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专题 26.3 反比例函数与几何综合
◆ 典例分析
k
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (x<0)的图象与等边△OAB相交．
x
（1）如图1，当反比例函数的图象经过△OAB的顶点A时，若OB=6，求反比例函数的表达式；
（2）如图1，若点M是第（1）小题反比例函数图象上的一点，且满足△OAM的面积与△OAB的面积相
等，求点M的坐标；
（3）如图2，反比例函数的图象分别交△OAB的边OA,AB于C，D两点，连接CD并延长交x轴于点E，
连接OD，当AD=OC=4时，求S :S 的值．
△OCD △ODE
【思路点拨】
（1）过点A作AF⊥BO于点F，根据等边三角形的性质可得OA=OB=6,∠AOB=60°，再结合勾股定
理可得点A的坐标为(−3,3❑√3)，即可求解；
（2）分两种情况，当点B，M在OA的同侧时；当点B，M在OA的两侧时，即可求解；
（3）过点C作CP⊥x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，设OB=a，再求出点C的坐标为(−2,2❑√3)
( a ❑√3a )
，点D的坐标为 − −2, −2❑√3 ，然后根据点C，D均在反比例函数解析式上，可得点D的坐标
2 2
为(−2❑√2−2,2❑√6−2❑√3)，从而得到CD2=80−48❑√2，再求出直线CD的解析式，可得点E的坐标为
(−2❑√2−4,0)， 从而得到DE2=40−24❑√2，即可求解．
【解题过程】（1）解：过点A作AF⊥BO于点F，
∵△ABO是等边三角形，OB=6，
∴OA=OB=6,∠AOB=60°，
又∵AF⊥BO，
1
∴OF= BO=3,∠AFO=90°，
2
∴AF=❑√AO2−OF2=❑√62−32=3❑√3，
∴点A的坐标为(−3,3❑√3)，
k
∵反比例函数y= (x<0)的图象经过点A，
x
∴k=−3×3❑√3=−9❑√3，
9❑√3
∴反比例函数表达式为：y=− ；
x
（2）解：当点B，M在OA的同侧时，如图，连接BM，分别过点B，M作BK⊥OA,MH⊥OA，垂足
分别为点K，H，则BK∥MH，
∵△OAM的面积与△OAB的面积相等，
1 1
∴ OA×MH= OA×BK，
2 2
∴MH=BK，
∴四边形BKHM是平行四边形，
∴BM∥OA，设直线OA的解析式为y=k x，
1
把点(−3,3❑√3)代入得：
3❑√3=−3k，解得：k=−❑√3，
∴直线OA的解析式为y=−❑√3x，
可设直线BM的解析式为y=−❑√3x+b，
∵OB=6，
∴点B的坐标为(−6,0)，
把点(−6,0)代入y=−❑√3x+b，得：
0=−❑√3×(−6)+b，解得：b=−6❑√3，
∴直线BM的解析式为y=−❑√3x−6❑√3，
{y=−❑√3x−6❑√3
)
联立得： 9❑√3
y=−
x
{ x=−3+3❑√2 ) { x=−3−3❑√2 )
解得： （舍去）或 ，
y=−3❑√3−3❑√6 y=−3❑√3+3❑√6
∴点M的坐标为(−3−3❑√2,3❑√6−3❑√3)；
当点B，M在OA的两侧时，如图，分别过点M，A作ML⊥y轴，AN⊥y轴，垂足分别为L，N，则
AN=3，ON=3❑√3，
( 9❑√3) 9❑√3
设点M的坐标为 m,− ，则ML=−m,OL=− ，
m m
9❑√3
∴ln=− −3❑√3，
m
∵△OAM的面积与△OAB的面积相等，1
∴S = ×6×3❑√3=9❑√3，
△OAM 2
∴S +S −S =9❑√3，
梯形AMLN △AON △MON
1 ( 9❑√3 ) 9❑√3 9❑√3
∴ ×(−m+3)× − −3❑√3 + − =9❑√3，
2 m 2 2
解得：m=3−3❑√2或3+3❑√2（舍去），
∴点M的坐标为(3−3❑√2,3❑√6+3❑√3)；
综上所述，点M的坐标为(−3−3❑√2,3❑√6−3❑√3)或(3−3❑√2,3❑√6+3❑√3)；
（3）解：如图，过点C作CP⊥x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，设OB=a，
∵△ABO是等边三角形，，
∴∠AOB=∠ABO=60°,OA=AB=OB=a，
∴∠OCP=30°,∠BDQ=30°，
∵AD=OC=4，
1 1 a
∴BD=a−4，OP= OC=2，BQ= BD= −2，
2 2 2
❑√3a
∴CP=❑√OC2−OP2=2❑√3,DQ=❑√BD2−BQ2= −2❑√3，
2
(a ) a
∴OQ=a− −2 = +2，
2 2
( a ❑√3a )
∴点C的坐标为(−2,2❑√3)，点D的坐标为 − −2, −2❑√3 ，
2 2
∵点C，D均在反比例函数解析式上，
( a ) (❑√3a )
∴ − −2 × −2❑√3 =−2×2❑√3，
2 2解得：a=−4❑√2（舍去）或4❑√2，
∴点D的坐标为(−2❑√2−2,2❑√6−2❑√3)，
∴CD2=(−2❑√2−2+2) 2+(2❑√6−2❑√3−2❑√3) 2=80−48❑√2，
设直线CD的解析式为y=k x+b ，
2 2
把点(−2,2❑√3)，(−2❑√2−2,2❑√6−2❑√3)代入得：
{2❑√6−2❑√3=(−2❑√2−2)k +b ) {k =❑√6−❑√3)
2 2 ，解得： 2 ，
2❑√3=−2k +b b =2❑√6
2 2 2
∴直线CD的解析式为y=(❑√6−❑√3)x+2❑√6，
当y=0时，0=(❑√6−❑√3)x+2❑√6，
解得：x=−2❑√2−4，
∴点E的坐标为(−2❑√2−4,0)，
∴DE2=(−2❑√2−2+2❑√2+4) 2+(2❑√6−2❑√3) 2=40−24❑√2，
CD2 80−48❑√2
∴ = =2，
DE2 40−24❑√2
(CD) 2
即 =2，
DE
CD
∴ =❑√2
DE
∴S :S =CD:DE=❑√2．
△OCD △ODE
◆ 学霸必刷
k
1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点B(−1,1)，C(1,4)，反比例函数y= 经过点C，点P在线段
x
BC上，过点P作直线PQ与x轴平行，交反比例函数图像于点Q，再分别过点P和点Q作x轴垂线，所形成
的矩形的面积的最大值是（ ）121 125
A． B． C．4 D．5
24 24
【思路点拨】
k 4 3 5 (4 )
将C(1,4)代入y= ，求得y= ，待定系数法求直线BC的解析式为y= x+ ，设Q ，m ，则
x x 2 2 m
(2( 5) ) 4 2( 5)
P m− ，m ，1≤m≤4，则PQ= − m− ，矩形的面积为
3 2 m 3 2
[ 4 2( 5)) 2( 5) 2 121
S=m⋅ − m− =− m− + ，根据二次函数的图象与性质求最值即可．
m 3 2 3 4 24
【解题过程】
k k
解：将C(1,4)代入y= 得，4= ，
x 1
解得，k=4，
4
∴y= ，
x
设直线BC的解析式为y=ax+b，
{−a+b=1)
将B(−1,1)，C(1,4)代入得， ，
a+b=4
3
{ a= )
2
解得， ，
5
b=
2
3 5
∴直线BC的解析式为y= x+ ，
2 2
(4 ) (2( 5) )
设Q ，m ，则P m− ，m ，1≤m≤4，
m 3 24 2( 5)
∴PQ= − m− ，
m 3 2
∴矩形的面积为S=m⋅ [ 4 − 2( m− 5)) =4− 2( m2− 5 m ) =− 2( m− 5) 2 + 121 ，
m 3 2 3 2 3 4 24
2
∵− <0，1≤m≤4，
3
5 121
∴当m= 时，矩形的面积最大，最大为 ，
4 24
故选：A．
2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x ,y )，点B(x ,y )在双
1 1 2 2
2 4
曲线y= 上，00)与双曲线y= (x>0)交于A，B两
x
点，连接OA，OB，AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N；有以下结论：①OA=OB；②
△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S =k；④ON−BN=1时，AB=❑√2，其中结论正确的是
△AOB
（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
【思路点拨】
本题考查了反比例函数的综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，设
k
{y=−x+b
)
A(x ，y )，B(x ，y )，代入y= 中得，x ⋅y =x ⋅y =k，联立 k ，求出x = y ，x = y
1 1 2 2 x 1 1 2 2 y= 2 1 1 2
x
，从而得到OM=ON，AM=BN，证明△AOM≌△BON，即可判断①②；作OH⊥AB于H，则
∠AOH=∠BOH=22.5°，∠AMO=∠BON=22.5°，证明△AOM≌△AOH，△BON≌△BOH可得
S =S ，S =S ，即可判断③；延长MA，NB交于点G，则NG=OM，MG=ON，
△AOH △AOM △BOH △BON
∠G=90°，证明△ABG是等腰直角三角形，由此即可判断④；熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助
线，是解此题的关键．
【解题过程】
k
解：设A(x ，y )，B(x ，y )，代入y= 中得，x ⋅y =x ⋅y =k，
1 1 2 2 x 1 1 2 2
{y=−x+b
)
联立 k 得x2−bx+k=0，
y=
x
则x ⋅x =k，
1 2
∵x ⋅y =x ⋅y =k，
1 1 2 2
∴x = y ，x = y ，
2 1 1 2∴OM=ON，AM=BN，
在△AOM和△BON中，
{
AM=BN
)
∠AMO=∠BNO=90° ，
OM=ON
∴△AOM≌△BON(SAS)，故②正确；
∴OA=OB，故①正确；
如图，作OH⊥AB于H，
，
∵∠AOB=45°，OA=OB，OH⊥AB，
∴∠AOH=∠BOH=22.5°，∠AOM+∠BON=90°−∠AOB=45°，
∵△AOM≌△BON，
∴∠AMO=∠BON=22.5°，
在△AOM和△AOH中，
{∠AMO=∠AOH=22.5°
)
∠AMO=∠AHO=90° ，
OA=OA
∴△AOM≌△AOH(AAS)，
同理可得：△BON≌△BOH(AAS)，
∴S =S ，S =S ，
△AOH △AOM △BOH △BON
1 1
∴S =S +S =S +S = k+ k=k，故③正确；
△AOB △BOH △AOH △AOM △BON 2 2
如图，延长MA，NB交于点G，
，∵∠GMO=∠GNO=∠MON=90°，
∴四边形MONG是矩形，
∴NG=OM，MG=ON，∠G=90°，
∵OM=ON，AM=BN，
∴GM−AM=GN−BN，即GA=GB，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∵ ON−BN=1，
∴GN−BN=1=GB，
∴GA=GB=1，
∴AB=❑√GA2+GB2=❑√2，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：A．
k
5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数y= (x>0)的图象与直线AB交于点A(2, 3)，直
x
线AB与x轴交于点B(4, 0)，过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面直角坐标系内
存在点D使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 ．
【思路点拨】
此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，
先将A点的坐标代入反比例函数求得k的值，然后将x=4代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点
C的坐标；然后结合图象分类讨论以A、B、C、D为顶点的平行四边形，如图所示，找出满足题意的D的
坐标即可．
【解题过程】
k
解：把点A(2,3)代入y= (x>0)得：k=xy=6，
x
6
故该反比例函数解析式为：y= ．
x
∵点B(4,0)，BC⊥x轴，6
∴把x=4代入反比例函数y= ，得
x
3
y= ．
2
3
则C(4, )．
2
①如图，当四边形ACBD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC．
3
∵A(2,3)、B(4,0)、C(4, )，
2
3
∴点D的横坐标为2，y −y = y −y ，故y = ．
A D C B D 2
3
所以D(2, )．
2
②如图，当四边形ABCD′为平行四边形时，AD′∥BC且AD′=BC．
3
∵A(2,3)、B(4,0)、C(4, )，
2
9
∴点D′的横坐标为2，y −y = y −y ，故y = ．
D′ A C B D′ 2
9
所以D′ (2, )．
2
③如图，当四边形ABD″C为平行四边形时，AC=BD″且AC∥BD″．
3
∵A(2,3)、B(4,0)、C(4, )，
2
∴x −x =x −x 即x −4=4−2，故x =6．
D″ B C A D″ D″
3 3
y −y = y −y 即y −0= −3，故y =− ．
D″ B C A D″ 2 D″ 2
3
所以D″ (6,− )．
23 9 3
综上所述，符合条件的点D的坐标是：(2, )或(2, )或(6,− )．
2 2 2
a
6．（2023·上海长宁·三模）如图，▱OABC的顶点B，C分别落在反比例函数y= (a>0,x>0)和
x
b
y= (b<0,x<0)的图象上，连结OB，将△OBC沿着OB翻折，点C的对应点D恰好落在
x
a a
y= (a>0,x>0)的图象上，OD与BA交于点E．已知△OBE的面积为6，OE=3DE，则 的值为
x b
．
【思路点拨】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠问题．根
据已知条件可得OD:OE=4:3，进而得出S =8；过点B，点E，点D作BG⊥x轴，EH⊥x轴，
△OBC
DF⊥x轴，垂足分别为G,H,F，证明△BDE≌△OAE得出BE=OE，S =S =8−6=2，则
△BDE △OEA
9
BE:AB=3:4，根据S =S −S = S 得出a=6，进而求得b=−10，即可求解．
△OEH △OEA △EHA 16 △ODF
【解题过程】
解：∵OE=3DE，
∴OD:OE=4:3，
4
∴S =S = S =8，
△OBC △OBD 3 △OBE
过点B，点E，点D作BG⊥x轴，EH⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为G,H,F，如图所示1
则S =S −S =8− a．
△BGA △OAB △OBG 2
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC， ∠OAB=∠OCB
∵折叠，
∴BC=BD， ∠OCB=∠ODB
∴BD=OA， ∠OAB=∠ODB
又∵∠BED=∠OEA
∴△BDE≌△OAE，
∴BE=OE，S =S =8−6=2，
△BDE △OEA
∴BE:AB=3:4，
1 ( a) 1
∴S = S = 8− × ，
△EHA 16 △BGA 2 16
9
∴S =S −S = S ，
△OEH △OEA △EHA 16 △ODF
( a) 1 9 a
∴2− 8− × = × ，
2 16 16 2
解得a=6．
∴b=−10，
a 3
∴ =− ．
b 5
3
故答案为：− ．
5
7．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，
k
AB=2，∠AOB=30°，反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．D为该反比例函数图象上
x
的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，根据直角三角形的性质，求
出A、B两点坐标，作出辅助线，证得Rt△OPC≌Rt△APC(HL)，利用勾股定理及待定系数法求反比例
函数解析式，再求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．
【解题过程】
解：在Rt△OAB中，AB=2，∠AOB=30°，
∴ OB=4,OA=2❑√3，
∴ A(2❑√3,0),B(2❑√3,2)，
∵C是OB的中点，
∴OC=BC=AC=2，
如图，过点C作CP⊥OA于P，
∴Rt△OPC≌Rt△APC(HL)，
1
∴ OP=AP= OA=❑√3，
2
在Rt△OPC中，PC=❑√OC2−OP2=❑√4−3=1，
∴C(❑√3，1)．
k
∵反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C，
x
k
∴ 1= ，
❑√3
解得k=❑√3．
❑√3
∴反比例函数y= ，
x
设直线AC的解析式为y=k x+b(k≠0)，
1
{2❑√3k +b=0)
则 1 ，
❑√3k +b=1
1{ k =− ❑√3 )
解得 1 3 ，
b=2
❑√3
∴AC的解析式为y=− x+2，
3
∵DB∥AC，
❑√3
∴直线BD的解析式为y=− x+4，
3
∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，
{ y=
❑√3
)
x
∴联立得 ，
❑√3
y=− x+4
3
∴x2−4❑√3x=−3，
❑√3
∴(x −2❑√3) 2=12−3=9，y =− x +4，
D D 3 D
∴BD2=(x −2❑√3) 2+ ( − ❑√3 x +4−2 ) 2 =(x −2❑√3) 2+ ( − x D −2❑√3) 2 =9+3=12，
D 3 D D ❑√3
∴OB2−BD2=16−12=4；
故答案为：4．
6
8．（23-24九年级下·山东济宁·自主招生）如图，点A是反比例函数y= (x>0)的图象上一点，过点A作
x
6
直线y=−x的垂线，垂足为点B，再过点A作AC⊥AB交y= (x>0)的图象于点C，若△ABC是等腰三
x
角形，则点B的坐标是 ．
【思路点拨】
本题考查反比例函数、一次函数、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键思想是学会利用参数解决问题．过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥x轴于点M，交BC于点G，
B(−a,a)，利用几何性质和反比例函数先表示出点C的坐标，再利用几何性质表示出点A的坐标，利用反
比例函数定义求解即可．
【解题过程】
解：如图，过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥x轴于点M，交BC于点G，
由点B在直线y=−x上，设B(−a,a)，
∴BN=ON，
∴∠BON=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵AB⊥OB，
∴∠CBO=∠ABO−∠ABC=45°，
∴∠CBO=∠BON，
∴BC∥x轴，
∴AG⊥BC，点C的纵坐标为a，四边形BGMN是矩形，
(6 )
∴BG=CG=AG，GM=BN=a，MN=BG，C ,a ，
a
1(6 ) 3 a
∴点G的横坐标为 −a = − ，
2 a a 2
(3 a )
∴G − ,a ，
a 2
1(6 ) 3 a
∴BG=AG= +a = + ，
2 a a 2
3 a 3 3a
∴AM= + +a= + ，
a 2 a 2
3 a 3 a
又∵OM=MN−ON= + −a= − ，
a 2 a 2(3 a 3 3a)
∴A − ， + ，
a 2 a 2
(3 a)(3 3a)
∴ − + =6，
a 2 a 2
3 a2
化简得： − =1，
a2 4
设a2=t，
3 t
则 − =1，即t2+4t−12=0，
t 4
解得：t=2或t=−6（舍），
即a2=2，
∴a=❑√2（负值舍），
∴B(−❑√2,❑√2)，
故答案为：(−❑√2,❑√2)．
2
9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，正方形A B P P 的顶点P 、P 在反比例函数y= (x>0)
1 1 1 2 1 2 x
的图象上，顶点A 、B 分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P P A B ，顶点P 在反比例
1 1 2 3 2 2 3
2
函数y= (x>0)的图象上，顶点A 在x轴的正半轴上．求点P ，P 的坐标．
x 2 2 3
【思路点拨】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等
( 2)
的判定与性质．作P C⊥y轴于C，P D⊥x轴于D，P E⊥x轴于E，P F⊥P D于F，设P a,
1 2 3 3 2 1 a
2
，则CP =a，OC= ，易得△P B C≌△B A O(AAS)，△B A O≌△A P D，则
1 a 1 1 1 1 1 1 1 22 (2 2 )
OB =P C=A D=a，所以OA =B C=P D= −a，则P 的坐标为 , −a ，然后把P 的坐标代
1 1 1 1 1 2 a 2 a a 2
2 ( 2)
入反比例函数y= ，得到a的方程，解方程求出a，得到P 的坐标；设P 的坐标为 b, ，易得
x 2 3 b
2 2
△P P F≌△A P E，则P E=P F=DE= ，通过OE=OD+DE=2+ =b，这样得到关于b的方
2 3 2 3 3 3 b b
程，解方程求出b，得到P 的坐标．
3
【解题过程】
解：作P C⊥y轴于C，P D⊥x轴于D，P E⊥x轴于E，P F⊥P D于F，如图所示：
1 2 3 3 2
( 2) 2
设P a, ，则CP =a，OC= ，
1 a 1 a
∵四边形A B P P 为正方形，
1 1 1 2
∴∠A B P =90°，
1 1 1
∴∠CB P +∠OB A =90°，
1 1 1 1
∵∠CB P +∠CP B =90°，∠OB A +∠OA B =90°，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴∠CB P =∠OA B ，
1 1 1 1
{∠B
1
CP
1
=∠B
1
OA
1
=90°
)
在△P B C和△B A O中， ∠OB A =∠CP B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
B P =A B
1 1 1 1
∴ △P B C≌△B A O(AAS)，
1 1 1 1
同理：△B A O≌△A P D，
1 1 1 2
∴OB =P C=A D=a，
1 1 1
2
∴OA =B C=P D= −a，
1 1 2 a
2 2
∴OD=a+ −a= ，
a a(2 2 )
∴P 的坐标为 , −a ，
2 a a
2 (2 ) 2
把P 的坐标代入y= (x>0)得： −a · =2，
2 x a a
解得：a=−1（舍去）或a=1，
∴P (2,1)，
2
( 2)
设P 的坐标为 b, ，
3 b
又∵四边形P P A B 为正方形，
2 3 2 2
同上：△P P F≌△A P E，
2 3 2 3
∴P E=P F=DE，
3 3
2
∴OE=OD+DE=2+ ，
b
2
∴2+ =b，
b
解得：b=1−❑√3（舍去），b=1+❑√3，
2 2
∴ = =❑√3−1，
b 1+❑√3
∴点P 的坐标为(❑√3+1,❑√3−1)．
3
10．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数
k
y= (x>0)的图像交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为2cm,AB=3cm,CD=1.5cm．
x
（1）求反比例函数解析式；
（2）连接OA,OC，求△OAC的面积；k
（3）点P在反比例函数y= (x>0)的图像上，点Q在坐标轴上，若以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平
x
行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【思路点拨】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与结合图形，平行四边形的性质；
（1）由图象确定出A的坐标，然后将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，即可求得反比例函数解
析式；
（2）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S =S =3，再计算
ΔAOB ΔCOD
1 (3 ) 9
S = × +3 ×2= ，然后利用_ΔOAC进行计算即可．
梯形ABDC 2 2 2
(x +x y + y )
（3）分点Q在x轴和在y轴两种情况讨论，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式 1 2, 1 2 ，
2 2
即可求解．
【解题过程】
（1）解：设A(a,3)，则B(a,0)，D(a+2,0)，C(a+2,1.5)
k
∵A,C在反比例函数y= 上，
x
∴3a=1.5(a+2)
解得：a=2
∴A(2,3)，
k k
将A点坐标代入y= 中，得：3= ，
x 2
∴k=6，
6
∴双曲线的解析式为y= ；
x
（2）解：∵CD=1.5，
6
把y=1.5代入y= ，得x=4，
x
3
∴C(4, )，
2
1 1 (3 ) 9
∵S =S = ×6=3，S = × +3 ×2= ，
ΔAOB ΔCOD 2 梯形ABDC 2 2 29
∴S =S +S −S =S = ．
ΔOAC ΔAOB 梯形ABDC ΔCOD 梯形ABDC 2
( 6)
（3）设P x, ，x>0，
x
3
当Q在x轴上时，设Q(m,0)，由A(2,3)，C(4, )，
2
{2+x=m+4
)
当AP为对角线时， 6 3
3+ =
x 2
{x=−4)
解得： （舍去）
m=−6
{2+4=m+x
)
当AC为对角线时， 3 6
3+ =
2 x
4
{ x= )
3 (14 )
解得： ，则Q ,0
14 3
m=
3
{2+m=4+x
)
当AQ为对角线时， 3 6
3= +
2 x
{x=4) ( 3)
解得： ，则P 4, 与点C重合，舍去；
m=6 2
( 6) 3
当Q在y轴时，设Q(0,n)，P x, ，A(2,3)，C(4, )，
x 2
{2+x=0+4
)
当AP为对角线时， 6 3
3+ =n+
x 2
{x=2
)
解得： 9 ，则P(2,3)，与点A重合，舍去；
n=
2
{
2+4=x
)
当AC为对角线时， 3 6
3+ =n+
2 x
{x=6
) ( 7)
解得： 7 ，则Q 0,
n= 2
2{
2=4+x
)
当AQ为对角线时， 3 6
3+n= +
2 x
{x=−2
)
解得： 9 ，舍去；
m=−
2
(14 ) ( 7)
综上所述，Q ,0 或Q 0,
3 2
11．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在△ABO中，AO=AB，点A的坐标为(5,0)，点B(2,a)在
k
反比例函数y= 1(x>0)的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在
x
k
反比例函数y= 2(x>0)的图象上．
x
（1）求k ，k 的值；
1 2
k k
（2）若P，Q分别为反比例函数y= 1(x>0)，y= 2(x>0)图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的
x x
四边形为平行四边形，求点P的坐标．
【思路点拨】
（1）过B作BE⊥OA于E，得到OA=AB=5，OE=2，BE=n，根据勾股定理得到B(2,4)，求得
k =2×4=8；过C作CF⊥x轴于F，根据全等三角形的性质得到CF=AE=3，AF=BE=4，得到
1
C(9，3)，求得k =9×3=27；
2
8 27 ( 8) ( 27)
（2）由（1）知y= ，y= ，设P a, ，Q b, ，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结
x x a b
论．
【解题过程】
（1）解：过B作BE⊥OA于E，
∵A的坐标为(5,0)，点B(2,a)，
∴OA=AB=5，OE=2，BE=n，∴AE=5−2=3，
∴n=❑√AB2−AE2=4，
∴B(2,4)，
∴k =2×4=8；
1
过C作CF⊥x轴于F，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴CF=AE=3，AF=BE=4，
∴OF=9，
∴C(9，3)，
k
∵点C恰好在反比例函数y= 2(x>0)的图象上，
x
∴k =9×3=27；
2
8 27
（2）解：由（1）知y= ，y= ，
x x
k k
∵P，Q分别为反比例函数y= 1(x>0)，y= 2(x>0)图象上一点，
x x
( 8) ( 27)
∴设P a, ，Q b, ，
a b
∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，
∴当AO为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在；
当AP为平行四边形的对角线时，{
5+a=0+b
)
8 27 ，
0+ =0+
a b
40
解得a= ，
19
(40 19)
∴P , ；
19 5
当AQ为平行四边形的对角线时，
{
5+b=0+a
)
8 27 ，
0+ =0+
a b
40
解得a=− （不合题意），
19
(40 19)
综上所述，P , ．
19 5
m
12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，一次函数y=kx+3与反比例函数y= 的图象交于点P，点
x
P在第四象限，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，点D，
且S =27，AO=3CO．
△DBP
（1）求反比例函数的表达式
（2）请写出当x取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？
（3）点Q是反比例函数图象上一个动点，连接AQ，PQ，并把△APQ沿AP翻折得到四边形AQPG，求
出使四边形AQPG为菱形时点Q的坐标．
【思路点拨】
( 3 ) 9
（1）根据一次函数解析式求出D(0,3)，C − ，0 ，根据AO=3CO，得出点P的横坐标为− ，把
k k9 3
x=− 代入y=kx+3得出点P的纵坐标为−6，即OB=6，根据S =27，求出k=− ，得出P(6,−6)
k △DBP 2
，代入反比例函数解析式求出m的值，即可得出反比例函数解析式；
（2）先求出一次函数图象与反比例函数图象的另外一个交点的坐标，然后根据函数图象得出x的取值范围
即可；
（3）根据菱形的性质得出GQ⊥AP，AN=PN，说明点N为AP的中点，根据A(6,0)，P(6,−6)，得出
N(6,−3)，根据AP⊥x轴，得出GQ∥x轴，说明Q点的纵坐标为−3，代入反比例函数解析式求出点Q
的坐标即可．
【解题过程】
（1）解：把x=0代入y=kx+3得：y=3，
∴D(0,3)，
把y=0代入y=kx+3得：0=kx+3，
3
解得：x=− ，
k
( 3 )
∴C − ，0 ，
k
∵AO=3CO，
9
∴点P的横坐标为− ，
k
9 ( 9)
把x=− 代入y=kx+3得：y=k⋅ − +3=−6，
k k
∴点P的纵坐标为−6，即OB=6，
∴DB=3+6=9，
∵S =27，
△DBP
1 ( 9)
∴ × − ×9=27，
2 k
3
解得：k=− ，
2
9 9
− =− =6
∴ k 3 ，
−
2
∴P(6,−6)，
m
把P(6,−6)代入y= 得：m=−36，
x36
∴反比例函数解析式为：y=− ．
x
3
（2）解：根据解析（1）可知：k=− ，
2
3
∴一次函数的解析式为：y=− x+3，
2
36 3
令− =− x+3，
x 2
解得：x=6或x=−4，
3
把x=−4代入y=− x+3得：y=9，
2
∴反比例函数图象与一次函数图象的另外一个交点的坐标为(−4,9)，
∴根据函数图象可知：当−4≤x<0或x≥6时，一次函数的值不大于反比例函数的值；
（3）解：设AP、GQ交于点N；
∵四边形AQPG为菱形，
∴GQ⊥AP，AN=PN，
即点N为AP的中点，
∵A(6,0)，P(6,−6)，
∴N(6,−3)，
∵AP⊥x轴，∴GQ∥x轴，
∴Q点的纵坐标为−3，
36 36
把y=−3代入y=− 得：−3=− ，
x x
解得：x=12，
∴Q(12,−3)．
13．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于点A、点B，且与反
m
比例函数y= (m≠0)图象交于点C(1,4)、点D(−4,n)：
x
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
m
（2）如图2，点P为反比例函数y= (m≠0)图象在第一象限上的一点，且在点C的右边，当△ADP的面
x
积为6时，y轴上有一点Q，若|QD−QP)有最大值时，求出这个最大值：
（3）如图3，将△AOB沿着射线OC的方向平移2❑√17个单位，点B平移后的对应点为B′，y轴上有一点
E，平面中有一点F，当以点C、B′、E、F为顶点的四边形是以CB′为边的菱形时，直接写出点F的坐
标．
【思路点拨】
m 4
（1）将C(1,4)代入y= (m≠0)可得m=4，即y= ；进而求得点D(−4,−1)，然后运用待定系数法即
x x
可求得一次函数的解析式；
( 4) 4
（2）先求出点A的坐标，如图：过P作PE∥x轴交CD于E，设P p, (p>1)，易得PE=p− +3
p p
，再根据△ADP的面积为6可求得p=2，即P(2,2)；如图：作D关于y轴的对称点D′，连接
DQ,D′Q,PQ,PD′，则DQ=D′Q，即D′(4,−1)；再根据三角形中两边之差小于第三边即可解答；
（3）先求出B′(−1,8)，则CB′=❑√(1+1) 2+(4−8) 2=2❑√5，利用平移分四种情况进行解答即可．【解题过程】
m m
（1）解：将C(1,4)代入y= (m≠0)可得：4= ，即m=4，
x 1
4
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
4
将点D(−4,n)代入y= 可得：n=−1，即D(−4,−1)，
x
{ 4=k+b )
则有 ，
−1=−4k+b
{k=1)
解得： ，
b=3
所以一次函数的解析式为：y=x+3
（2）解：∵一次函数的解析式为：y=x+3，
∴A(0,3)，
如图：过P作PE∥x轴交CD于E，
( 4) (4 4) (4 ) 4
设P p, (p>1)，则E −3, ，即PE=p− −3 =p− +3，
p p p p p
∵△ADP的面积为6，
1 1( 4 )
∴ PE⋅(A −D )=6，即 p− +3 [3−(−1))=6，
2 y y 2 p
解得：p=2或p=−2（舍去），
∴P(2,2)，
如图：作D关于y轴的对称点D′，连接DQ,D′Q,PQ,PD′，则DQ=D′Q，
∴D′(4,−1)，
若|QD−QP)有最大值时，即|QD′−QP)的最大值，
∵P(2,2)，D′(4,−1)，∴|QD′−QP)≤||QD′)−|QP))≤PD′=❑√(4−2) 2+(−1−2) 2=❑√13，
∴|QD−QP)的最大值为❑√13．
（3）解：∵y=x+3，
∴B(−3,0),
∵C(1,4)
∴CO与x轴的夹角的正切为4，
∴将△AOB沿着射线OC的方向平移2❑√17个单位，相当于向上平移8个单位，向右平移2个单位，
∵将△AOB沿着射线OC的方向平移2❑√17个单位，点B平移后的对应点为B′，
∴B′(−1,8)，
∵C(1,4)，
∴CB′=❑√(1+1) 2+(4−8) 2=2❑√5，
∵点E在y轴上，
∴第一种情况：点B′(−1,8)向右平移1个单位，向上平移❑√(2❑√5) 2 −12=❑√19个单位得到E (0,8+❑√19),
1
则点C按照同样平移规律得到点F (2,4+❑√19)
1
第二种情况：点C(1,4)向左平移1个单位，向下平移❑√(2❑√5) 2 −12=❑√19个单位得到E (0,4−❑√19),
2
则点B′(−1,8)按照同样平移规律得到点F (−2,8−❑√19)
2
第三种情况：点C(1,4)向左平移1个单位，向上平移❑√(2❑√5) 2 −12=❑√19个单位得到E (0,4+❑√19),
3
则点B′(−1,8)按照同样平移规律得到点F (−2,8+❑√19)
3
第四种情况：点B′(−1,8)向右平移1个单位，向下平移❑√(2❑√5) 2 −12=❑√19个单位得到E (0,8−❑√19),
4
则点C按照同样平移规律得到点F (2,4−❑√19)
4
综上可知，点F的坐标为(2,4+❑√19)或(−2,8−❑√19)或(−2,8+❑√19)或(2,4−❑√19)．
k
14．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图1，已知双曲线y= 经过▱ABCD的C、D两点，且点
x
A(−1,0)，B(0,−2)，C(2,2)．（1）求双曲线和直线DC对应的函数关系式；
k
（2）如图2，点P在双曲线y= 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边是平行四边形，
x
请直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（3）如图3，以线段AB为对角线作正方形AFBH，点T是边AF（不含点A、F）上一个动点，点M是
HT的中点，MN⊥HT，交AB于点N．当T在AF上运动时，∠THN的度数是否会变化？若会的话，请
给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论．
【思路点拨】
k
（1）把C(2,2)代入y= 求出k值，可得反比例函数解析式，根据平行四边形的性质得出D点坐标，利用
x
待定系数法即可得出直线DC解析式；
（2）可分两种情况：AB为边、AB为对角线讨论，然后运用中点坐标公式即可解决问题；
（3）过点N作NS⊥AH于S，作NR⊥AF于R，连接NH、NT，根据正方形的性质及角平分线的性质可
得NR=NS，利用HL可证明RtΔTRN≅RtΔHSN，得出∠RNT=∠SNH，由此可得
∠TNH=∠RNS=90°，即可得到△TNH是等腰直角三角形，因而∠THN=45°为定值．
【解题过程】
k
（1）解：∵双曲线y= 经过▱ABCD的C、D两点，且点A(−1,0)，B(0,−2)，C(2,2)，
x
∴k=2×2=4，
4
∴反比例函数的解析式为：y= ，
x
∵四边形ABCD是平行四边形，A(−1,0)，B(0,−2)，C(2,2)，
∴D(1,4)，{a+b=4
)
设直线DC的函数关系式为：y=ax+b，则 ，
2a+b=2
{a=−2)
解得： ，
b=6
∴直线DC的函数关系式为：y=−2x+6．
4
（2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为：y= ，
x
4
∵点P在双曲线y= 上，点Q在y轴上，
x
( 4)
∴设Q(0,y)，P x, ，
x
①如图1，当AB为边时，
−1+x
若四边形ABPQ为平行四边形，则 =0，
2
解得：x=1，
∴P(1,4)，
0+4
∴ =2，
2
∴BQ中点坐标为(0,2)，B(0,−2)，
−2+ y
∴ Q=2，
2
解得：y =6，
Q
∴Q(0,6)．
如图2，若四边形ABQP为平行四边形，∵四边形ABQP为平行四边形，
∴AP∥BQ，AP=BQ，
∵A(−1,0)，
∴P(−1,−4)，则AP=4，
∴AP=BQ=4，
∵B(0,−2)，
∴Q(0,−6)．
②如图3，当AB为对角线时，
∵四边形APBQ为平行四边形，
∴AP∥BQ，AP=BQ，
∵A(−1,0)，
∴P(−1,−4)，则AP=4，
∴AP=BQ=4，
∴Q(0,2)．综上所述，满足要求的所有点Q的坐标为：Q(0,6)、Q(0,−6)、Q(0,2)．
（3）解：当T在AF上运动时，∠THN的度数不会变化，等于45°，理由如下：
过点N作NS⊥AH于S，作NR⊥AF于R，连接NH，NT，如图所示，
∵∠FAB=∠HAB=45°，
∴NR=NS，
∵点M是HT的中点，MN⊥HT，
∴NT=NH，
∴RtΔTRN≅RtΔHSN(HL)，
∴∠RNT=∠SNH，
∴∠TNH=∠RNS=90°，
∴ΔTNH是等腰直角三角形，
∴∠THN=45°．
k
15．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知点A(3,m+2)，B(m+4,2)都在反比例函数y= 的图象
x
上．
（1）求m，k的值；
k
（2）如图②，点C为反比例函数y= 第三象限上一点，
x
①当△ABC面积最小时，求点C的坐标；
②若点B和点C关于原点O对称，点Q为双曲线AB段上任一动点，试探究∠ACQ与∠ABQ大小关系，并
说明理由．【思路点拨】
本题考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，利用直线解析式判断直线平行，
平行线的性质是解题的关键；
k
（1）根据题意，将A(3,m+2)，B(m+4,2)代入y= ，即可求解；
x
2
（2）①设直线AB的解析式为：y=kx+b，点C在直线y=− x+b与抛物线相切的点上，进而求解即
3
( 12)
可；②设Q m, ，过点A作l∥y轴，C点关于直线l的对称点C′(12,−2)，Q点关于直线l的对称
m
Q′(
6−m,
12)
，连接BC′，C′Q′，BQ′，根据平行线的性质即可求解
m
【解题过程】
k
（1）解：将A(3,m+2)，B(m+4,2)代入y= ，
x
k
{ m+2= )
3
，
k
2=
m+4
{m=2)
解得：
k=12
（2）①∵A(3,4)，B(6,2)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将A(3,4)，B(6,2)坐标代入解析式中，
{3k+b=4)
，
6k+b=2
{ k=− 2 )
解得： 3 ，
b=6
2
直线AB的解析式为：y=− x+6，
3
2
点C在直线y=− x+b与抛物线相切的点上，此时△ABC面积最小
32
{ y=− x+b)
3
∴ ，
12
y=
x
( 12)
设C x , ，
0 x
0
12 2
=− x +b
x 3 0
0
2
− x 2+bx −12=0，
3 0 0
Δ=b2−4× ( − 2) ×(−12)=0，
3
b2=32，
b=±4❑√2，
点C在第三象限，故b<0，
∴b=−4❑√2，
解得：x =−3❑√2，
0
12
y= =−2❑√2
x
0
故C的坐标为：(−3❑√2,−2❑√2)
②∵B(6,2)，
∴C(−6,−2)，
( 12)
设Q m, ，
m
过点A作l∥y轴，C点关于直线l的对称点C′(12,−2)，Q点关于直线l的对称点Q′(
6−m,
12)
，
m
连接BC′，C′Q′，BQ′，则∠Q'C'B=∠ACQ，∵点B和点C关于原点O对称
∴C(−6,−2)，
∵C′(12,−2)
2
由待定系数法得：直线AB的解析式为：y=− x+6，
3
∴点C′在直线AB上，
∴A、B、C'共线，
由对称性可知∠AC′Q′=∠ACQ，
设直线C′Q′的解析式为：y=kx+b，
{
12k+b=−2
)
12 ，
(6−m)k+b=
m
2
{ k=− )
m
解得： ，
24
b=−2+
m
2 24
∴直线C′Q′的解析式为：y=− x−2+ ，
m m
设直线BQ的解析式为：y=k′x+b′，
{
6k′+b′=2
)
∴ 12 ，
mk′+b′=
m
2
{ k′=− )
m
解得： ，
12
b′=2+
m
2 12
∴y=− x+2+
m m∴BQ∥C′Q′，
∴∠Q′C′B=∠ABQ，
∴ACQ=∠ABQ
k
16．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数y=x+8的图象与反比例函数y= (x<0)的图象交
x
于A(a,6)，B(−6,b)两点．
（1）求此反比例函数的表达式：
（2）在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值．
（3）M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N；使△MBN是以MN为底的等腰
直角三角形?若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）把A(a,6)，B(−6,b)两点代入一次函数y=x+8，运用求自变量，函数值的方法即可得到A，B的
坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式；
（2）如图所示，作点A关于y轴的对称点A′，可得PA+PB=PA′+PB=A′B，此时PA+PB的值最小，
运用两点之间的距离公式即可求解；
（3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点M在点B的右侧时；当点M在
点B的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可．
【解题过程】
k
（1）解：一次函数y=x+8的图象与反比例函数y= (x<0)的图象交于A(a,6)，B(−6,b)两点，
x
∴把A(a,6)，B(−6,b)两点代入一次函数y=x+8得，a+8=6，−6+8=b，
∴a=−2，b=2，即A(−2,6)，B(−6,2)，
k k
把A(−2,6)代入反比例函数y= (x<0)得， =6，
x −2
∴k=−12，
12
∴反比例函数的表达式为：y=− ；
x（2）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点A′，
∴AP=A′P，
∴PA+PB=PA′+PB=A′B，此时PA+PB的值最小，
∴A′(2,6)，且B(−6,2)，
∴A′B=❑√(2+6) 2+(6−2) 2=4❑√5，
∴AP+BP的最小值为4❑√5；
（3）解：存在，理由如下，
( 12)
设点M m,− ，N(n,0)，且B(−6,2)，
m
当点M在点B的右侧时，如图所示，过点B作BF⊥x轴于点F，过点M作MH∥x轴交FB的延长线于点H
，
∵△MBN是以MN为底的等腰直角三角形，则∠MBN=90°，MB=NB，
∵∠MBH+∠NBF=∠NBF+∠BNF=90°，
∴∠MBH=∠BNF，
∴△MBH≌△BNF(AAS)，
∴HM=BF，BH=NF，
12
∴m−(−6)=2−0，且− −2=n−(−6)，
m
解得，m=−4，n=−5，
∴M(−4,3)；当点M在点B的左侧时，如图所示，
同理可得，∠HBM+∠MBF=∠MBF+∠FBN=90°，则∠HBM=∠FBN，且∠H=∠BFN=90°
，BM=BN，
∴△BMH≌△BNF(AAS)，
∴BH=BF，即−6−m=2−0，
解得，m=−8，
( 3)
∴M −8, ；
2
( 3)
综上所述，存在点M、N使△MBN是以MN为底的等腰直角三角形，M点坐标为(−4,3)或 −8, ．
2
k (8 )
17．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，函数y= (x>0)的图象过点A(n,2)和B ,2n−3 两点．点C
x 5
是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且S =6，
△AOC
（1）求反比例函数解析式及C点的坐标；
（2）过C点作CD∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△≝¿是以DE为
腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值，得到反比例函数解析式，设
直线OA解析式，由点A的坐标可求得此解析式，过点C做CG⊥x轴于点G，交OA于点H，以CH为底，
由△AOC的面积解出点C坐标；
（2）先用待定系数法求得进而求出直线DE的解析式，再分两种情况进行讨论：①以DE为直角边，D为
直角顶点；②以DE为直角边，E为直角顶点．证明三角形全等并利用点的移动特点写出答案．
【解题过程】
k 8
（1）解：∵函数y= 的图象过点A(n,2)和B( ,2n−3)两点，代入得：
x 5
{
2n=k
)
8 ，
(2n−3)=k
5
{n=4)
解得 ，
k=8
8
∴反比例解析式为y= (x>0)．
x
∵n=4，k=8，
∴点A(4,2)，
设直线OA的解析式为：y=mx，
把A(4,2)代入y=mx，得2=4m，
1
解得m= ，
2
1
∴直线OA的解析式为：y= x，
2
过点C作CG⊥x轴于点G，交直线OA于点H，如图1，8
设C(n, )(n>0)，
n
1
∴H(n, n)，
2
1
∴S = CH⋅x =6，
△AOC 2 A
1 8 1
∴ ( − n)⋅4=6，
2 n 2
∴n=2或n=−8（不符合题意舍去），
∴C(2,4)；
（2）解：第二象限内存在点F，使得△≝¿是以DE为腰的等腰直角三角形，理由如下：
1
∵DE∥OA，直线OA的解析式为y= x，CD∥OA，
2
1
∴设直线DE的解析式为：y= x+b，
2
∵点C(2,4)在直线DE上，
1
∴4= ×2+b，即b=3，
2
1
∴直线DE的解析式为：y= x+3，
2
当x=0时，y=3，
∴E(0,3)，OE=3，
当y=0时，x=−6，
∴D(−6,0)，OD=6，
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以DE为直角边，D为直角顶点，如图1；
过F 做F K⊥x轴于点K，可知：∠F KD=∠DOE=90°，
1 1 1∵∠F DE=90°，
1
∴∠F DK+∠EDO=90°，
1
又∵∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠F DK=∠DEO，
1
又∵DF =DE，
1
∴ △F KD≌△DOE(AAS)，
1
∴F K=DO=6，KD=OE=3，
1
故点D到点F 的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点F 坐标，
1 1
∵D(−6,0)，且F在第二象限，
∴F (−6−3,0+6)即F (−9,6)；
1 1
②以DE为直角边，E为直角顶点，如图2；
同①理得，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得F (−3,9)．
2
综上所述：点F(−9,6)或(−3,9)．
k
18．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与正方形
x
1
OABC的边AB交于点E(−3，4)，与边BC交于点D，一次函数y= x+b的图象经过点D，与边AB交于
2
点F．（1）求点F的坐标：
（2）连接OF、OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明；
（3）在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使MN=2，且使四边形AMND的周长最小，则点M的坐
标为 ，四边形AMND的周长最小为 ．
【思路点拨】
（1）由正方形OABC，E(−3，4)，可得AB=BC=4，将E(−3，4)代入反比例函数表达式得：
12 12
k=−3×4=−12，则反比例函数的表达式为：y=− ，当x=−4时，y=− =3，即D(−4，3)，将
x −4
1 1 1
D(−4，3)代入y= x+b，可求b=5，则一次函数的表达式为：y= x+5，当y=4时，4= x+5，可
2 2 2
求x=−2，则F(−2，4)；
（2）待定系数法求直线OF的表达式为：y=−2x；如图1，过点E作EH⊥OC交过O作∠EOC的角平
分线于点G，过点G作GN⊥EO于点N，设GH=GN=x，则¿=4−x，证明
Rt△OGH≌Rt△OGN(HL)，则OH=ON=3，由勾股定理得，OE=❑√32+42=5，EN=5−ON=2，由
3 ( 3)
勾股定理得，GE2=NG2+EN2，即(4−x) 2=x2+22，可求x= ，即G −3， ，同理，直线OG的表
2 2
1 1
达式为：y=− x，设OG交BC于点T，当x=−4时，y=− ×(−4)=2，即T(−4，2)，CT=2=AF，
2 2
1
证明△OCT≌△OAF(SAS)，则∠cot=∠AOF，∠AOF= ∠EOC；
2（3）如图2，作点D关于x轴的对称点D′(−4，−3)，将点D′向右平移2个单位使得D′D″=MN=2，则
D″(−2，−3)，连接AD″交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接N D′， 证明四边形
MN D′D″为平行四边形，则N D′=M D″，由四边形AMND的周长为
AD+DN+MN+AM=AD+AD″+2，可知此时四边形AMND的周长最小，由勾股定理得，
AD=❑√(−4) 2+(3−4) 2=❑√17，AD″=❑√(−2) 2+(−3−4) 2=❑√53，则四边形AMND的周长的最小值为
7 7 8
❑√17+❑√53+2；同理，直线AD″的表达式为y= x+4，当y=0时， x+4=0，可求x=− ，则点M
2 2 7
( 8 )
− ,0 ．
7
【解题过程】
（1）解：∵正方形OABC，E(−3，4)，
∴AB=BC=4，
将E(−3，4)代入反比例函数表达式得：k=−3×4=−12，
12
∴反比例函数的表达式为：y=− ，
x
12
当x=−4时，y=− =3，即D(−4，3)，
−4
1 1
将D(−4，3)代入y= x+b得，3= ×(−4)+b，
2 2
解得，b=5，
1
∴一次函数的表达式为：y= x+5，
2
1
当y=4时，4= x+5，
2
解得，x=−2，
∴F(−2，4)；
1
（2）解：∠AOF= ∠EOC，理由如下：
2
设直线OF的表达式为y=kx，
将F(−2，4)代入得，4=−2k，
解得，k=−2，
∴直线OF的表达式为：y=−2x；如图1，过点E作EH⊥OC交过O作∠EOC的角平分线于点G，过点G作GN⊥EO于点N，
设GH=GN=x，则¿=4−x，
∵GH=GN，OG=OG，
∴Rt△OGH≌Rt△OGN(HL)，
∴OH=ON=3，
由勾股定理得，OE=❑√32+42=5，
∴EN=5−ON=2，
由勾股定理得，GE2=NG2+EN2，即(4−x) 2=x2+22，
3
解得，x= ，
2
( 3)
∴G −3， ，
2
1
同理，直线OG的表达式为：y=− x，
2
设OG交BC于点T，
1
当x=−4时，y=− ×(−4)=2，即T(−4，2)，
2
∴CT=2=AF，
又∵OC=OA，∠OCT=90°=∠OAF，
∴△OCT≌△OAF(SAS)，∴∠cot=∠AOF，
1
∴∠AOF= ∠EOC；
2
（3）解：如图2，作点D关于x轴的对称点D′(−4，−3)，将点D′向右平移2个单位使得D′D″=MN=2
，则D″(−2，−3)，连接AD″交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接N D′，
∵D′D″=MN、D′D″∥MN，
∴四边形MN D′D″为平行四边形，
∴N D′=M D″，
∴四边形AMND的周长为
AD+DN+MN+AM=AD+D′N+2+AM=AD+D″M+2+AM=AD+AD″+2，
∴此时四边形AMND的周长最小，
∵A(0，4)，
由勾股定理得，AD=❑√(−4) 2+(3−4) 2=❑√17，AD″=❑√(−2) 2+(−3−4) 2=❑√53，
∴四边形AMND的周长的最小值为❑√17+❑√53+2；
7
同理，直线AD″的表达式为y= x+4，
27
当y=0时， x+4=0，
2
8
解得x=− ，
7
( 8 )
∴点M − ,0 ，
7
( 8 )
故答案为： − ,0 ；❑√17+❑√53+2．
7
19．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图1，正方形ABCD中，C(−2,0)，D(0,3)．过A点作
AF⊥y轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF；
（2）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得以点
A、C、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理
由．
【思路点拨】
此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性
质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等．
（1）由正方形性质可得AD=CD，∠ADC=90°，利用同角的余角相等得出∠ADF=∠DCO，再利用
AAS即可证得结论；
k 15
（2）先求得A(−3,5)，代入y= (k≠0)，求得k=−15，可得y=− ，当x=−5时，y=3，即可求得
x x
答案；
（3）利用待定系数法可得直线AE的解析式为y=x+8，进而可得直线l的解析式为y=x+2，设
P(m,m+2)，Q(t,s)，分三种情况：当AC、PQ为对角线时，当CP、AQ为对角线时，当AP、CQ为
对角线时，分别列方程组求解即可求得答案．【解题过程】
（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDO=90°，
∵AF⊥y轴，
∴∠AFD=∠DOC=90°，
∴∠CDO+∠DCO=90°，
∴∠ADF=∠DCO，
在△CDO和△DAF中，
{∠COD=∠DFA
)
∠DCO=∠ADF ，
CD=AD
∴△CDO≌△DAF(AAS)；
（2）∵C(−2,0)，D(0,3)，
∴OC=2，OD=3，
∵△CDO≌△DAF，
∴DF=OC=2，AF=OD=3，
∴OF=OD+DF=3+2=5，
∴A(−3,5)
同理可证△BCG≌△CDO，
∴GC=OD=3，
∴GO=GC+CO=3+2=5，
∴点E的横坐标为−5，
k
设反比例函数的表达式为y= (k≠0)，
x把A(−3,5)代入，得k=−15，
15
∴y=− ，
x
15
当x=−5时，y=− =3，
−5
∴点E的坐标为(−5,3)；
（3）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下：
设直线AE的解析式为y=k x+b，把A(−3,5)，E(−5,3)代入，
1
{−3k +b=5)
得 1 ，
−5k +b=3
1
{k =1)
解得： 1 ，
b=8
∴直线AE的解析式为y=x+8，
∵直线l∥AE，
∴设直线l的解析式为y=x+b ，把C(−2,0)代入得−2+b =0，
1 1
解得：b =2，
1
∴直线l的解析式为y=x+2，
∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点，
∴设P(m,m+2)，Q(t,s)，
又A(−3,5)，C(−2,0)，
当AC、PQ为对角线时，
{(m+3) 2+(m+2−5) 2=(m+2) 2+(m+2) 2
)
t+m=−3−2 ，
s+m+2=5+0
5
{ m=
)
4
25
解得： t=− ，
4
7
s=
4
25 7
∴Q(− ， )；
4 4
当CP、AQ为对角线时，{(m+3) 2+(m−3) 2=(−3+2) 2+52
)
t−3=m−2 ，
s+5=m+2
{m=2
)
{m=−2
)
解得： t=3 或 t=−1 （舍去），
s=−1 s=−5
∴Q(3,−1)；
当AP、CQ为对角线时，
{(m+2) 2+(m+2) 2=(−3+2) 2+52
)
t−2=m−3 ，
s=m+2+5
{m=−2+❑√13
)
{m=−2−❑√13
)
解得： t=−3+❑√13 或 t=−3−❑√13 ，
s=5+❑√13 s=5−❑√13
∴Q(−3+❑√13，5+❑√13)或(−3−❑√13，5−❑√13)；
综上所述，在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标
25
为− 或3或−3+❑√13或−3−❑√13．
4
20．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(❑√3,2)在反比例函数
k
y= (k>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，
x
（1）求反比例函数的表达式；（2）如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AB、OB，OB
交AC于点F，若点C是OD的中点，求△ABF的面积；
（3）点N在反比例函数的图象上，点M坐标为(0,m)，m为整数，若△CMN是等边三角形，求m的值．
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）
【思路点拨】
k k
（1）将A(❑√3,2)代入y= 得2= ，于是得到结论；
x ❑√3
（2）由AC⊥x轴，得到OC=❑√3，根据点C是OD的中点，得到CD=❑√3，得到点B和点D横坐标相等，
2❑√3 1
将x=2❑√3代入y= 得到y=1，求得点B坐标为(2❑√3,1)，解方程得到OB的解析式为y= x，得
x 2❑√3
( 1)
到点F坐标为 ❑√3, ，根据三角形的面积公式即可得到结论；
2
（3）①当M在y轴正半轴时，如图1，在OM延长线上取点G，使得∠MGN=60°，在MO延长线上取点
H使得∠MHC=60°，过点N作Nl⊥y轴于点1，得到∠NMC=60°,MN=HC，在Rt△OHC中，
1
∠OHC=60°，得到∠OCH=30°，求得OH= HC，设OH=a，则HC=2a，根据勾股定理得到
2
a=±1(负值舍去)，求得OH=1,MH=m+1,HC=2，根据全等三角形的性质得到
(❑√3 m+3)
GM=HC=2,GN=MH=m+1，求得GO=m+2，得到点N坐标为 (m+1), ，解方程得到
2 2
m=1；
②当M在y轴负半轴时，如图2在CO延长线上取点P，使得∠NPC=60°，在OC延长线上取点Q，使得
∠MOC= 60°，过点N作NR⊥x轴于点R，根据等边三角形的性质得到∠NCM=60°,CN=CM，求得
1 ❑√3
OQ= MQ，根据勾股定理得到b=± m(负值舍去)，根据直角三角形的性质即可得到结论．
2 3
【解题过程】
k k
（1）解：将A(❑√3,2)代入y= ，得2= ，解得：k=2❑√3，
x ❑√3
2❑√3
∴反比例函数的表达式为y= ．
x
（2）解：∵AC⊥x轴，∴OC=❑√3，
∵点C是OD的中点，
∴CD=❑√3，OD=2❑√3，
∵BD⊥x轴于点D，
∴点B和点D横坐标相等，
2❑√3
将x=2❑√3代入y= 得y=1，
x
∴点B坐标为(2❑√3,1)，
1
设OB的解析式为y=kx，将B(2❑√3,1)代入得1=2❑√3k，解得k= ，
2❑√3
1
∴OB的解析式为y= x，
2❑√3
1
将x=❑√3代入，得y= ，
2
( 1)
∴点F坐标为 ❑√3, ，
2
1 3
∴AF=2− = ，
2 2
1 1 3 3
∴S = AF⋅CD= × ×❑√3= ❑√3；
△ABF 2 2 2 4
（3）解：①当M在y轴正半轴时，如图，在OM延长线上取点G，使得∠MGN=60°，在MO延长线上
取点H，使得∠MHC=60°，过点N作¿⊥y轴于点I，
∵△CMN为等边三角形，
∴∠NMC=60°，MN=HC，
在Rt△OHC中，∠OHC=60°，1
∴∠OCH=30°，OH= HC，
2
设OH=a，则HC=2a，
由勾股定理得OH2+OC2=HC2，
即a2+(❑√3) 2=(2a) 2，
解得a=±1（负值舍去），
∴OH=1，MH=m+1，HC=2，
∵∠MGN=∠MHC=∠NMC=60°，
∴∠GNM+∠GMN=∠GMN+∠HMC=120°，
∴∠GNM=∠HMC，
∴△MNG≌△CMH，
∴GM=HC=2，GN=MH=m+1，
∴GO=m+2，
在Rt△GNI中，∠NGM=60°，
∴∠GNI=30°，
1 m+1 m+3
∴GI= GN= ，IO=GO−GI= ，
2 2 2
❑√3
∴¿=❑√3GI= (m+1)，
2
(❑√3 m+3)
∴点N坐标为 (m+1), ，
2 2
∵N为反比例上的点，
❑√3 m+3
∴ (m+1)⋅ =2❑√3，
2 2
即(m+1)(m+3)=8，
∵m为整数且在y轴正半轴上，
∴m=1；
②当M在y轴负半轴时，如图，在CO延长线上取点P，使得∠NPC=60°，在OC延长线上取点Q，使得
∠MQC=60°，过点N作NR⊥x轴于点R，∵△CMN为等边三角形，
∴∠NCM=60°，CN=CM，
在Rt△MOQ中，∠OQM=60°，
∴∠OMQ=30°，
1
∴OQ= MQ，
2
设OQ=b，则QM=2b，由勾股定理得OQ2+OM2=MQ2，
❑√3
即b2+(−m) 2=(2b) 2，解得b=± m（负值舍去），
3
❑√3 2❑√3 ❑√3
∴OQ=− m，QM=− m，CQ=− (m+3)，
3 3 3
同理可证：△MCQ≌△CNP，
2❑√3 ❑√3
∴PC=QM=− m，PN=CQ=− (m+3)，
3 3
在Rt△NPR中，∠NPR=60°，
∴∠PNR=30°，
1 ❑√3
∴PR= PN=− (m+3)，
2 6
1
∴RN=❑√3PR=− (m+3)，
2
2❑√3 ( ❑√3 ) ❑√3
∴RO=− m−❑√3− − (m+3) =− (m+1)，
3 6 2
(❑√3 1 )
∴N点坐标为 (m+1), (m+3) ，
2 2
∵N为反比例上的点，❑√3 1
∴ (m+1)⋅ (m+3)=2❑√3，即(m+1)(m+3)=8，
2 2
∵m为整数且在y轴负半轴上，
∴m=−5，
∴综上所述，m的值为1或−5．
