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第 21 讲 双曲线
真题展示
2022 新高考一卷第 21 题
已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，直线 ，
的斜率之和为0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
【思路分析】（1）将点 代入双曲线方程得 ，由题显然直线 的斜率存
在，设 ，与双曲线联立后，根据直线 ， 的斜率之和为 0，求解即
可；（2）设直线 的倾斜角为 ，由 ，得 ，联立
，及 ，根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）【解法一】(常规设法)：将点 代入双曲线方程得 ，
化简得 ， ，故双曲线方程为 ，
由题显然直线 的斜率存在，设 ，设 ， ， ，
则联立双曲线得： ，
故 ， ，
，
化简得： ，
故 ，
即 ，当 m+2k−1=0 时，直线 l：y=kx−2k+1 过点 A，不合题意，
舍去.,故 ；
【解法二】解法二(平移变换+齐次化):
利用坐标平移变换 将坐标原点平移到 ，
设新坐标系下直线 的方程为 ，即 ，
双曲线的方程为：
则化齐次联立，得
即 ，
两边同时除以 ，得 ，
方程的两根即为直线 的斜率，
即 ，故直线 的斜率为
.
【解法三】（齐次化）：
仿法一得双曲线方程为 ，设 ，
∵AP,AQ的斜率之和为0，∴ ，
故将双曲线方程为 变形为： ，
且设直线 ，
由 式有：
,（两边同除以 ），
即 ，而 是此方程的两根。
∴ ，故直线 斜率为−1.
（2）【解法一】(计算 AP、AQ)：设直线 的倾斜角为 ，则∠PAQ=2α 或
2α−π，
由 ， ，得 或− ，
当 时，
∵ ， ，得 ，即 ，
联立 ，及 得 ，代入直线 得 ，故 ，
而 ，
由 ，得 ，
故 ．
当 时，∠PAQ=2α，得 ，仿上得 ，
代入直线 得 ，故 ，
而 ，
由 ，得 ，
故 ．
【解法二】法二(计算弦长和高) 设 AP 的倾斜角为 α，则 AQ 的倾斜角为 π−α，
∠PAQ=2α或2α−π，
由tan∠PAQ=2 有 ，解得 tanα= 或 (舍去，因为此时直
线 AP//双曲线渐近线，P 不存在)，取 k = ，k = ，则 AP：y−1=
AP AQ
(x−2)，AQ：y−1= (x−2)，
由 有 由 有
PQ：y=−x+ ，PQ= = ,A 到 PQ 的距离 h= = ，故△PAQ 的面
积为 h= .
【解法三】（面积坐标公式）：仿法二得P,Q坐标，
所以 ，
故 。【试题评价】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．
知识要点整理
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹．
1 2 1 2
2．定义的集合表示：{M|||MF |－|MF ||＝2a，0<2a<|FF|}．
1 2 1 2
3．焦点：两个 定点 F ， F .
1 2
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|FF|.
1 2
知识点二 双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1 ( a >0 ， b >0) －＝1 ( a >0 ， b >0)
焦点 ( － c ， 0) ， ( c ， 0) (0 ，－ c ) ， (0 ， c )
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2
知识点三 双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x ≥ a 或 x ≤ － a y ≤ － a 或 y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性质 顶点坐标 A(－a，0)，A(a，0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)知识点四 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是 y ＝ ± x ，离心率为.
知识点五 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0 个公共点．
知识点六 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x，y)，B(x，y)两点，则|AB|＝.
1 1 2 2
试题亮点
圆锥曲线是高中数学中重要且基本的学习内容，同时也是高考考查的重点．
试题分步设问，逐步推进，注重对基本概念、基本方法的考查，考查内容由浅
入深，层次分明，重点突出，能很好地引导中学数学教学回归教材，试题对考
生的逻辑推理、直观想象等数学核心素养，以及灵活地应用解析几何的基本方
法将问题合理转化的能力有一定的要求.因此，试题不仅有利于高校选拔人才，
也有利于中学教学创新，对培养学生数学学科核心素养有积极的引导作用.
三年真题
1．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴
，∴ ，∴ ．
∴C的方程为： ；
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴
上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去y并化简整理得：
设 ,线段中点为 ,则 ,
设 ,
则条件③ 等价于 ,移项并利用平方差公式整理得：
，
,即 ,
即 ；
由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,
∴由 ,
∴ ,
所以直线 的斜率 ,
直线 ,即 ,
代入双曲线的方程 ,即 中，
得： ,
解得 的横坐标： ,
同理： ，
∴
∴ ,
∴条件② 等价于 ，
综上所述：条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③:
由①②解得： ,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
2．如图， 为椭圆的两个顶点， 为椭圆的两个焦点．
(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段 上异于O，A的任一点K作 的垂线，交椭圆于P， 两点，直线 与 交于点M．求
证：点M在双曲线 上．【答案】(1)椭圆的方程为 ，准线方程为 ；
(2)详见解析.
【详解】（1）由题可设椭圆的方程为 ，
则 ，
∴ ，
所以椭圆的方程为 ，准线方程为 ；
（2）设 ，点 ，其中 ，
则 ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
由 ，可得 ，
所以 ，又 ，
因为 ，
所以直线 与 交于点M 在双曲线 上.3．如图， 和 是平面上的两点，动点P满足： ．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) ， ， ，
【详解】（1）由已知， 和 是平面上的两点，
动点P满足： ，
所以由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以 和 为焦点，长轴为 的椭圆，
设椭圆方程为： ，
由已知可得：半焦距 ，长半轴 ，所以 ，
所以点P的轨迹方程为： .
（2）由 ，得 ，①
又因为 ，所以点P不为椭圆长轴的顶点，
故点P、点M、点N三点组成三角形，在 中， ， ，
由余弦定理可知： ，②
将①代入②得： ，
所以 ，即 ，
故点P的轨迹是以 和 为焦点，实轴为 的双曲线，
设双曲线方程为： ，
由已知可得： ， ，
所以点P的轨迹方程为： .
又因为点P又满足椭圆方程： ，
所以由方程组： 解得： ，
所以点P的坐标为： ， ， ， .
4．设动点P到两定点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常数 ，使
得 ．(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点 的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在 ，使 是以点B为直角顶
点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析； .
(2)存在； .
【详解】（1）证明：在 中， ,
因为存在常数 ，使得 ,故 ，
∴ （小于2的常数），
故动点P的轨迹C是以 为焦点，实轴长 的双曲线， ，
双曲线方程为 .
（2）在 中，设 ,假设 为等腰直角三角形，则 ,
由②与③得 ，则 ,
由⑤得 ，即 ，又 ， ，
故 ，
故存在 满足题设条件．
5．已知中心在原点的双曲线 的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若以 为斜率的直线 与双曲线 相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴
围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的取值范围是
【详解】（1）解：设双曲线 的方程为 ．
由题设得 ，解得 ，所以双曲线方程为 ．
（2）解：设直线 的方程为 ．点 ， ， ， 的坐标满足方程组
将①式代入②式，得 ，整理得 ．
此方程有两个不等实根，于是 ，且△ ．
整理得 ． ③
由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 ， 满足 ， ．
从而线段 的垂直平分线方程为 ．
此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， ．
由题设可得 ．
整理得 ， ．
将上式代入③式得 ，整理得 ， ．
解得 或 ．
所以 的取值范围是 ．
6．如图，直线 与直线 之间的阴影区域（不含边界）记为 ，其左半部分记为 ，
右半部分记为 ．(1)分别用不等式组表示 和 ；
(2)若区域 中的动点 到 的距离之积等于 ，求点 的轨迹 的方程；
(3)设不过原点 的直线 与（2）中的曲线 相交于 两点，且与 分别交于 两点．求证
的重心与 的重心重合．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1） ， .
（2）直线 ，直线 ，由题意得 ，
即 ， ，知 ，所以 ，
即 ，所以动点 的轨迹 的方程为 .
（3）当直线 与 轴垂直时，可设直线 的方程为 .
由于直线 ，曲线 关于 轴对称，且 与 关于 轴对称，
于是 的中点坐标都为 ，所以 的重心坐标都为 ，即它们的重心重合；
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 .
由 ，得 .
由直线 与曲线 有两个不同交点，
可知 且 .
设 的坐标分别为 ，
则 .
设 的坐标分别为 ，
由 及 得 ，
从而 ，
所以 ，
所以 ，
于是 的重心与 的重心也重合.
综上所述： 的重心与 的重心重合.
7．如图，双曲线 的离心率为 ， 分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在
第二象限内的交点，且 ．(1)求双曲线的方程；
(2)设 和 是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两
点，作直线 交双曲线于另一点E．证明：直线 垂直于x轴．
【答案】(1) ；
(2)证明岁月解析.
【详解】（1）依题意，令 ，由双曲线离心率为 得： ，即有
，
直线 ，而点M在直线 ，于是得点 ，
， ，解得 ，
所以所求双曲线方程为 .
（2）设点 ， ， ，则直线 的方程为 ，
由 消去y得：
而 ，即有 ，显然 ，于是 ，又 ，因此 ，
直线BC： ，同理可得 ，
即有 ，所以直线 垂直于 轴.
【点睛】易错点睛：双曲线 (a>0,b>0)的渐近线方程为 ，而双曲线 (a>0,b>0)
的渐近线方程为 (即 )，应注意其区别与联系.
8．已知 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与双曲线 各有两个交点，分别为
和 .
(1)求 的斜率 的取值范围；
(2)若 ， ，求 的方程.
【答案】(1)
(2) 方程为 ， 方程为 ，
或 方程为 ， 方程为 ，
【详解】（1）显然 斜率均存在，
则 方程为 ，与 联立得
，则 且 ，
互相垂直，则 的斜率为 ，同理得 且 ，
解得
（2）由弦长公式得 ， ，
而 ，化简得 ，解得 ，
故 方程为 ， 方程为 ，
或 方程为 ， 方程为 ，
9．已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为 ，C的两个焦点分别为 ，直线l过 且与直线
的夹角为 ，l与线段 的垂直平分线的交点是P，线段 与双曲线C的交点为Q，且
，求双曲线C的方程．
【答案】
【分析】如图，以 所在的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系．设双曲线的方
程为 ，可得直线 的方程为 ，得到点 的坐标，根据
求得点 的坐标，代入双曲线的方程即可得到 ，又 ，联立即可得出．【详解】解：如图，以 所在的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，
设双曲线的方程为 ，
直线 的方程为 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
∴ ， ，
，
代入双曲线的方程得 ，整理得 ，
解得 ，或 （舍去），
，又 ，
， ，
故所求的双曲线方程为 ．
10．双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，双曲线右焦点且斜率为 的直线交双曲线于 两点，若 ，求双曲线的方程.
【答案】
【详解】依题意，设双曲线的方程为 ， ，则双曲线右焦点为 ，过
且斜率为 的直线 为 ，
联立 ，消去 ，整理得 ，
若 ，则 ，所以双曲线的渐近线为 ，
则直线 与双曲线的其中一条渐近线平行，故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故 ，
所以 ，
由于 在直线 上，故可记为 ，
由 得 ，整理得 ，
所以 ，整理得 ，
代入 整理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 ，由 得， ，
整理得 ，故 ，解得 ，故 ，
故所求双曲线方程为 .
11．如图，已知两条直线 ， ．有一动圆（圆心和半径都在变动）与 、
都相交，并且 、 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 、 ．求圆心 的轨迹方程，并说出
轨迹的名称．
【答案】圆心 的轨迹方程为 ，圆心 的轨迹为双曲线.
【分析】设圆心 的坐标为 ，计算出圆心 到直线 、 的距离，结合勾股定理可化简可得出点
的轨迹方程，可得出其轨迹曲线的形状.
【详解】解：设圆心 的坐标为 ，则圆心 到直线 的距离为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
由题意可得 ， ，
整理可得 .所以，圆心 的轨迹方程为 ，且圆心 的轨迹为双曲线.
12．设 分别为椭圆 的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点 到 两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 的中点的轨迹方程；
(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线
的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线
写出具有类似特性的性质，并加以证明．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)见解析
【详解】（1）点 在椭圆C上，且到 两点的距离之和等于4，则 ， ，解得
，椭圆C的方程为 ；
（2） ，则有 ，设 ，线段 的中点为 ，则有 ，又K是椭圆上的动点，则有 ，即 ，即 .
故线段 的中点的轨迹方程为
（3）类似特性的性质为：若M、N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一
点，当直线 的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P位置无关的定值．
证明：设 ， ，则 ， ，
，
又 ，则
三年模拟
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在 轴上的双曲线 经过点
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，求弦长 ．
【答案】(1)(2)8
【详解】（1）设双曲线 的方程为 ．将 代入，
得 ，解得 ．
所以 ，双曲线 的方程为 ；
（2）由（1）得双曲线 的方程为 ，设 ．
由 ，得 ，由韦达定理得 ．
所以 ，
故弦长 为8．
2．（2022·全国·模拟预测）已知 为坐标原点, , 分别是双曲线 ： （ , ）的左, 右
焦点, ,若直线 与双曲线 点的右支有公共点 .
(1)求 的离心率的最小值;
(2)当双曲线 的离心率最小时,直线 与 交于 , 两点,求 的值.
【答案】(1)
(2)【详解】（1）解:由题知 ,
,
设 关于直线 的对称点为 ,
则 ,
解得 ,
故 ,
连接 , , , ,
则 ,
则
,
故 最大值为 ,
,
故双曲线 的离心率的最小值为 ;（2）由(1)知双曲线 的离心率的最小值为 ,
此时 ,
双曲线方程为 ,
联立得 ,
消去 并整理得
,
则有 且 ,
即 且 ,
设 , ,
则 , ,
则,
.
3．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C： 的离心率为 ，A，B分别是C的左､
右顶点，点 在C上，点 ，直线AD，BD与C的另一个交点分别为P，Q．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线PQ经过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由题意得 ，
，
，
∵ 点 在C上，
，
，
解得 ，
，
∴ 双曲线方程为 ．（2）解：由（1）知 ， ，
直线AD的方程为 ，
设 ， ，将直线AD的方程与C的方程联立，
消去y得 ① ，
，
．
当 时，方程① 的两根为 ， ，
，
， ，
即 ，
直线BD的方程为 ，与C的方程联立，消去y得 ② ，
，
．
当 时，方程② 的两根为 ，2，
，
， ，
即 ．当直线PQ的斜率存在时， ．
∴直线PQ的方程为 ，
整理得 ．
此时直线PQ过定点 ．
②当直线PQ的斜率不存在时， ，此时 ，
则直线PQ的方程为 ，
直线PQ过点 ．
综上，直线PQ经过定点 ．
4．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 到 的距离比到
的距离大2，点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与 交于 两点， 与点 关于原点对称，求直线 与 斜率
的比值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得 ，所以曲线 是以点 ， 为焦点的双曲线
的左支，
设 的方程为 （ ， ， ），根据题意得 ，得 ，所以 方程为 .
（2）由题意可得 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
①当 的斜率不存在时，易知 的坐标分别为 ， 或 ， ，
当 ， 时， ， ，所以 .
当 ， 时， ， ，所以 .
所以当l的斜率不存在时， ；
②当 的斜率存在时，设 ， ， 的方程为 ，
将直线 代入 的方程得 ，
所以 ， ，所以 ，
所以
，
因为 ，
所以 ，即 ，
综上，直线 与 斜率的比值为 .
5．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点 作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线 的平行线 交曲线E
于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 为定值2
【详解】（1）设 ，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，
所以 ，所以 ，
故动点C的轨迹方程为 ．
（2）易知直线 的斜率存在且不为0．
设直线 ： ， ， ，
联立方程组 得 ，
则 ，
因为P，Q在y轴两侧，
所以 ，所以 ，
所以 ．因为 ，所以 的方程为 ．
设 ，则 ，
联立方程组 ，得 ．
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，即 为定值2．
6．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知双曲线C： 与x轴的正半轴交于点M，
动直线l与双曲线C交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点且垂直于x轴时， ，O为坐标原
点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，求点M到直线l距离的最大值．
【答案】(1) ；
(2)2
【详解】（1）由曲线为双曲线得 ，双曲线标准形式为 ，故 ，右
焦点 ， ，
当 时，代入双曲线方程得 ，故 ，由 得 ，
故双曲线C的方程为 ；
（2）由 得 ，
i.当直线斜率不存在时，设为 ，联立 得 ，故当 才有两个交点，此时
， ，解得 或
（舍）.
故点M到直线l距离为2；
ii.当直线斜率存在时，设为 ，联立 得 ，
故当 （*）才有两个交点，
设 ，则 ，
故 ，即 ，
即 ，整理得 ，得 或 .
①当 时，直线l为 过 与M重合，不合题意；
②当 时，代入（*）可得 时有两个交点，
∴点M到直线l距离为 .
综上，点M到直线l距离的最大值为2.
7．（2023·江苏·苏州中学模拟预测）已知动圆 与圆 及圆 中的一个外切，另一个内切．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)若直线 与轨迹 相交于 、 两点，以线段 为直径的圆经过轨迹 与 轴正半轴的交点 ，证明直
线 经过一个不在轨迹 上的定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析， ．
【详解】（1）依题意， ， ，
当动圆 与圆A外切且与圆 内切时，有 ，即 ，
当动圆 与圆A内切且与圆 外切时，有 ，即 ，
即 ，
动圆的圆心 的轨迹 是以A、 为焦点的双曲线，其中 ， ，
轨迹 的方程为 ；
（2）证明：当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
由 得 ，
由 ，得 ，
且 ，
依题意，以 为直径的圆经过点 ，
，且 ，，
，
即 ，
，
化简，得 ，即 ，
或 ，且均满足 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 即是点 ，不符题意，舍，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 ，符合题意，
当直线 的斜率不存在时，设 的方程为 ，
由 解得 ，
依题意，以 为直径的圆经过点 ， ，即 ，
，即 ，
解得 （舍 或 ，
的方程为 ，直线 过点 ，
故直线 经过一个不在轨迹 上的定点，定点的坐标为 ．
8．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知 ， ，点 满足 ，记点 的轨迹为 ，
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且法向量为 ，直线与轨迹 交于 、 两点．
①过 、 作 轴的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，记 ，试确定 的取值范围；②在 轴上是否存在定点 ，无论直线 绕点 怎样转动，使 恒成立？如果存在，求出定点
；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②存在，
【详解】（1）由 ，知，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支．
， ， ，故 ，轨迹方程为 ．
（2）直线 的方程为 ， ，
得 ，设 ， ， ， ，
由条件得 ，
解得 ，即 ．
① ，
由条件 ，故 ，故 ，
因为 ，因此 ．
②设存在点 满足条件，由
，
得 对任意 恒成立，所以 ，
解得 ，
因此存在定点 满足条件．
9．（2022·云南云南·模拟预测）己知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，
的面积为
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，
，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：如图，其中 ，双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，所以
则 ，由题知 ，所以
则 ，解得
所以双曲线C的方程为 .
（2）解：
设 ，
则
所以 ，则 ，且
所以设 ，由 得 ，同理，
所以 ，
所以 ，其中， ，
因为 ，故 的取值范围是
10．（2022·浙江绍兴·一模）已知双曲线 ： （ ， ）的左焦点 为 ，点
是双曲线 上的一点.
(1)求 的方程；
(2)已知过坐标原点且斜率为 （ ）的直线 交 于 ， 两点，连接 交 于另一点 ，连接 交
于另一点 ，若直线 经过点 ，求直线 的斜率 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）易知 ， ，
故 ， .
故双曲线 的标准方程 .
（2）方法一：令A为 ，则 为 ，直线 为 ，直线 为，
由 ，
设 ，得 ，
即 ，
， ， ，
同理可得， ， ，
直线 经过点 ，则 ， ， 三点共线，
即 ，则有
，
化简得， ，
即 ，故 .
方法二：令A为 ，则 为 ，直线 为 ，直线 为
，由 ，
设 ，得 ，
即
， ，同理可得， .
令直线 为 ，
由 ，则 ，
即 ，化简得
，解得 ， ，故 .
11．（2022·上海崇明·二模）已知双曲线 ，双曲线 的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半
轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．
(1)当 OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求 OFA的面积；
△ △
(2)若点A的坐标是 ，求直线AB的方程；
(3)求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．
【答案】(1)
(2)(3)证明见解析
【详解】（1）（1）由题意 OFA是以F为直角顶点的直角三角形， ，
△
所以点A在直线 处，设A ，代入 ，解得 ，取
则 ，所以 OFA的面积 ；
△
（2）设圆C圆心坐标为 ，因其过原点，则 .
故圆C方程为： .
代入点A ，得 ，解得 .
将圆C方程与 联立得 ,消去 得：
解得 .又B点在双曲线右支，故B .
则AB方程为： .
化简为 即 .
（3）证明：由题直线AB斜率必存在，
故设直线AB的方程为 ，A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2
圆C的方程为 ，
由 ，消去y得:
由题意，得： ，且 ，由 ，消去x化简得： ，所以 .
所以 ，
即
得原点O到直线AB的距离 ，所以直线AB与圆 相切．
12．（2023·浙江温州·模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，P是直线
上不同于原点O的一个动点，斜率为 的直线 与双曲线 交于A，B两点，斜率为 的直线 与双曲
线 交于C，D两点．
(1)求 的值；
(2)若直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，问是否存在点P，满足
，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在 或 满足题意．
【详解】（1）由已知 ， ，设 ， ，
∴ ， ， ；
（2）设 ，（ ），∴ ，∴直线 的方程是 ，设 ， ，
代入双曲线方程得 ，
即 ，
， ，
，
同理 的方程为 ，设 ， ，
仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：
，
， ，
∴
．
由 得 ，
整理得 ，∵ ，∴ ，
∴存在 或 满足题意．
