文档文本内容
第 31 讲 统计与统计模型
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
数据的收集与直观表示
1.总体、个体、样本与样本容量
考察问题涉及的对象全体是总体，总体中每个对象是个体，抽取的部分对象组
成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是样本容量.
2.普查与抽样调查
(1)普查：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面
调查).
(2)抽样调查：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.
3.简单随机抽样
(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分
组、划类、排队等，完全随机地抽取个体.
(2)两种常用方法：抽签法，随机数表法.
4.分层抽样
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重
叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机
抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
5.数据的直观表示
(1)常见的统计图表有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频
率分布直方图等.
(2)频率分布直方图
①作频率分布直方图的步骤
(ⅰ)找出最值，计算极差：即一组数据中最大值与最小值的差；
(ⅱ)合理分组，确定区间：根据数据的多少，一般分5～9组；
(ⅲ)整理数据：
逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出
频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率)，各组均为左闭右开区间，最后
一组是闭区间；
(ⅳ)作出有关图示：
根据上述整理后的数据，可以作出频率分布直方图，如图所示.频率分布直图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于
这一组数对应的 频率 ，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.
②频率分布折线图
作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，
折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义
的.
不难看出，虽然作频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种
图中也得不到所有原始数据.但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体
态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况.比如，估计出平均数、中位数、
百分位数、方差.当然，利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出
的数字特征一般会有差异.
数据的数字特征、用样本估计总体
1.数据的数字特征
(1)最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的
情况.
(2)平均数
①定义：如果给定的一组数是x ，x ，…，x ，则这组数的平均数为x＝ ( x ＋ x
1 2 n 1 2
＋ … ＋ x ).
n
这一公式在数学中常简记为x＝∑x，
i
②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果 x ，x ，…，x 的平均数
1 2 n
为x，且a，b为常数，则ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的平均数为 a x ＋ b .
1 2 n
(3)中位数
有奇数个数，且按照从小到大排列后为 x ，x ，…，x ，则称x 为这组数
1 2 2n＋1 n＋1
的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 x ，x ，…，
1 2
x ，则称 为这组数的中位数 .
2n
(4)百分位数
①定义：一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值.
②确定方法：设一组数按照从小到大排列后为x ，x ，…，x ，计算i＝np%的
1 2 n
值，如果i不是整数，设i 为大于i的最小整数，取xi 为p%分位数；如果i是
0 0
整数，取为 p%分位数.
(5)众数
一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
(6)极差、方差与标准差
①极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差，描述了这
组数的离散程度.
②方差
定义：如果x ，x ，…，x 的平均数为x，则方差可用求和符号表示为s2＝ ∑ ( x
1 2 n i
－ x)2＝∑x－x2.
性质：如果a，b为常数，则ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的方差为 a 2 s 2 .
1 2 n
③标准差
定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x ，x ，…，
1 2
x 的标准差为s＝.
n
性质：如果a，b为常数，则ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的标准差为|a|s.
1 2 n
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，
只需直接算出样本对应的数字特征即可.
统计模型
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定
另一个的程度，这种关系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，
则称x与y线性相关.
2.相关系数
(1)r＝xyxy
＝xyx.
(2)当r>0时，成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关.
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
(1)我们将y＝bx＋a称为y关于x的回归直线方程，其中
xyxxyxx
(2)残差：观测值减去预测值，称为残差.
4.2×2列联表和χ2
如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下.
A A 总计
B a b a＋b
B c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
记n＝a＋b＋c＋d，则
χ2＝.
5.独立性检验
统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示.
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
K 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
要推断“A与B有关系”可按下面的步骤
(1)作2×2列联表.
(2)根据2×2列联表计算 χ 2 的值.
(3)查对分位数k，作出判断.如果根据样本数据算出χ2的值后，发现χ2≥k成立，
就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B
有关)；或说有 1 － α 的把握认为A与B有关.若χ2<k成立，就称不能得到前述结
论.这一过程通常称为独立性检验.
二、考点和典型例题
1、数据的收集与直观表示
【典例1-1】北京2022年冬奥会期间，某大学派出了100名志愿者，为了解志愿者的工作
情况，该大学学生会将这100名志愿者随机编号为1，2，…，100，再从中利用系统抽样
的方法抽取一个容量为20的样本进行问卷调查，若所抽中的最小编号为3，则所抽中的最
大编号为（ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
【答案】C【详解】
由题意知，派出了100名志愿者中，利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本进行
问卷调查，可得间距为 ，
因为所抽样本中的最小编号为 ，可得样本中最大编号为 .
故选：C．
【典例1-2】某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居
民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容
量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】C
【详解】
应从男性居民中抽取的人数为 ；
故选：C.
【典例1-3】已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，
为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取 的学生进行调
查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（ ）
A．200，25 B．200，2500 C．8000，25 D．8000，2500
【答案】B
【详解】
由由扇形分布图结合分层抽样知识易知样本容量为 ，
则样本中高中生的人数为 ，易知总体的容量为 ，
结合近视率条形图得该地区高中生近视人数为 .
故选：B.
【典例1-4】将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成5组：，并整理得到频率分布直方图（如图所示）．现按
成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法的问卷调查，则成绩在区间
内应抽取的人数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．35
【答案】D
【详解】
解：依题意 中的频率为 ，
所以 中应抽取 （人）；
故选：D
【典例1-5】某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间，将该校某班的40名学生进行编
号，分别为00，01，02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行调查，选取方法
是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取数据，直到取足样本，则抽取样本的第
6个号码为（ ）
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 9
0 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 1
6 42 75
A．07 B．40 C．35 D．23
【答案】D
【详解】
重复的号码只能算作一个，抽取样本号码是24，36，38，07，35，23，18，05，20，15，
所以抽取样本的第6个号码为23.
故选：D2、数据的数字特征、用样本估计总体
【典例2-1】某学校举行诗歌朗诵比赛，10位评委对甲、乙两位同学的表现打分，满分为
10分，将两位同学的得分制成如下茎叶图，其中茎叶图茎部分是得分的个位数，叶部分是
得分的小数，则下列说法错误的是（ ）
A．甲同学的平均分大于乙同学的平均分
B．甲、乙两位同学得分的极差分别为2.4和1
C．甲、乙两位同学得分的中位数相同
D．甲同学得分的方差更小
【答案】D
【详解】
对于甲，
对于乙，
故 正确.
甲的极差 ，乙的极差
故 正确.
甲得分的中位数 ，乙得分的中位数 ，
故 正确.
对于甲，
，
对于乙，
故 错误.
故选 .
【典例2-2】已知数据 ， ，…， 的平均值为 ，方差为 ，若数据 ， ，
…， 的平均值为 ，方差为 ，则 （ ）.
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
因为 ， ，…， 的平均值为 ，方差为 ，
由数据 ， ，…， 的平均值为 ，方差为 ，
所以 ，解得 ， ．
故选：A．
【典例2-3】某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，
现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人
数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【详解】
从频率分布直方图可以看出三个分数段的的同学的频率之比为 ，
所以抽取成绩50~60分的人数为 ，
故选：B
【典例2-4】某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大
学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出100人
进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（
）
A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应抽取30人和20人C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
【答案】A
【详解】
对于选项A，张三与李四被抽到的可能性一样大，故A错误；
对于选项B，理学专业应抽取的人数为 ，
工学专业应抽取的人数为 ，故B正确；
对于选项C，因为各专业差异比较大，所以采用分层随机抽样更合理，故C正确；
对于选项D，该问题中的样本容量为100，故D正确.
故选：A.
【典例2-5】如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲､乙两名选手打出的分数的
茎叶图（其中 均为数字 中的一个），在去掉一个最高分和一个是低分后，则下列
说法错误的是（ ）
A．甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数
B．甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数
C．甲选手得分的众数与 的值无关
D．甲选手得分的方差与 的值无关
【答案】C
【详解】
由题意，甲选手得分的平均数 ，
乙选手得分的平均数 ，故选项A正确；
无论 为何值，甲选手得分的中位数一定是85，乙选手得分的中位数是84，故选项B正
确；
当 时，甲选手得分的众数为81，85，当 时，甲选手得分的众数为85，故选项C
不正确；
因为 是最高分，被去掉，故甲选手得分的方差与 的值无关，故选项D正确；
故选：C.3、统计模型
【典例3-1】已知下列命题：
①回归直线 恒过样本点的中心 ;
②两个变量线性相关性越强，则相关系数 就越接近于1;
③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．
则正确命题的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
由回归方程的性质可得，回归直线 恒过样本点的中心 ，①对，
由相关系数的性质可得，两个变量线性相关性越强，则相关系数 就越接近于1，②对，
根据残差的定义可得，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，③对，
故正确命题的个数为3，
故选：D.
【典例3-2】下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强
B．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好
C．相关指数 ，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%
D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
【答案】B
【详解】
，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，故A正确；
在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B错误；
相关指数 ，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%，故C正确；
在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故D正确；
故选：B.
【典例3-3】如图是一组实验数据构成的散点图，以下函数中适合作为 与 的回归方程的
类型是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由散点图中各点的变化趋势：非线性、且 上单调递减，
所以适合指数型模型.
故选：D
【典例3-4】当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.
为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在
内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡 1 2 3 4 5 6
平均过关时间 （单位：秒） 50 78 124 121 137 352
计算得到一些统计量的值为： ，其中， .
若用模型 拟合 与 的关系，根据提供的数据，求出 与 的经验回归方程；
参考公式：对于一组数据 （ ），其经验回归直线 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为 ， .
【答案】
【解析】
解：因为 两边取对数可得 ，
即 ，令 ，所以 ，
由 ， ， .
所以 ，
又 ，即 ，
所以 ，所以 .
所以 关于 的经验回归方程为 .
【典例3-5】2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随
机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的 ，女生中有80人对冰
壶运动没有兴趣.
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女 80
合
计
(1)完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选
出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学
期望.
附： .
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有 的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
(2)分布列见解析， .
【解析】(1)
解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为 人，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有 人，
男生中对冰壶运动有兴趣的有 人，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有 人，
所以 列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女合计
，
有 的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
(2)
解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取 人，抽到的男生人数、女生人数分别为：
（人 ， （人 ，
则 的所有可能取值为 ， ， ，
所以 ，
，
，
故 的分布列是：
0 1 2
故 ．
