM＝90°，
∵∠B＝6⊙0°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOM＝60°，∴∠M＝30°，
∴∠OCA＝∠M，
∴AM＝AC；
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA＝30°，AC＝3，∴AG＝ ，
由勾股定理的，CG＝ ，
则MC＝2CG＝3 ．
【点评】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直
于过切点的半径是解题的关键．
五、（本大题共2小题，第27题9分，第28题13分，共22分）
27．（9分）为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份
调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D
（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条
形 统 计 图 1 和 扇 形 统 计 图 2 ， 根 据 以 上 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：（1）本次接受调查的总人数是 30 0 人，并把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是 29.3% ，“其他方式”所在扇形的
圆心角度数是 24 ° ；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画
树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据上学方式为“骑自行”的学生数除以所占的百分比即可求出调查的学生总
数；根据总学生数求出上学方式为“步行”的学生数，补全条形统计图即可；
（2）由 ×100%可以求得在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比；同理求
得“其他方式”所占的百分比，进而求得“其他方式”所在扇形的圆心角度数；
（3）根据题意画出树状图，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）接受调查的总人数是： ＝300（人），
则步行上学的人数为：300﹣54﹣126﹣12﹣20＝88（人）．
故答案是：300；
（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是： ×100%≈29.3%；
“其他方式”所在扇形的圆心角度数是：360°× ×100%＝24°．
故答案是：29.3%；24°；（3）画树状图：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女有12种结果；
则P（一男一女）＝ ＝ ．
【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从
中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．概率公式P（m）＝ ．
28．（13分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴
交于点C．该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据B、C、M的坐标，可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定
理即可；
（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比
例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA
相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，
可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得： ，
则抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）△BCM为直角三角形，理由为：
对于抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4），
令x＝0，得到y＝﹣3，即C（0，﹣3），
根据勾股定理得：BC＝3 ，BM＝2 ，CM＝ ，
∵BM2＝BC2+CM2，
∴△BCM为直角三角形；
（3）若∠APC＝90°，即P点和O点重合，如图1，
连接AC，
∵∠AOC＝∠MCB＝90°，且 ，∴Rt△AOC∽Rt△MCB，
∴此时P点坐标为（0，0）．
若P点在y轴上，则∠PAC＝90°，如图2，过A作AP ⊥AC交y轴正半轴于P ，
1 1
∵Rt△CAP ∽Rt△COA∽Rt△BCM，
1
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴点P （0， ）．
1
若P点在x轴上，则∠PCA＝90°，如图3，过C作CP ⊥AC交x轴正半轴于P ，
2 2
∵Rt△P CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，
2
∴ ＝ ，
即 ＝ ，AP ＝10，
2
∴点P （9，0）．
2
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P （0， ），P （9，0）．
1 2【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的
判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符合要求的P点，是解
决此题的突破口．
