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第 23 练 空间中的垂直关系
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．下列说法中可以判断直线 平面 的是（ ）
A．直线l与平面 内的一条直线垂直 B．直线l与平面 内的两条直线垂直
C．直线l与平面 内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面 内的无数条直线垂直
【答案】C
【详解】
根据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A 、B不正
确，C正确；
根据线面垂直定义：直线垂直平面内得任一条直线，此时强调任一条，不是无数条，因为
这无数条直线可能是平行的，D不正确．
故选：C．
2．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【详解】
如图，满足 ，但 不垂直，A错误；
若 ，则 或 异面，或 相交，B错误；
因为 ，则 或 ，又因为 ，所以 ，C正确；
因为 ，所以 ，
又因为 ，设 ，则 ，所以
则 ，D错误.故选：C
3．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角αlβ的平面角，则必须具有条件
（ ）
A．AO⊥BO，AO α，BO β B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
⊂ ⊂
【答案】D
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
【详解】
根据题意， 是 与 平面的交线，则根据二面角的定义，若 ， ，且
,则 为二面角的平面角
故选：D
4．在长方体 中，点E为 的中点， ，且 ，则异面
直线AE与BC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
连接 ，由 可得 或其补角即为异面直线AE与BC所成角，又
面 ， 面 ，则 ，
则 ，同理可得 ， ，则
， ，
则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
故选：C.
5．点 是平面 外一点，且 ，则点 在平面 上的射影一定是
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A【详解】
如图所示，过点 作 平面 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 为 的外心.
故选：A.
6．如图，正方体 中，下面结论错误的是（ ）
A． 平面
B． 与平面 所成的角为
C． 平面
D．异面直线 与 所成的角为
【答案】B
【详解】
对于A， ， ， 四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，A正确；
对于B，连接 ，平面 ， 与平面 所成的角为 ，
又 ，
所以 与平面 所成的角不是 ，B错误；
对于C，连接 ，
四边形 为正方形， ；
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，同理可得： ，
， 平面 ， 平面 ，C正确；
对于D， ， 异面直线 与 所成的角即为 ，
又 ， ，即异面直线 与 所成的角为 ，D正确.
故选：B.
7．下面的说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．如果平面 内存在无数条直线和平面 平行，那么 .C．如果平面 ，那么在平面 内存在直线不垂直与平面 .
D．如果直线 和平面 内的无数条直线垂直，那么 .
【答案】C
【详解】
解：对于A，若 ， ，则直线 平行或异面，故A错误；
对于B，如果平面 内存在无数条直线和平面 平行，则平面 与 可能相交，故B错误；
对于C，如果平面 ，则在平面 内中的直线与平面 可能平行、相交，即在平面
内存在直线不垂直与平面 ，故C正确；
对于D，如果直线 和平面 内的无数条直线垂直，则直线 和平面 平行或相交，也可
能垂直，故D错误.
故选：C.
8．已知圆锥的两条母线 ，且SA与SB的夹角 ， 的面积为 ，
圆锥的母线SA与圆锥的底面圆O所成的角为 ，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由圆锥的两条母线 ， ，可得三角形 的面积为：
， .
设圆锥的高为h，底面圆O的半径为R，由圆锥的母线SA与圆锥的底面圆O所成的角为
，可得 ， ， ，
则圆锥的体积： ，
故选：B
二、多选题
9．如图，正方体 中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC， ，
AD的中点，则下列结论正确的是（ ）A．AE与CD异面 B． C． D． 平面
【答案】BD
【详解】
解：对于A：显然 ，即 ，故 与 共面，故A错误；
对于B：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，故B正确；
对于C：因为 ， ，所以 ，显然 ，所以 与
不平行，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面
，故D正确；
故选：BD
10．如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的
直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（
）
A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD
【答案】ACD
【详解】
当将 ACD绕AC边旋转到CD⊥BC时，因为CD⊥AC， ，此时CD⊥平面
ABC，△而 平面ABC，则CD⊥AB，CD⊥BC，AD正确；
此时AB⊥平面BCD， 平面BCD，所以AB⊥DB，C正确；
若 ，而AB⊥BC， ，故必有BC⊥平面ABD，由图形可知，D点在B
点正上方，而 ，所以显然 不可能；
故选：ACD
11．如图，已知正方体 ，则四个推断正确的是（ ）A． 与 所成的角为45° B．
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】BCD
【详解】
在正方体 中，
对于A，由正方体的性质可知 ，
所以 即为异面直线 与 所成的角，
因为 为等边三角形，所以 ，所以 与 成 角，故A错误；
对于B， ， ， ，故B正确；
对于C， ， ， 、 平面 ， 、 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，又 ，
平面 平面 ，故C正确；
对于D， ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面
平面 平面 ，故D正确．
故选：BCD．
12．如图，若 为正六棱台， ， ， 则下列说法
正确的是（ ）
A．
B． 平面C． 平面
D．侧棱与底面所成的角为
【答案】BCD
【详解】
对于A选项，因为 与 平行，与 异面，故A错误；
对于B选项，连接 ， ,因为六棱台 是正六棱台，
所以 平面 , 平面 ,故 ,
又因为底面 是正六边形，所以 , 平面 ，
平面 ,所以 平面 ，
即 平面 ，故B正确；
对于C选项，设 与 交于点 ，因为 ， ，所以 ， ，又
，所以 ， 即 ，又 ，所以 是平行四边形，
， 平面 , 平面 ,
所以 平面 ，故C正确；
对于D选项， 平面 , 平面
为侧棱与底面所成的角，在 中, ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
三、解答题
13．如图：四棱锥 中,
(1)证明： ⊥平面 ；(2)求点 到平面 的距离.
【解析】(1)在 中, ,故 ,又
,所以 ⊥平面 .
(2) ,又因为 进而可知在
中, ,所以
,
设点 到平面 的距离为 ,则 ,所以点
到平面 的距离为
14．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E
是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E﹣BD﹣C为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解析】(1)
证明:
连接 ，如图所示．∵ 分别为 中点，∴ ．
∵ 面 ， 面 ，∴ 面 ．
(2)
∵ 面 ， 面 ， ∴ ．在正方形 中， ，又∵ ，∴ 面 ．
又∵ 面 ，∴面 面 ．
(3)
取 中点 ，连接 ．∵ 为 中点，∴ 为 的中位线，∴ ．
又∵ 面 ，∴ 面 ，
由（1）可知 面 ，而 面 ，所以 ，∵ ，
∴ 为二面角 的平面角，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，∴ ．
∴ ．
15．长方体 中．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若此长方体 ， ， ，求平面 到平面 的距离．
【解析】(1)
在长方体 中， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，
因为 ，且 平面 ，所以平面 平面 .
(2)由题意，长方体 ， ，可得 ， ,
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
又由 ，可得 的面积为 ，
设 到平面 的距离为 ，则有 ，
即 ，所以 ，
所以平面 到平面 的距离 .
16．如图， 是圆锥的顶点， 是底面圆心， 是底面圆的一条直径，且点 是弧 的
中点，点 是 的中点， ， ．
(1)求圆锥的表面积；
(2)求证：平面 平面 ．
【解析】(1)
圆锥的侧面积 ，底面积 ，
故表面积 .
(2)
证明：由圆锥的性质知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 是底面圆的一条直径，所以
又 是 的中点，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ．
17．如图，四棱锥 中， 面 ，底面 为菱形，
，M是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
【解析】(1)
证明：∵ 面 ， 面 ，
∴ ，
又 ,
∴ 平面 .
(2)
取 的中点为N，则 两两垂直，
∴以 分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系如图，则 ，
设面 的法向量为 ，
则
令 ，则 ， ．
又 面 ，∴面 的法向量 ，
∴ ，
又二面角 的平面角为锐角，∴余弦值为 ．
