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第1讲 集合与常用逻辑用语
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、_______、无序性.
(2)元素与集合的关系是______或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：______、______、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ______ ______ ______ ______ ______
2.集合间的基本关系
(1)子集：如果集合 A的任意一个元素都是集合 B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记
作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于 A，那么集合A称
⊆ ⊇
为集合B的真子集.记作______.
(3)相等：若A B，且______，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
⊆
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集
符号表示 A∪B A∩B
合A的补集为∁ A
U
图形表示
{x|x∈A，或
集合表示 ______ {x|x∈U，且x∉A}
x∈B}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁ A)＝∅，A∪(∁ A)＝U，∁ (∁ A)＝A.
U U U U
5.全称量词与存在量词
(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全
称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存
在量词，用符号“∃”表示.
6.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有q(x)成立 存在M中的一个x，使p(x)成立
简记 ______ x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈q(x) ∃ ______
7.充分条件、必要条件与充∃要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
⇒
p是q的必要不充分条件 p q且q p
⇒ ⇒
p是q的充要条件 p q
⇒ ⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
⇔
⇒ ⇒
二、考点和典型例题
1、集合的性质
【例题1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合 ，且 ，则 可以是
（ ）
A． B． C． D．
【例题1-2】（2022·山东聊城·二模）已知集合 ， ，则集合 中元素个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例题1-3】（2022·海南海口·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，
则实数a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【例题1-4】（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合 ，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）2、集合的运算
【例题2-1】（2022·广东韶关·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则
（ ）
A．{4，5} B．{1，2}
C．{2，3} D．{1，2，3，4}
【例题2-2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知全集为 ，集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【例题2-3】（2022·河北唐山·二模）设全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【例题2-4】（2022·广东·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例题2-5】（2022·广东潮州·二模）已知集合 或 ，则 （ ）．
A． B．
C． D． 或
3、量词命题的否定、充分条件和必要条件
【例题3-1】（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“ ， ”的否定是
（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【例题3-2】（2022·山东济宁·二模）“ ”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【例题3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知 ， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例题3-4】（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））直线 与函数 的图象有
两个公共点的充要条件为（ ）
A． B． C． D．
【例题3-5】（2022·山西吕梁·模拟预测（理））“ ，使得 成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4、综合应用
【例题4-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件
，条件 ． ．
(1)若 ，求 ．
(2)若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
【例题4-2】（2022·北京密云·高三期中）设 且 ，集合 ，若对 的任意 元子
集 ，都存在 ，满足： ， ，且 为偶数，则称 为理想集，并将 的最小值记为 .
(1)当 时，是否存在理想集？若存在，求出相应的 ；若不存在，请说明理由；
(2)当 时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的 以及满足条件的 ；若不存在，请说明
理由；
(3)证明：当 时， .
【例题4-3】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式 的解集是 ，关于x的不等式
的解集是 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
(3)设 实数x满足 ，其中 ，命题 实数x满足 .若p是q的必要不
充分条件，求实数a的取值范围.
【例题4-4】（2022·北京丰台·二模）设 ， ，…， ， ，
是 个互不相同的闭区间，若存在实数 使得 ，则称这 个闭区间
为聚合区间， 为该聚合区间的聚合点．
(1)已知 ， 为聚合区间，求t的值；
(2)已知 ， ，…， ， 为聚合区间．
（ⅰ）设 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， ，使得
；（ⅱ）若对任意p，q（ 且p， ），都有 ， 互不包含．求证：存在不同的i，
，使得 ．
【例题4-5】（2022·北京朝阳·一模）对非空数集 ， ，定义 与 的和集 .对
任意有限集 ，记 为集合 中元素的个数.
(1)若集合 ， ，写出集合 与 ；
(2)若集合 满足 ， ，且 ，求证：数列 ， ， ，
是等差数列；
(3)设集合 满足 ， ，且 ，集合
（ ， ），求证：存在集合 满足 且 .
