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第 1 讲 随机事件的概率
一、选择题
1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北
四个方向前进，任意两人不能同一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”
是( )
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.以上都不对
解析 由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可
能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
答案 A
2.(2017·合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事
件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，
P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3
解析 事件“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件，由于 P(A)＝
0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1
－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案 C
3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全
是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通
卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动
卡”的概率为.
答案 A
4.某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋
中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙
两人所摸出球的编号不同的概率是( )
A. B. C. D.
解析 设a，b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意，摸球试验共有36种不同结
果，满足a＝b的基本事件共有6种.所以摸出编号不同的概率P＝1－＝.答案 C
5.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现
小于5的点数”，若 表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋ 发生的概
率为( )
A. B. C. D.
解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果.
依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P( )＝1－P(B)＝1－＝，
∵ 表示“出现5点或6点”的事件，
因此事件A与 互斥，
从而P(A＋ )＝P(A)＋P( )＝＋＝.
答案 C
二、填空题
6.给出下列三个命题，其中正确命题有________个.
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做
7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发
生的频率就是这个随机事件发生的概率.
解析 ①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概
率，这是两个不同的概念.
答案 0
7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该
运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的
随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机
数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
解析 20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两
次命中的概率为P＝＝.
答案
8.某城市2017年的空气质量状况如表所示：
污染指数T 30 60 100 110 130 140概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜
T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概
率为________.
解析 由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.
答案
三、解答题
9.某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数 0 1 2 3 4 5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值.
解 记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A (k∈N，k≤5)，则事件A 彼此互斥.
k k
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A )＋P(A )＋P(A )＝0.1＋0.16＋x＝0.56.
0 1 2
解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A )＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
5
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A )＋P(A )＋P(A )＝0.44，即y＋0.2＋
3 4 5
0.04＝0.44.
解得y＝0.2.
10.(2015·陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计
结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
1 1
日期 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
6 7
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动
会期间不下雨的概率.
解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任
选一天，西安市不下雨的概率为P＝＝.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，
在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16个，其中后一天不下雨的有14
个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝＝.
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
11.设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(
)
A.两个任意事件 B.互斥事件
C.非互斥事件 D.对立事件
解析 因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事
件.
答案 B
12.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5次综合测评中
的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平
均成绩的概率是( )
A. B. C. D.
解析 设被污损的数字为x，则 ＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90，
甲
＝(83＋83＋87＋99＋90＋x)，
乙
若 ＝ ，则x＝8.
甲 乙
若 ＞ ，则x可以为0，1，2，3，4，5，6，7，
甲 乙
故P＝＝.
答案 C
13.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示
“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A∪B)
＝________.
解析 将事件A∪B分为：事件C“朝上一面的数为1，2”与事件D“朝上一面
的数为3，5”.
则C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝.
答案
14.(2017·昆明诊断)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，
样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆
中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元
的概率.
解 (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000
元”，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是 3 000元和4
000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主
为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为
新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000
元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
