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第 31 讲 统计与统计模型
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一、知识梳理
数据的收集与直观表示
1.总体、个体、样本与样本容量
考察问题涉及的对象全体是总体，总体中每个对象是个体，抽取的部分对象组
成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是样本容量.
2.普查与抽样调查
(1)普查：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面
调查).
(2)抽样调查：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.
3.简单随机抽样
(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分
组、划类、排队等，完全随机地抽取个体.
(2)两种常用方法：抽签法，随机数表法.
4.分层抽样
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重
叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机
抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
5.数据的直观表示
(1)常见的统计图表有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频
率分布直方图等.
(2)频率分布直方图
①作频率分布直方图的步骤
(ⅰ)找出最值，计算极差：即一组数据中最大值与最小值的差；
(ⅱ)合理分组，确定区间：根据数据的多少，一般分5～9组；
(ⅲ)整理数据：
逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出
频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率)，各组均为左闭右开区间，最后
一组是闭区间；
(ⅳ)作出有关图示：
根据上述整理后的数据，可以作出频率分布直方图，如图所示.频率分布直图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于
这一组数对应的 频率 ，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.
②频率分布折线图
作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，
折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义
的.
不难看出，虽然作频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种
图中也得不到所有原始数据.但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体
态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况.比如，估计出平均数、中位数、
百分位数、方差.当然，利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出
的数字特征一般会有差异.
数据的数字特征、用样本估计总体
1.数据的数字特征
(1)最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的
情况.
(2)平均数
①定义：如果给定的一组数是x ，x ，…，x ，则这组数的平均数为x＝ ( x ＋ x
1 2 n 1 2
＋ … ＋ x ).
n
这一公式在数学中常简记为x＝∑x，
i
②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果 x ，x ，…，x 的平均数
1 2 n
为x，且a，b为常数，则ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的平均数为 a x ＋ b .
1 2 n
(3)中位数
有奇数个数，且按照从小到大排列后为 x ，x ，…，x ，则称x 为这组数
1 2 2n＋1 n＋1
的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 x ，x ，…，
1 2
x ，则称 为这组数的中位数 .
2n
(4)百分位数
①定义：一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值.
②确定方法：设一组数按照从小到大排列后为x ，x ，…，x ，计算i＝np%的
1 2 n
值，如果i不是整数，设i 为大于i的最小整数，取xi 为p%分位数；如果i是
0 0
整数，取为 p%分位数.
(5)众数
一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
(6)极差、方差与标准差
①极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差，描述了这
组数的离散程度.
②方差
定义：如果x ，x ，…，x 的平均数为x，则方差可用求和符号表示为s2＝ ∑ ( x
1 2 n i
－ x)2＝∑x－x2.
性质：如果a，b为常数，则ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的方差为 a 2 s 2 .
1 2 n
③标准差
定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x ，x ，…，
1 2
x 的标准差为s＝.
n
性质：如果a，b为常数，则ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的标准差为|a|s.
1 2 n
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，
只需直接算出样本对应的数字特征即可.
统计模型
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定
另一个的程度，这种关系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，
则称x与y线性相关.
2.相关系数
(1)r＝xyxy
＝xyx.
(2)当r>0时，成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关.
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
(1)我们将y＝bx＋a称为y关于x的回归直线方程，其中
xyxxyxx
(2)残差：观测值减去预测值，称为残差.
4.2×2列联表和χ2
如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下.
A A 总计
B a b a＋b
B c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
记n＝a＋b＋c＋d，则
χ2＝.
5.独立性检验
统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示.
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
K 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
要推断“A与B有关系”可按下面的步骤
(1)作2×2列联表.
(2)根据2×2列联表计算 χ 2 的值.
(3)查对分位数k，作出判断.如果根据样本数据算出χ2的值后，发现χ2≥k成立，
就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B
有关)；或说有 1 － α 的把握认为A与B有关.若χ2
