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第 19 练 等比数列及其求和
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{ }的前n项和为 .若
，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以公比 ，
所以
故选：C
2．（2022·安徽马鞍山·三模（文））等比数列 中，已知 ， ，则
（ ）
A．31 B．32 C．63 D．127
【答案】A
【详解】
解：因为等比数列 中，已知 ， ，设等比数列 公比为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：A.
3．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知 为公差不为0的等差数列
的前n项和.若 ， ， ， 成等比数列，则 （ ）
A．11 B．13 C．23 D．24
【答案】C
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
化简得 （舍去）或 ，
所以 .
故选：C
4．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列 中， 为方程 的两根，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：在等比数列 中，
因为 为方程 的两根，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列 中， ，若 ， ，
成等差数列，则 的公比为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
设等比数列的公比为 ，
由 ，
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，于是有 ，
即 ，或 舍去，
故选：B
6．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））等比数列 的各项均为正数，已知 ，，则公比 （ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】B
【详解】
设等比数列的首项为 ，
由题意，得 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，解得 或 （舍）.
故选：B.
7．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））已知等比数列 满足，且 ， ，
2，…，且 ，则当 时， （ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由 得 ， ，
则 ， ．
故选：A．
8．（2022·江西·模拟预测（文））已知等比数列 的前n项和为 ，公比为 ，且
，则 （ ）
A．36 B．39 C．40 D．44
【答案】B
【详解】
由题可得 ，
由 ，得 ，
解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：B．9．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 成等差数
列．若存在两项 使得 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题设 ，即 ，又 为正项等比数列，
所以 ， ，
由 ，则 ，即 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，满足 ，
所以 的最小值为2.
故选：B
10．（2022·河南·模拟预测（文））北京 年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接
中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是
由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为 的线段，将图
1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去
掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得
到图3，这称为“二次分形”； ．依次进行“ 次分形 ”．规定：一个分形图中
所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于 的分形图，则 的最
小值是（ ）（参考数据 ， ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
图1的线段长度为 ，图2的线段长度为 ，图3的线段长度为 ， ，
“ 次分形”后线段的长度为 ，
所以要得到一个长度不小于 的分形图，
只需满足 ，则 ，即 ，
解得 ，所以至少需要 次分形．
故选：C.
二、多选题
11．（2022·江苏南通·模拟预测）若数列 是等比数列，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等比数列
C．数列 是等比数列 D．数列 是等比数列
【答案】AD
【详解】
设等比数列 的公比为 ，，则 是以 为公比的等比数列，A对；
时， ，则 不是等比数列，B错；
， 时， ，
此时 不是等比数列，C错；
，所以， 是公比为 的等比数列，D对.
故选：AD．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，
则（ ）
A． 是等比数列 B．
C． 是等比数列 D．
【答案】ACD
【详解】
对选项A，当 是奇数时， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以当 是奇数时， ，即 .
即数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，故A正确.
对选项B，由A知：当 是奇数时， ，
所以 ，故B错误.
对选项C， 为偶数时， ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 是以首项为 ，公比为 的等比数列，故C正确.
，
故D正确.故选：ACD
三、填空题
13．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））正项等比数列 ，若 ， ，则 的
值为_________．
【答案】
【详解】
由题 ，因为 ，可得 ，则 .
故答案为： .
14．（2022·浙江·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百
七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一
个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了
6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为___________里．
【答案】192
【详解】
解：由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为 ，
设第一天走了 里，
则 ，解得 ，
即则该人第一天走的路程为192里.
故答案为：192.
四、解答题
15．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】(1)
）因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ， ，
故数列 为等比数列，首项为 ，公比为2；
(2)
由（1）可知 ，所以 ，
所以 ．
16．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））在① ， ， 成等比数列，②
，③ 中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．
设 为各项均为正数的等差数列 的前n项和，已知___．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】(1)
若选①②作为条件，
设 |的公差为d，
由 成等比数列可知 ，
所以 ，
整理得 ．
由 得 ，
整理得 ，
当 时， 不合题意，
所以 ，则 ，解得 ，
故 ．
若选①③作为条件．
设 的公差为d，
由 成等比数列可知 ，所以
整理得 ．
由 得 ，
整理得 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，不合题意，
所以 ，则 ，
故 ；
若选②③作为条件．
设 的公差为d，
由 得 ，
整理得 ，
由 得 ，
整理得 ，
由两式联立得 ，
故 ；
(2)
由（1）得 ，
所以 ，
故数列 的前n项和
．
