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第 33 讲 概率
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
随机事件、频率与概率
1.事件的关系
定义 表示法 图示
一般地，如果事件A发生时，事
包含
件B一定发生，则称“A包含于 记作A B(或B A)
关系
B”(或“B包含A”)
⊆ ⊇
给定事件A，B，若事件A与B不
互斥 若A∩B＝∅，则A与
能同时发生，则称A与B互斥，
事件 B互斥
记作AB＝∅(或A∩B＝∅)
给定样本空间Ω与事件A，则由
若A∩B＝∅，且
对立 Ω中所有 不属于 A 的样本点组成
A∪B＝Ω，则A与B
事件 的事件称为A的对立事件，记作
对立
A
2.事件的运算
定义 表示法 图示
给定事件A，B，由所有A中的
并事件 样本点与B中的样本点组成的事 记作 A ＋ B (或 A ∪ B )
件称为A与B的和(或并)
给定事件A，B，由A与B中的
交事件 公共样本点组成的事件称为A与 记作AB(或 A ∩ B )
B的积(或交)
3.用频率估计概率
一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，其中，m是n
次重复试验事件 A发生的次数，则当 n很大时，可以认为事件 A发生的概率
P(A)的估计值为.
古典概型
1.古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限
性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古
典概型.
2.古典概型的概率公式
古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含有m个样本点，
则P(C)＝.
3.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1 －
P ( B ) ；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为
∅⊆A Ω，所以0≤P(A)≤1.
⊆
性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
⊆
P(A∩B).
事件的独立性、条件概率与全概率公式
1.相互独立事件
一般地，当P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) 时，就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件
A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，当事件B发生的概率 大于 0 ( 即 P ( B )>0 ) 时 ，已知事件B发生
的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P ( A ) P ( B | A ) .
3.全概率公式
一般地，如果样本空间为 Ω，A，B为事件，则BA与BA是互斥的，且B＝BΩ
＝B(A＋A)＝BA＋BA，从而 P(B)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)，当 P(A)>0 且
P(A)>0时，有P(B)＝ P ( A ) P ( B | A ) ＋ P ( A )P(B| A ) .
二、考点和典型例题1、随机事件、频率与概率
【典例1-1】以下现象中不是随机现象的是（ ）．
A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现
B．明天下雨
C．连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点
D．平面四边形的内角和是360°
【答案】D
【详解】
因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，而其他三个现象都是随机出现的，
所以选项D不符合题意，
故选：D
【典例1-2】甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优
秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙
校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（
）
A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33
【答案】D
【详解】
解：由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，
取到优秀成绩的概率为 ，
故选：D
【典例1-3】掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5
B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5
D．以上说法均不正确
【答案】B
【详解】
对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确；
对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确；
对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，
出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确；
对于D，显然不正确.
故选：B
【典例1-4】“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）.
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；
B．小概率事件很少发生，不用怕；
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；
D．大概率事件就是必然事件，一定发生．
【答案】A
【详解】
“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；
故选：A
【典例1-5】在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其
他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在
15%和45%，则布袋中白色球的个数可能是（ ）个．
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【详解】
由题意，摸到红色球、黑色球的概率分别为15%和45%，
即可摸到白色球的概率为 ，
所以可得白色球的个数为 .
故选：B
2、古典概型
【典例2-1】甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息
一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三
人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，…，29.
乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，…，30.
丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9，…，29.
在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29
∴三人同一天工作的概率为 ．
故选：B．
【典例2-2】 把不同的钥匙中只有 把可以打开某个锁，从中任取 把能将该锁打开的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
将 把钥匙编号为 、 、 、 、 、 ，不妨设能打开锁的为钥匙 ．
从中任取 把，有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 ，共 种情况，
能将锁打开的情况有 种，分别为 、 、 、 、 ，故所求概率为 ．
故选：C.
【典例2-3】若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分
配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概
率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有种方法；
甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有
种方法；
其中甲乙分配到同一社区的方法有 种，
则乙与甲分配到不同社区的方法有 种，
所以乙与甲分配到不同社区的概率是
故选：B
【典例2-4】某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个
数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（ ）
A．0.09 B．0.12 C．0.18 D．0.27
【答案】D
【详解】
先从3个位置中选1个，从0到9这10个数字中选一个数字放入，剩下的两个位置再从剩
下的9个数字中选一个数字放入（两个位置数字相同），有 种方法，所以所
求概率 ．
故选: D.
【典例2-5】某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一
种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫
苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
没有买到中国疫苗的概率为 ，
所以买到中国疫苗的概率为 ．
故选：D．
3、事件的独立性、条件概率与全概率公式
【典例3-1】我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分
别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败
毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三
种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题可得， ， ，
所以 ．
故选：D
【典例3-2】奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵
动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④
四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往
①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（ ）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
【答案】C
【详解】
将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有
个基本事件，它们等可能．
事件A含有的基本事件数为 ，则 ，同理 ，
事件AB含有的基本事件数为 ，则
事件AC含有的基本事件数为 ，则
，
即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，故A、B不正确；
， ，
故选：C．
【典例3-3】将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每
个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”，B表示事件“医生乙派往①
村庄”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有 个基本事件，
它们等可能，
事件 含有的基本事件数为 ，则 ，同理 ，事件 含有的基本事件个数为 ，则 ，
所以 ；
故选：A
【典例3-4】已知 ， 分别为随机事件A，B的对立事件， ， ，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 A，B对立
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
【答案】C
【详解】
对A， ，故A错误；
对B，若A，B对立，则 ，反之不成立，故B错误；
对C，根据独立事件定义，故C正确；
对D，若A，B互斥，则 ，故D错误；
故选：C
【典例3-5】从0，1，2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：
“恰好抽的是2，4，6”，记B为事件：“恰好抽取的是6，7，8”，记C为事件：“抽取
的数字里含有6”.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】
解：由题知，从10个数中随机的抽取3个数，共有 种可能情况，
对于A选项，“恰好抽的是2，4，6”和“恰好抽取的是6，7，8”为互斥事件，
，故A选项错误；
对于B选项， ，故B选项错误；
对于C选项， ，故C选项错误；
对于D选项，由于 ，故由条件概率公式得 ，
故D选项正确.
故选：D
