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第 33 讲 数列的概念与等差数列
【基础知识全通关】
一：数列的概念
按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在
第 位的数称为这个数列的第 项.其中数列的第1项也叫作首项。
【微点拨】
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那
么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
二：数列的表示
(1)列举法：如-2，-5，-8，…
(2)图象法：由点 组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公式a=f(n)，
n∈N*。
(4)递推：利用数列的第n项与它前面若干项的关系及初始值确定。如 a=a +a (n≥3)，
n n-1 n-2
且a=1，a=1.
1 2
【微点拨】
①并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不一定唯一。
②数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
③利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
三：数列的分类
（1）按项数：有限数列和无限数列
（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列(递增数列、递减数列)
四：数列的通项公式与前 项和公式
{a } a
如果数列 n 的第 项 n与 之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公
式就叫做这个数列的通项公式.
任意数列 的前n项和 ，于是 ，所以有：
【微点拨】
由前n项和 求数列通项时，要分三步进行：
（1）求 ；
（2）求出当n≥2时的 ；
（3）如果令n≥2时得出的 中的n=1时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成
一个形式，否则就只能写成分段的形式。
五、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
【微点拨】
a a a
(1)｛ n｝为等差数列⇔ (n∈N※)⇔ n－ n−1=d (n¿ 2, n∈N※)（ d为常
数）
(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b
a+b
.
2
的等差中项存在且唯一，为
a
(3)证数列{ n}是等差数列的方法：
① (n≥2) （ d为常数）；
a
② 为 n−1和 的等差中项。
六、通项公式
(归纳法和迭加法)
【微点拨】a a a a
①｛ n｝为等差数列⇔ n为n的一次函数或 n为常数⇔ n=kn+b (n∈ )
a
②式中 n、 、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
a a
③公式特征：等差数列{ n}中 n=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k
为公差d。
a a
④几何意义：点(n， n)共线； n=kn+b中，
a
当k=d>0时，{ n}为递增数列；
a
当k=d<0时，{ n}为递减数列；
a
当k=d=0时，{ n}为常数列。
七、通项公式的性质：
（1）等差中项： 、 、 成等差数列，则 ；
（2）通项公式的推广：
（3）若 ，则 ；
特别，若 ，则
（4）等差数列 中，
若 .
【考点研习一点通】
考点一：依据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
3 8 15
2 3 4
(1) 0, , , ,…；−3 5 −7
4 9 16
(2) 1, , , ,…；
(3) 9, 99,999, 9999,…；
(4) 6, 1, 6,1,….
12 −1 22 −1 32 −1 42 −1
1 2 3 4
【解析】（1）将数列改写为 ， ， ， ，…，
故 .
（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用 来表示；
其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，
故 .
（3）将数列改写为 , , , ，…，
故 .
7 5 5 5 5
2 2 2 2 2
（4）将数列每一项减去6与1的平均值 得新数列 , - , , - ,…，
故 或
【总结】写通项时注意以下常用思路：
①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，特别注意有时分数是
约分后的结果，要根据观察还原分数；
②注意(－1)n或(-1)n+1〔或(-1)n-1〕在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现；
③归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变
形，使规律明朗化，在此处经常用到由特殊到一般的不完全归纳法，此时要联想到一些已
经学习过的基本数列，如： ， ， ， ， ， 等。【变式1-1】求下列数列的一个通项公式:
(1)1,-1,1,-1,…；
(2)3,5,9,17,33,…；
3 3 25
2 2 2
(3) ,2, ,8, ,…；
1 3 3
3 2 2
(4)1,0,- ,0, ,0,- ,0,….
【答案】
(1)a=(-1)n+1或a=cos(n+1)π.
n n
(2)a=2n+1.
n
n2
2
(3)a= .
n
nπ
sin
2
n
(4)a= .
n
考点二：数列的递推关系式
例2已知各项都为正数的数列 满足 ， .
（I）求 ；
（II）求 的通项公式.
【解析】（Ⅰ）由题意得 ，又 ，解得 .
又 ，解得 .
(Ⅱ)由 得
因为 的各项都为正数，所以 .
故 是首项为1，公比为 的等比数列，因此 .
【总结】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.
【变式2-1】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：
（1） ；
（2）对一切n∈N﹡，a＞0且
n
1 2−a 3−2a
【答案】（1）a=a,a=
2−a
,a=
3−2a
,a=
4−3a
，
1 2 3 4
(n−1)−(n−2)a
n−(n−1)a
猜想得a= ；
n
（2）令n=1得2 ＝a+1得a=1；
1 1
令n=2得2 ＝a+1得a=3；
2 2
令n=3得2 ＝a+1得a=5；
3 3
令n=4得2 ＝a＋1得a=7，
4 4
猜想得a=2n–1。
n
考点三：由数列的前n项和求数列的通项公式
例3．数列{a}的前n项和S=n2-n+1,求{a}的通项公式.
n n n
【解析】∵S=n2-n+1,
n
当n≥2时,a=S-S =(n2-n+1)-［(n-1)2-(n-1)+1］=2n-2.
n n n-1
当n=1时,a=S=1,不适合上式.
1 1
{1, n=1,¿¿¿¿
∴a=
n
【总结】
1.已知{a}的前n项和S,求a 时应注意以下三点:
n n n
(1)应重视分类讨论的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论；特别注意a=S-S 中需n≥2.
n n n-1
(2)由S-S =a 推得的a,当n=1时,a 也适合“a 式”，则需统一“合写”.
n n-1 n n 1 n
(3)由S-S =a 推得的a,当n=1时,a 不适合“a 式”,则数列的通项公式应分段表示(“分
n n-1 n n 1 n写”)，
{S , 当n =1时, ¿¿¿¿
1
即a=
n
2.利用S 与a 的关系求通项是一个重要内容,应注意S 与a 间关系的灵活运用,同时要注意
n n n n
a 并不一定能统一到a 中去.
1 n
【变式3-1】已知数列 的前 项和 ，求通项 .
【解析】当 时， ，
当 时， ，
∴ .
【变式3-2】已知数列 的前 项积 ，求通项
【解析】当 时， ，
当 时， ，
∴ .
考点四：数列的单调性
例4.已知数列 , ,判断数列 的单调性，并给以证明.
【解析】方法一： ，
∴ 为递增数列，下面给以证明:∵
∴数列 是递增数列.
方法二：由题意设 （ ），
则
∵ ，∴
∴ （ ）单调递增，
∴数列 是递增数列.
【总结】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.
1 1 1
+
【变式4-1】已知S=1+ 2 3 +…+ n ,(n∈N*)，设f(n)=S －S ,试确定实数m的取值范
n 2n+1 n+1
11
20
围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式:f(n)＞［log(m－1)］2－ ［log m］2
m (m－1)
恒成立.
1 1 1
+
【解析】∵S=1+ 2 3 +…+ n (n∈N*)
n 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kktt新新ww @@..xx子子疆疆 11教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小 oo师师..cc mmoomm//屋屋wwxxcc//
1 1 1
∴f(n)=S −S = + +⋯+
2n+1 n+1 n+2 n+3 2n+1
1 1 1 1 1 2
又f (n+1)−f(n)= + − = + −
2n+2 2n+3 n+2 2n+2 2n+3 2n+4
1 1 1 1
¿( − )+( − )>0
2n+2 2n+4 2n+3 2n+4
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是关于n的增函数1 1 9
+ =
∴对于一切大于1的自然数n，f(n) =f(2)=
2+2 2+3 20
min
11
20
∴要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞［log(m－1)］2－ ［log m］2恒成立
m (m－1)
9 11
20 20
只要 ＞［log(m－1)］2－ ［log m］2成立即可
m (m－1)
由 得m＞1且m≠2
此时设［log(m－1)］2=t，则t＞0，
m
于是有 ，解得0＜t＜1
由此得0＜［log(m－1)］2＜1
m
∴－1＜log(m－1)＜1且log(m－1)≠0
m m
1+√5
2
解得m＞ 且m≠2。
源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kktt新新ww @@..xx子子疆疆 11教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小 oo师师..cc mmoomm//屋屋wwxxcc//
考点五：等差数列的概念、公式、项的性质
例5. （1）－20是不是等差数列0， ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不
是，说明理由.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理
由.
【点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数
a
值，使得 n等于这一数.
【解析】（1）由题意可知： , ，∴此数列的通项公式为： ,
令 ,解得 ，
所以－20不是这个数列的项.
（2）根据题意可得： , .
∴此数列通项公式为： （ , ）.
令 ,解得： ,
∴100是这个数列的第15项.
【总结】
1.根据所给数列的前2项求得首项 和公差 ，写出通项公式 .
2.要注意解题步骤的规范性与准确性.
考点六：等差数列的判断与证明
例6．设 为数列 的前n项和，且 .求证：数列 为等差数列．
【点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。
本题中已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思路着手考虑。
证明：由 得 ，所以
整理得 ，又得
相减并整理得:
所以数列 是个等差数列
【总结】判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:a -a=d(常数)(n∈N*)⇔{a}是等差数列;
n+1 n n
(2)中项公式法:2a =a+a (n∈N*)⇔{a}是等差数列;
n+1 n n+2 n
(3)通项公式法:a=kn+b(k、b是常数)(n∈N*)⇔{a}是等差数列;
n n
(4)前n项和公式法:S=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*)⇔{a}是等差数列.
n n
1
(a +2) 2
【变式6-1】已知数列{a}，a∈N*，S =8 n ，求证：{a}是等差数列；
n n n n
1 1
= (a +2) 2 − (a +2) 2
【答案】a = S –S 8 n+1 8 n ,
n+1 n+1 n
(a +2) 2 −(a +2) 2
∴8a n+1 = n+1 n ,
(a −2) 2 −(a +2) 2 =0
∴ n+1 n ,
∴ ，
∵a∈N*，∴ ，
n
∴ ，即 ，
∴数列{a}是等差数列.
n
1
2
【变式6-2】设{a}是等差数列,证明以b= (n∈N*)为通项公式的数列{b}
n n n
是等差数列.
【点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数
列的首要考虑。
证法一:设等差数列{a}的公差是d(常数),
n
当n≥2时，
1 a +a +¿⋅¿+a
1 2 n−1
= 2 - n−1
n(a +a ) (n−1)(a +a )
1 n 1 n−1
−
=
2n 2(n−1)
a +a a +a
1 n 1 n−1
−
= 2 2 == (常数)
∴{b}是等差数列.
n
证法二:等差数列{a}的前n项和 ,
n
∴b=
n
∴{b}是等差数列.
n
【考点易错】
1.根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.
（1） ；
（2）8，98，998，9998，…;
（3） ;
（4）1，6，12，20，…；
（5）
【解析】（1）符号问题可通过 或 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后
面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 ，故通项公式为 .
（2）各项分别加上2，即得数列:10，100，1000，10000， …，
故数列的一个通项公式为a=10n−2.
n
（3）各项的分母依次为:21，22，23，24， …，
容易看出第2，3，4项的分子比相应分母小3，
再由各项的符号规律，把第1项变形为 ，既符合符号变化的规律，也满足了分子与分
母之间的关系，故数列的一个通项公式为 .
（4）容易看出第2，3，4项满足规律:项的序号×(项的序号+1).
而第1项却不满足，因此考虑分段表示，
即数列的一个通项公式为 .
（5）数列变形为
所以 .
2.在数列 中， ， ，数列 的前 项和 （ ， 为常数）.
（1）求实数 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式.
【解析】（1）由题意得 ， ，
解方程组 ，得 ，
∴ ．
（2）由（1）得 ．
当 时， ，
又当 时， 不满足上式，
∴ ．3.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，
．
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式．
【解析】（1）∵ ， ，∴ ．
∴ ，∴ ．
（2）由 ，得 ．
∴数列 是首项为 ， 公差为 的等差数列．
∴ ，∴ ．
当 时， ．
而 适合上式，
∴ ．
4.已知数列{a}中，a=1，a=n(a −a)(n∈ ).求数列{a}的通项公式.
n 1 n n+1 n n
【解析】方法一(累乘法)
∵a=n(a −a)，即 ，
n n+1 n
∴ ， ， ，…， (n≥2).以上各式两边分别相乘，得 .
又a=1，∴a=n(n≥2).
1 n
∵a=1也适合上式，∴a=n.
1 n
方法二(迭代法)
由 知， ， ， ，…，
则a=a× ×…× =1× ×…× =n.
n 1
5.在数列 中， ， .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由已知有 ，∴ ，
∴ ，
∴
，
又当 时， ，满足上式．
∴ ( ) ．
（2）由（1）知 ，∴ ，
而 ，
令 ①，
∴ ②，
①−②得
．
∴ ．
∴ ．
{a }
6.已知数列 ，其通项公式为 ，判断数列 n 的单调性．
【解析】方法一： ，
则 即 ，
故数列 是递增数列.
方法二： ，
{a }
则 即数列 n 是递增数列．
（注：这里要确定 的符号，否则无法判断 与 的大小）方法三：令 ，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为 ，
则函数 在 上单调递增，故数列 是递增数列．
7.已知正项数列 的前 项和为 ，且 对任意 恒成立.
（1）证明： ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ，数列 是递增数列，求 的取值范围.
【解析】（1）由 ，
得 ，
两式相减得 .
又 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，得 ，也满足 ，
所以 .
（2）当 时， ，
得 ，
又 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，故 .
（3）因为 ， ，所以 .
所 以 对 任 意
恒成立，
所以 ，得 .
故 的取值范围是 .
【巩固提升】
1.等差数列{a }前n项和为S ，且 ﹣ =3，则数列{a }的公差为（ ）
n n n
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设等差数列{a }的公差为d，
n
∵ ﹣ =3，∴ ﹣ =3，
化简可得2d﹣ d=3，解得d=2故选：B．
2.如图，点列{A}，{B}分别在某锐角的两边上， ，
n n
，（ ）.若
A． 是等差数列 B． 是等差数列 C． 是等差数列 D． 是等差
数列【答案】A
【解析】 表示点 到对面直线的距离（设为 ）乘以 长度一半，即
，由题目中条件可知 的长度为定值，那么我们需要知道 的关
系式，过 作垂直得到初始距离 ，那么 和两个垂足构成了等腰梯形，那么
，其中 为两条线的夹角，即为定值，那么
， ，作差后：
，都为定值，所以 为定值．故选A．
3.已知等差数列{a}满足：aa=-12，a+a=-4，则通项公式a=________.
n 3 7 4 6 n
【答案】a=2n-12或a=-2n+8；
n n
4.已知等差数列 中， ， ，且 ，则 __________.
【答案】 7.0；5.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23 ，33 ，43
，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为 ．
【答案】9
【解析】由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，
设m3的“分裂”数中第一个数为a ，
m
则由题意可得a ﹣a =7﹣3=4=2×2，
3 2
a ﹣a =13﹣7=6=2×3，
4 3
…a ﹣a =2（m﹣1），
m m﹣1
以上m﹣2个式子相加可得a ﹣a = =（m+1）（m﹣2），
m 2
∴a =a +（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，
m 2
∴当m=9时，a =73，即73是93的“分裂”数中的第一个
m
6. ． 已 知 数 列 是 等 差 数 列 ， 若 ,
且 ,则 _________。
【答案】
【解析】
7．数列{ }是等差数列， ，则 _________
65
12
【答案】【解析】
a
1
+a
2
+...+a
n =
7n+2
,
a
5
{a },{b },b +b +...+b n+3 b
8．两个等差数列 n n 1 2 n 则 5 =___________.
【答案】±75√ 3 5
【解析】
9.成等差数列的四个数的和为 ，第二数与第三数之积为 ，求这四个数。
【解析】解：
∴
{a } a =0.3,a =3.1, a +a +a +a +a
10.在等差数列 n 中, 5 12 求 18 19 20 21 22的值。
【解析】解：原式=
(a−1)+(a2 −2)+...+(an −n),(a≠0)
11.求和：
S +S =2S
【解析】解：显然 ，若 则 而 与 3 6 9矛盾
由3
√4
q=−
2
而 ，∴
12. 已知等差数列{a }满足a +a =10，a ﹣a =2
n 1 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设等比数列{b }满足b =a ，b =a ，问：b 与数列{a }的第几项相等？
n 2 3 3 7 6 n
【解析】（I）设等差数列{a }的公差为d．
n
∵a ﹣a =2，所以d=2
4 3
∵a +a =10，所以2a +d=10
1 2 1
∴a =4，
1
∴a =4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）
n
（II）设等比数列{b }的公比为q，
n
∵b =a =8，b =a =16，
2 3 3 7
∴
∴q=2，b =4
1
∴ =128，而128=2n+2
∴n=63
∴b 与数列{a }中的第63项相等
6 n
13.等差数列{ }中， .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ） 设 ，求数列 的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如
[0.9]=0,[2.6]=2.
【解析】(Ⅰ)设数列 的公差为 d，由题意有 ，解得
，所以 的通项公式为 .
（Ⅱ）由(Ⅰ)知 ，
当 1,2,3时， ；
当 4,5时， ；
当 6,7,8时， ；
当 9,10时， ，
所以数列 的前10项和为 .
