2024年数学（一）真题及参考答案_27考研真题_考研数学一、二、三历年真题+考研数学资料（1994-2026）_考研数学真题（1987-2026）_考研数学真题（1987-2026）_数学一_1987-2024考研数学一真题和答案

2024全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 2024 年全国硕士研究生入学统一考试试题 数学一试题 一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的． 【1】已知函数 f(x)= x ecostdt，g(x)= sinx et2 dt，则 0 0 （A） f(x)为奇函数，g(x)为偶函数. （B） f(x)为偶函数，g(x)为奇函数. （C） f(x)与g(x)均为奇函数. （D） f(x)与g(x)均为偶函数. 【答案】（C） 【2】设P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z)均为连续函数，为曲面z = 1−x2 − y2 (x 0,y 0)的上侧，则Pdydz+Qdzdx=   x y   x y  （A）  P+ Q  dxdy （B）  − P+ Q  dxdy  z z   z z     x y   x y  （C）  P− Q  dxdy （D）  − P− Q  dxdy  z z   z z    【答案】（A）   【3】已知幂函数a xn 的和函数为ln(2+x)，则na = n 2n n=0 n=0 1 1 1 1 （A）− . （B）− . （C） . （D） . 6 3 6 3 【答案】（A） 【4】设函数 f(x)在区间(−1,1)内有定义，lim f(x)=0，则 x→0 f(x) （A）当lim =m时， f(0)=m. x→0 x f(x) （B）当 f(0)=m时，lim =m. x→0 x （C）当lim f(x)=m时， f(0)=m. x→0 （D）当 f(0)=m时，lim f(x)=m. x→0 12024全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 【答案】（B） 【5】在空间直角坐标系O−xyz中，三张平面：ax+by+cz=d (i=1,2,3)位置关系如图 i i i i i α  β  1 1     所示, 记α =(a,b,c),β =(a,b,c,d ),若r α =m,r β =n, 则 i i i i i i i i i  2  2     α  β  3 3 （A）m=1,n=2． （B）m=n=2． （C）m=2,n=3． （D）m=n=3． 【答案】（B）  a  1  1        1 1 a       【6】设向量 = ， = ， = ，若， ，线性相关，且其中任意 1 −1 2 b 3 −1 1 2 3        1  a  1  两个向量均线性无关，则 (A) a=1,b−1 (B) a=1,b=−1 (C) a−2,b=2 (D) a=−2,b=2 【答案】（D） 【7】设A是秩为2的3阶矩阵, α是满足Aα=0的非零向量，若对满足βα=0的任意向 量β，均有Aβ= β，则 （A）A3的迹为2. （B）A3的迹为5. （C）A5的迹为7. （D）A5的迹为9. 【答案】（A） 【8】设随机变量X 与Y 相互独立，X 是服从N(0,2)的正态分布，Y 是服从N(−2,2)的 正态分布，若P2X +Y a=PX Y，则a= （A）−2− 10 （B）−2+ 10 （C）−2− 6 （D）−2+ 6 【答案】（B） 22024全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 2(1−x),0 x1 【9】设随机变量X的概率密度为 f (x)= ，在X = x的条件下，Y在区 0, 其他 间(x,1)上服从均匀分布，则cov(X,Y)= 1 1 （A）− （B）− 36 72 1 1 （C） （D） 72 36 【答案】（D） 【10】设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，令Z = X −Y ，则下 列与Z服从同一分布的是 X +Y （A）X +Y （B） 2 （C）2X （D）X 【答案】（D） 二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分． ( 1+ax2)sinx −1 【11】若lim =6，则a= . x→0 x3 【答案】6 【12】设z = f(u,v)有二阶连续导数，且df =3du+4dv，若y = f(cosx,1+x2)，则 （1,1） d2y = . dx2 x=0 【答案】5 a  【13】若 函 数 f(x)= x+1 ， 若 f(x)= 0 +a cosnx ， x[0,] ， 则 极 限 2 n n=1 limn2sina = . 2n−1 n→ 1 【答案】−  1 【14】微分方程y= ，满足条件y(1) =0的解为 . (x+ y)2  【答案】x=tan(y+ )− y. 4 32024全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 a+1 a x   y  【15】设实矩阵A=  ，若对任意实向量α= 1 ,β= 1 ，且满足  a a  x   y  2 2 (αAβ)2 αAαβAβ都成立，则a的取值范围 . 【答案】a 0. 【16】随机试验每次成功的概率为 p，现进行三次独立重复实验，已知至少成功一次的条件 4 下全部成功的概率为 ，则 p= . 13 2 【答案】 3 三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【17】（本题满分10分） x 已知平面区域D={(x,y) 1− y2  x1, −1 y1},计算 d. x2 + y2 D 【答案】 2+ln(1+ 2)−2 【18】（本题满分12分） 设 f(x,y)= x3+ y3−(x+ y)2 +3，曲面z = f(x,y)在(1,1,1)处的切平面为T ，T 与 三个坐标面所围有界区域在xoy面的投影为D. （1）求T 的方程 （2）求 f(x,y)在D上的最大值和最小值 17 【答案】切平面x+ y+z =3；最大值21，最小值 . 27 【19】（本题满分12分） 设 f(x)二阶可导， f(0)= f(0), f(x) 1，证： x(1−x) （1） f(x)− f(0)(1−x)− f(1)x  . 2 1 f(0)+ f(1) 1 （2）  f(x)dx−  0 2 12 【答案】（1）分别在x=0及x=1处使用泰勒公式展开. （2）对于（1）结果两边同时积分. 42024全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫 【20】（本题满分12分） 已知有向曲线L为球面x2 + y2 +z2 =2x与平面2x−z−1=0的交线从z轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分  (6xyz− yz2)dx+2x2zdy+xyzdz L 4 【答案】 5 5 【21】（本题满分12分）  x =−2x +2z n n−1 n−1  已知数列{x },{y },{z }满足x =−1,y =0,z =2,且 y =−2y −2z ， n n n 0 0 0 n n−1 n−1  z =−6x −3y +3z  n n−1 n−1 n−1 x  n   记 =y ，写出满足 = A 的矩阵A，并求An及x ,y ,z (n=1,2, ). n n n n−1 n n n   z   n −2 0 2    【答案】A= 0 −2 −2 ，     −6 −3 3   −4+(−1)n+12n −2+(−1)n+12n 2    An = 4+(−1)n2n+1 2+(−1)n2n+1 −2 ，    −6 −3 3    x =8+(−2)n,y =−8+(−2)n+1,z =12. n n n 【22】（本题满分12分） 设 总 体 X ~U(0,) ，  未 知 ， X ,X X 为 简 单 随 机 样 本 ， 1 2 n X =max(X ,X X )，T =cX . (n) 1 2 n c (n) （1）求c时，使得T 为的无偏估计. c （2）记h(c)= E(T −)2，求c使得h(c)取最小值. c n+1 n+2 【答案】（1）c= ;（2）c= . n n+1 5