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第 26 讲 圆的方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合
(x－a)2＋(y－b)2＝ 圆心C(a，b)
标准
r2(r＞0) 半径为r
方
x2＋y2＋Dx＋Ey＋ 充要条件： D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0
程
一般 F＝0 圆心坐标：
(D2＋E2－4F＞0) 半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x ，y )与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|＞r M在圆外，即(x －a)2＋(y －b)2＞r2 M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x －a)2＋(y －b)2＝r2 M在圆上；
⇔ 0 0 ⇔
(3)|MC|＜r M在圆内，即(x －a)2＋(y －b)2＜r2 M在圆内.
⇔ 0 0 ⇔
⇔ ⇔
二、考点和典型例题
1、圆的方程
【典例1-1】已知圆方程 的圆心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为 ，即 ，
所以圆心坐标为 ；
故选：C
【典例1-2】当圆 的圆心到直线 的距离最大时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为圆 的圆心为 ,半径 ，又因为直线 过定点A(-1,1),
故当 与直线 垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有 ，即 ，解得 .
故选：C.
【典例1-3】过点（7，-2）且与直线 相切的半径最小的圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
则以 为直径的圆为直线 相切的半径最小的圆，
其中 ，设 ，
则 ，解得： ，
故 的中点，即圆心为 ，即 ，
故该圆为
故选：B
【典例1-4】已知直线 ： 恒过点 ，过点 作直线与圆C：
相交于A，B两点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【详解】
由 恒过 ，
又 ，即 在圆C内，
要使 最小，只需圆心 与 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由 ，圆的半径为5，
所以 .
故选：A【典例1-5】与圆C： 关于直线 对称的圆的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
圆C： 的圆心 ，半径 ．
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，
所以圆C关于直线 的对称圆的方程为 ，
故选:C．
2、与圆有关的最值问题
【典例2-1】已知直线 与圆 有两个不同的交点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为直线 与圆 有两个不同的交点，
所以圆心到直线的距离 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：B.
【典例2-2】已知点 是圆 上的动点，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】A
【详解】由 ，令 ，则 ，
所以当 时， 的最大值为 .
故选：A
【典例2-3】已知 是圆 上一个动点，且直线 与直
线 相交于点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：直线 整理可得， ，即直线 恒过 ，
同理可得，直线 恒过 ，
又 ，
直线 和 互相垂直，
两条直线的交点 在以 ， 为直径的圆上，即 的轨迹方程为
，设该圆心为 ，
圆心距 ，
两圆相离，
，
的取值范围是 ．
故选：B．
【典例2-4】如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分
别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3， ），则|MQ|的最小值
为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】
解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
在直角 中， ，由 得 ，
∴Q点的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝ ﹣ ＝ ．
故选：A．
【典例2-5】已知圆 ： ，点 是直线 上的动点，过 作圆的
两条切线，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
圆 ： 化为标准方程： ，其圆心 ,半径
.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有 ，即 ，变形可得：
.
设 ，则 .所以当 的值即x最小时， 的值最大，此时 最小.
而 的最小值为点C到直线 的距离，即 ，
所以 .
故选：B
3、与圆有关的轨迹问题
【典例3-1】正三角形OAB的边长为1，动点C满足 ，且 ，
则点C的轨迹是（ ）
A．线段 B．直线 C．射线 D．圆
【答案】D
【详解】
解：方法一：由题可知： ，
又
所以 ，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知： ，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
所以设 ，
又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.
【典例3-2】直线 与圆 相交于A，B两点，O为圆心，
当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【答案】
【详解】
设 ，易知直线恒过定点 ，再由 ，得 ，∴
，整理得 ．
∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．
解方程组 得两曲线交点的横坐标为 ，故所求轨迹方程为
．
【典例3-3】已知圆 ，直线l满足___________（从①l过点 ，②l斜率
为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求
AB中点M的轨迹方程.
【答案】条件选择见解析，答案见解析.
【详解】
选择条件①，设点 ，令定点 为P，
因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，
则 ，有 ，当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时 ，等式 成立，
因此有 ，而 ，于是得 ，即
，
由 解得 ， ，而直线 与圆
相切的切点 在圆C内，
由点M在圆C内，得 且 ，
所以AB中点M的轨迹方程是： ( 且 ).
选择条件②，设点 ，
因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则
，
则M的轨迹是过圆心 且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，
因此，M的轨迹是过圆心 且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心 且垂
直于l的直线为 ，
由 解得 或 ，而点M在圆C内，则有 ，
所以AB中点M的轨迹方程是： .
【典例3-4】已知线段AB的端点B的坐标是 ，端点A在圆 上
运动．(1)求线段AB的中点P的轨迹 的方程；
(2)设圆 与曲线 的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线 上运动，点Q在x轴上运动，求 的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)
设 ， ，点A在圆 ，所以有： ，
P是A，B的中点， ，即 ，得P得轨迹方程为： ；
(2)
联立方程 和 ，得MN所在公共弦所在的直线方程
，
设 到直线MN得距离为d，则 ,
所以 ， ；
(3)
作出 关于 轴得对称点 ，
如图所示；连接 与x轴交于Q点，点Q即为所求，
此时 ，所以 的最小值为 .
