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第 1 讲 数列的概念及简单表示法
一、选择题
1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a 等于( )
n
A. B.cos
C.cos π D.cos π
解析 令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确.
答案 D
2.数列，－，，－，…的第10项是( )
A.－ B.－ C.－ D.－
解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一
部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a }的通项公式a ＝(－1)n
n n
＋1·，故a ＝－.
10
答案 C
3.(2017·保定调研)在数列{a }中，已知a ＝1，a ＝2a ＋1，则其通项公式a ＝(
n 1 n＋1 n n
)
A.2n－1 B.2n－1＋1
C.2n－1 D.2(n－1)
解析 法一 由a ＝2a ＋1，可求a ＝3，a ＝7，a ＝15，…，验证可知a ＝2n
n＋1 n 2 3 4 n
－1.
法二 由题意知a ＋1＝2(a ＋1)，∴数列{a ＋1}是以2为首项，2为公比的
n＋1 n n
等比数列，∴a ＋1＝2n，∴a ＝2n－1.
n n
答案 A
4.数列{a }的前n项积为n2，那么当n≥2时，a 等于( )
n n
A.2n－1 B.n2
C. D.
解析 设数列{a }的前n项积为T ，则T ＝n2，
n n n
当n≥2时，a ＝＝.
n
答案 D
5.数列{a }满足a ＋a ＝2n－3，若a ＝2，则a －a ＝( )
n n＋1 n 1 8 4
A.7 B.6 C.5 D.4
解析 依题意得(a ＋a )－(a ＋a )＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即a －a
n＋2 n＋1 n＋1 n n＋2 n
＝2，所以a －a ＝(a －a )＋(a －a )＝2＋2＝4.
8 4 8 6 6 4答案 D
二、填空题
6.若数列{a }满足关系a ＝1＋，a ＝，则a ＝________.
n n＋1 8 5
解析 借助递推关系，则a 递推依次得到a ＝，a ＝，a ＝.
8 7 6 5
答案
7.已知数列{a }的前n项和S ＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则a ＝________.
n n n
解析 当n≥2时，a ＝S －S ＝2n＋1，
n n n－1
当n＝1时，a ＝S ＝4≠2×1＋1，
1 1
因此a ＝
n
答案
8.(2017·北京海淀期末)已知数列{a }的前n项和为S ，且a ≠0(n∈N*)，又a a
n n n n n＋1
＝S ，则a －a ＝________.
n 3 1
解析 因为a a ＝S ，
n n＋1 n
所以令n＝1得a a ＝S ＝a ，即a ＝1，
1 2 1 1 2
令n＝2，得a a ＝S ＝a ＋a ，即a ＝1＋a ，所以a －a ＝1.
2 3 2 1 2 3 1 3 1
答案 1
三、解答题
9.数列{a }的通项公式是a ＝n2－7n＋6.
n n
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
解 (1)当n＝4时，a ＝42－4×7＋6＝－6.
4
(2)令a ＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个
n
数列的第16项.
(3)令a ＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍).
n
∴从第7项起各项都是正数.
10.已知数列{a }中，a ＝1，前n项和S ＝a .
n 1 n n
(1)求a ，a ；
2 3
(2)求{a }的通项公式.
n
解 (1)由S ＝a 得3(a ＋a )＝4a ，
2 2 1 2 2
解得a ＝3a ＝3.
2 1
由S ＝a 得3(a ＋a ＋a )＝5a ，
3 3 1 2 3 3解得a ＝(a ＋a )＝6.
3 1 2
(2)由题设知a ＝1.
1
当n≥2时，有a ＝S －S ＝a －a ，
n n n－1 n n－1
整理得a ＝a .
n n－1
于是
a ＝1，
1
a ＝a ，
2 1
a ＝a ，
3 2
……
a ＝a ，
n－1 n－2
a ＝a .
n n－1
将以上n个等式两端分别相乘，
整理得a ＝.
n
显然，当n＝1时也满足上式.
综上可知，{a }的通项公式a ＝.
n n
11.设a ＝－3n2＋15n－18，则数列{a }中的最大项的值是( )
n n
A. B. C.4 D.0
解析 ∵a ＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，a 最大，最大为0.
n n
答案 D
12.(2017·石家庄质检)已知数列{a }满足a ＝a －a ，且a ＝2，a ＝3，则a
n n＋2 n＋1 n 1 2 2 016
的值为________.
解析 由题意得，a ＝a －a ＝1，a ＝a －a ＝－2，a ＝a －a ＝－3，a ＝a －a
3 2 1 4 3 2 5 4 3 6 5 4
＝－1，a ＝a －a ＝2，∴数列{a }是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336，
7 6 5 n
∴a ＝a ＝－1.
2 016 6
答案 －1
13.(2017·太原模拟)已知数列{a }满足a ＝1，a －a ＝na a (n∈N*)，则a ＝
n 1 n n＋1 n n＋1 n
________.
解析 由a －a ＝na a 得－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
n n＋1 n n＋1
又因为a ＝1，所以＝＋1＝，所以a ＝.
1 n
答案
14.(2017·开封模拟)已知数列{a }中，a ＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0).
n n
(1)若a＝－7，求数列{a }中的最大项和最小项的值；
n(2)若对任意的n∈N*，都有a ≤a 成立，求a的取值范围.
n 6
解 (1)∵a ＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
n
又a＝－7，∴a ＝1＋(n∈N*).
n
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1>a >a >a >a ，
1 2 3 4
a >a >a >…＞a >1(n∈N*).
5 6 7 n
∴数列{a }中的最大项为a ＝2，最小项为a ＝0.
n 5 4
(2)a ＝1＋＝1＋，
n
已知对任意的n∈N*，都有a ≤a 成立，
n 6
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5<<6，即－10
