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第1讲 集合与常用逻辑用语
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N * 或 N Z Q R
＋
2.集合间的基本关系
(1)子集：如果集合 A的任意一个元素都是集合 B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记
作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于 A，那么集合A称
⊆ ⊇
为集合B的真子集.记作AB(或BA).
(3)相等：若A B，且 B A ，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
⊆ ⊆
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集
符号表示 A∪B A∩B
合A的补集为∁ A
U
图形表示
{x|x∈A，或 { x | x ∈ A ，且
集合表示 {x|x∈U，且x∉A}
x∈B} x ∈ B }
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁ A)＝∅，A∪(∁ A)＝U，∁ (∁ A)＝A.
U U U U
5.全称量词与存在量词
(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全
称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存
在量词，用符号“∃”表示.
6.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有q(x)成立 存在M中的一个x，使p(x)成立
简记 x∈M，q(x) x∈M，p(x)
否定 ∀x ∈ M ， 非 q ( x) ∃x∈M，非 p(x)
7.充分条件、必要条件与充∃要条件的概念 ∀
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
⇒
p是q的必要不充分条件 p q且q p
⇒ ⇒
p是q的充要条件 p q
⇒ ⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
⇔
⇒ ⇒
二、考点和典型例题
1、集合的性质
【例题1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合 ，且 ，则 可以是
（ ）
A． B． C． D．
【详解】
因为 ，又 ，所以任取 ，则 ，
所以 可能为 ，A对，
又 ， ，
∴ 不可能为 ， ， ，B，C，D错，
故选：A.
【例题1-2】（2022·山东聊城·二模）已知集合 ， ，则集合 中元素个数为
（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】
解：因为 ， ，所以 或 或 或 ，
故 ，即集合 中含有 个元素；
故选：C
【例题1-3】（2022·海南海口·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，
则实数a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【详解】
对于集合N，因为 ，
所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为 ，所以 ，
所以 ．即a＝1．
故选：B.
【例题1-4】（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合 ，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【详解】
集合 有两个元素： 和 ，
故选：B
2、集合的运算
【例题2-1】（2022·广东韶关·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则
（ ）A．{4，5} B．{1，2}
C．{2，3} D．{1，2，3，4}
【详解】
，则 ，
故选：A．
【例题2-2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知全集为 ，集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】
集合 ，解得 ，
，
，
由集合交集运算得到： .
【例题2-3】（2022·河北唐山·二模）设全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：因为 ，所以 ，又 ；
所以 ；
【例题2-4】（2022·广东·二模）已知集合 ，则 （ ）A． B． C． D．
【详解】
集合 ， ，
则 ，
故选：C
【例题2-5】（2022·广东潮州·二模）已知集合 或 ，则 （ ）．
A． B．
C． D． 或
【详解】
因为 或 ，所以 ，
故选：B
3、量词命题的否定、充分条件和必要条件
【例题3-1】（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“ ， ”的否定是
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【详解】
由特称命题的否定知原命题的否定为： ， .
故选：C.
【例题3-2】（2022·山东济宁·二模）“ ”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为 ，所以 ，由于 ，而 ，故A选项满足题意；
令 ，则满足 ，但不满足 ，故B错误；
由 得： ，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误；
令 ，则满足 ，但不满足 ，D错误.
故选：A
【例题3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知 ， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】
对于不等式 ，作出曲线 与 的图象如下图所示：
由图象可知，不等式 的解集为 ，
因为 ，因此， 是 的必要不充分条件，
故选：B.
【例题3-4】（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））直线 与函数 的图象有
两个公共点的充要条件为（ ）A． B． C． D．
【详解】
由题意知直线 定点 ，函数 的图象是以 为圆心，1为半径的半圆，
如图所示．易求 ， 的斜率分别为0， ，
由图知，当l介于 与 之间（含 ）时，l与函数 的图象有两个公共点，即 ．
故选:C．
【例题3-5】（2022·山西吕梁·模拟预测（理））“ ，使得 成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
， ，等价于 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，故 ．
故选：A．
4、综合应用
【例题4-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件，条件 ． ．
(1)若 ，求 ．
(2)若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
【解析】
(1)
由 ，得 ，
所以 ，
由 ，得 ，所以
当 时， .所以
所以 ；
(2)
由（1）知， ， ，
是 的必要不充分条件， ，
所以 ，解得
所以实数 的取值范围为 .
【例题4-2】（2022·北京密云·高三期中）设 且 ，集合 ，若对 的任意 元子
集 ，都存在 ，满足： ， ，且 为偶数，则称 为理想集，并将 的
最小值记为 .(1)当 时，是否存在理想集？若存在，求出相应的 ；若不存在，请说明理由；
(2)当 时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的 以及满足条件的 ；若不存在，请说明
理由；
(3)证明：当 时， .
【解析】
(1)
依题意， 要为理想集， ，
当 时， ，显然 ，有 ，而 不是偶数，即存在3元
子集不符合理想集定义，
而 ，在 中任取3个数，有4种结果， ； ； ； ，它们都不符合理想
集定义，
所以，当 时，不存在理想集.
(2)
当 时， ，由（1）知，存在3元子集 、4元子集 均不符合理想集定义，
5元子集 ，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有 与 两种，但
这3数和不为偶数，
即存在5元子集 不符合理想集定义，
而 的6元子集是 ， 是偶数， 是偶
数，
即 的6元子集 符合理想集定义， 是理想集，
所以，当 时，存在理想子集 ，满足条件的 可分别为 或 .
(3)当 时， ，由（1），（2）知，存在 的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想
集定义，
要为理想集， ，显然 符合理想集的定义，满足条件的 分别为 或 ，
的6元子集中含有 的共有 个，这10个集合都符合理想集的定义，
的6元子集中含有 不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4
的为 ，
显然有 为偶数，即 的6元子集中含有 不含6的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有 不含5的有5个，它们是 ，
，
它们对应的 可依次为： ； ； ； ； ，
即 的6元子集中含有 不含5的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有 不含3的有5个，它们是 ，
，
它们对应的 可依次为： ； ； ； ； ，
即 的6元子集中含有 不含3的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有 之一的有3个，它们是 ，对应的 可依次
为： ； ； ，
即 的6元子集中含有 之一的3个都符合理想集的定义，因此， 的所有 个6元子集都符合理想集的定义， 是理想集，
的7元子集有 个，其中含有 的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含 的有3
个，
它们是 ，对应的 可依次为： ； ； ，
即 的所有8个7元子集都符合理想集的定义， 是理想集，
的8元子集是 ，对应的 可以为： ，因此， 是理想集，
因此， 的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集， ，
所以当 时， .
【例题4-3】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式 的解集是 ，关于x的不等式
的解集是 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
(3)设 实数x满足 ，其中 ，命题 实数x满足 .若p是q的必要不
充分条件，求实数a的取值范围.
【解析】
(1)
由 的解集是 ，解得： .
当m=1时， 可化为 ，解得 .
所以 .(2)
因为 ，所以 .
由（1）得： .
当 时，由 可解得 .要使 ，只需 ，解得：
；
当 时，由 可解得 .不符合 ，舍去；
当 时，由 可解得 .要使 ，只需 ，解得：
；
所以， 或 .
所以实数 的取值范围为： .
(3)
设关于x的不等式 （其中 ）的解集为M，则 ；
不等式组 的解集为N，则 ；
要使p是q的必要不充分条件，只需NM，即 ，解得： .
即实数a的取值范围 .
【例题4-4】（2022·北京丰台·二模）设 ， ，…， ， ，
是 个互不相同的闭区间，若存在实数 使得 ，则称这 个闭区间为聚合区间， 为该聚合区间的聚合点．
(1)已知 ， 为聚合区间，求t的值；
(2)已知 ， ，…， ， 为聚合区间．
（ⅰ）设 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， ，使得
；
（ⅱ）若对任意p，q（ 且p， ），都有 ， 互不包含．求证：存在不同的i，
，使得 ．
【解析】
(1)
由 可得 ，又 ， 为聚合区间，由定义可得 ，故当且仅当 时成立，
故
(2)
（ⅰ）由 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设 ，因为 ，故
，又 ，故 ，不妨设 中的最大值为 ，
中最小值为 ，则 ，即
，故存在区间
（ⅱ）若存在 则 或 ，与已知条件矛盾不妨设 ，则
否则，若 ，则 ，与已知条件矛盾
取 ，设
当 时， ，
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
此时取 ，则 ，
当 时，同理可取 ，使得 ，
综上，存在不同的i， ，使得
【例题4-5】（2022·北京朝阳·一模）对非空数集 ， ，定义 与 的和集 .对
任意有限集 ，记 为集合 中元素的个数.
(1)若集合 ， ，写出集合 与 ；
(2)若集合 满足 ， ，且 ，求证：数列 ， ， ，
是等差数列；
(3)设集合 满足 ， ，且 ，集合（ ， ），求证：存在集合 满足 且 .
【解析】
(1)
∵集合 ， ，
∴ ， ；
(2)
∵ ，
∴集合 中至少包含 个元素，
所以 ，又 ，
由题可知 ，又 为整数，
∴ ，
∴ ，
∴ 中的所有元素为 ，
又 是 中的 个元素，且
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴数列 ， ， ， 是等差数列；
(3)
∵集合 ，∴ ，
设 ，其中 ，
设 是首项为 ，公差为 的等差数列，即 ，
令集合 ，
则 ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
所以 ，
故存在集合 满足 且 .
