2024年数学（三）真题及参考答案_27考研真题_考研数学一、二、三历年真题+考研数学资料（1994-2026）_考研数学真题（1987-2026）_考研数学真题（1987-2026）_数学一_1987-2024考研数学一真题和答案

2024全国硕士研究生入学统一考试数学三答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 2024 年全国硕士研究生入学统一考试试题 数学三试题 一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的． 1+x 【1】已知 f(x)=lim ，则 f(x) n→1+nx2n （A）在x=1,x=−1处均连续. （B）在x=1处连续,x=−1处不连续. （C） 在x=1,x=−1处均不连续. （D）在x=1处不连续,x=−1处连续. 【答案】（D） +k 【2】设I= |sinx|dx，k为整数，则I 的值（ ）  （A）只与有关 （B）只与k有关 （C）与和k均有关 （D）与和k均无关 【答案】（B）  1 【3】已知 f(x,y)连续，则2dx f(x,y)dy=（ ）  sinx 6  1 arcsiny 1 （A） dy f(x,y)dx （B） dy2 f(x,y)dx 1  1 arcsiny 2 6 2 1 1  arcsiny （C）2dy f(x,y)dx （D）2dy2 f(x,y)dx  0 0 arcsiny 6 【答案】（A） + + a xn na = n 2n 【4】设幂级数n=0 的和函数为ln(2+x)，则n=0 1 1 （A）− . （B）− . 6 3 1 1 （C） . （D） . 6 3 【答案】（A） 【5】已知 f(x ,x ,x )= XTAX 经正交变换化为 y2 −2y2 +3y2，则二次型对应的矩阵 1 2 3 1 2 3 A的行列式和迹分别为（ ） 12024全国硕士研究生入学统一考试数学三答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 （A）−6,−2. （B）6,−2. （C）−6,2. （D）6,2. 【答案】（C） 1 0 0 a+2c 0 c     【6】设A为三阶矩阵，P = 0 1 0 ，若PTAP2 = 0 b 0 ，则A=         1 0 1 2c 0 c     c 0 0 b 0 0     （A） 0 a 0 . （B） 0 c 0 .         0 0 b 0 0 a     a 0 0 c 0 0     （C） 0 b 0 . （D） 0 b 0 .         0 0 c 0 0 a     【答案】（C） a+1 b 3   b M a 1 【7】设A= a 1， ij为 ij余子式，若 A =− ，−M +M −M =0，  2  2 21 22 23   1 1 2   则 3 3 （A）a=1或a=− . （B）a=0或a= . 2 2 1 1 （C）b=1或b=− . （D）b=−1或a= . 2 2 【答案】（B） 6x(1−x), 0 x1, 【8】设随机变量X 的概率密度为 f(x)= ，则X 的三阶中心矩 0, 其他. E(X −EX)3 = 1 1 1 （A）− . （B）0. （C） . （D） . 32 10 2 【答案】（B）. 【9】设随机变量X,Y 相互独立，且X N(0,2)，Y N(−1,1)，记 p = P{2X −Y 0}, p = P{X −2Y 1}，则 1 2 1 1 （A） p  p  . （B） p  p  . 1 2 2 2 1 2 22024全国硕士研究生入学统一考试数学三答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 1 （C） p  p  . （D） p  p  . 1 2 2 2 1 2 【答案】（B）. 【10】设随机变量X,Y 相互独立，且均服从参数为的指数分布，令Z = X −Y ，则下 列随机变量与Z 同分布的是（ ） X +Y （A）X +Y . （B） . （C）2X . （D）X . 2 【答案】（D）. 二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分． 【11】x→0时， x(1+t2)sint2 dt与 xk 是同阶无穷小，则k = . 0 1+cos2t 【答案】3 + 5 【12】 dx= . 2 x4 +3x2 −4 1  【答案】 ln3− . 2 8 【13】z =2x3−9x2 −6y4 +12x+24y的极值点是 . 【答案】(1,1) 25−0.25Q,Q20 【14】设某商品价格P= ，其中Q为产量，总成本函数 35−0.75Q,Q20 C =150+5Q+0.25Q2，求利润的最大值为 万元. 【答案】50 【15】A为3阶矩阵，A*为其伴随矩阵，E为单位矩阵，且r(2E−A)=1,r(E+A)=2, 则 A* = . 【答案】16 【16】设随机试验每次成功的概率为 p，进行3次独立重复试验，在至少试验成功1次的 4 条件下三次试验全部成功的概率为 ，则 p = . 13 2 【答案】 . 3 三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【17】（本题满分10分） 32024全国硕士研究生入学统一考试数学三答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 1 区域D位于第一象限，由xy= ,xy =3,y = x,y =3x围成，计算(1+x− y)dxdy 3 3 D 8 【答案】 ln3. 3 【18】（本题满分12分） 2z 2z 函数z = z(x,y)由z+ex − yln(1+z2)=0确定，求 +  . x2 y2  (0,0) 【答案】−1−2ln2. 【19】（本题满分12分） 设t 0，平面区域D由曲线y = xe−2x与直线x=t，x=2t及x轴围成，记区域D的 面积为S(t)，求S(t)的最大值. 1 3 【答案】 ln2+ . 16 64 【20】（本题满分12分） 设 f(x)具有二阶导数，且 f(0)= f(1)， f(x) 1，证明： x(1−x) （1）x(0,1)， f(x)− f(0)(1−x)− f(1)x  . 2 1 f(0)+f(1) 1 （2）  f(x)dx−  0 2 12 【答案】（1）分别在x=0及x=1处使用泰勒公式展开. （2）对于（1）结果两边同时积分. 【21】（本题满分12分） 1 −1 0 −1 1 0 1 2  0  1          已知矩阵A= 1 1 0 3 ，B= 1 −1 a a−1 ，向量= 2 ，= 0 .                 2 1 2 6 2 −3 2 −2 3 −1         （1）证明方程组Ax=的解是Bx=的解. （2）若方程组Ax=与Bx=有不同的解，求a. 【答案】（1）将方程组Ax=的解求出，代入Bx=，满足题意即可。 （2）a=1 【22】（本题满分12分） 设总体 服从0,上的均匀分布，其中(0,+)为未知参数，X ,X , X 是来 1 2 n 42024全国硕士研究生入学统一考试数学三答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 自总体X 的简单随机样本，记X =maxX ,X , X ，T =cX . (n) 1 2 n c (n) （1）求 c ，使得E(T )=. c （2）记h(c)= E(T −)2,求c使得h(c)最小. c n+1 n+2 【答案】（1） ；（2） . n n+1 5