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第 1 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中
虚数有( )
A.30个 B.42个 C.36个 D.35个
解析 ∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计
数原理知可以组成6×6＝36个虚数.
答案 C
2.某校举行乒乓球赛，采用单淘汰制，要从20名选手中决出冠军，应进行比赛的
场数为( )
A.18 B.19 C.20 D.21
解析 因为每一场比赛都有一名选手被淘汰，即一场比赛对应一个失败者，要
决出冠军，就要淘汰19名选手，故应进行19场比赛.
答案 B
3.(2016·济南质检)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同
样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选
择方式( )
A.24 B.14 C.10 D.9
解析 第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，
第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法.
∴由分类加法计数原理，共有12＋2＝14(种)选择方式.
答案 B
4.某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字
是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为( )
A.20 B.25 C.32 D.60
解析 依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方
法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.
答案 C
5.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P Q.把满足上述
条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )
⊆
A.9 B.14 C.15 D.21
解析 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个).当x≠2时，由P Q，∴x＝y.
∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.
⊆
因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).
答案 B
6.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为( )
A.3 B.5 C.9 D.12
解析 只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的
有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10
张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张
1元，共1种.由分类加法计数原理得，共有3＋5＋1＝9(种).
答案 C
7.从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个
数的和都不等于11，则这样的子集有( )
A.32个 B.34个 C.36个 D.38个
解析 将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小
组中取一个，有C＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个.故选A.
答案 A
8.(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起
到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短
路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
解析 由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理
知，共有6×3＝18种走法，故选B.
答案 B
二、填空题
9.(2017·西安质检)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好
数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共
有________个(用数字作答).
解析 当相同的数字不是1时，有C个；当相同的数字是1时，共有CC个，由分类加法计数原理知共有“好数”C＋CC＝12(个).
答案 12
10.如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与
正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).
解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).
第二类，有两条公共边的三角形共有8个.
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).
答案 40
11.如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种
不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部
分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法(用数字作答).
解析 区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可
分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区
域 C 有 3 种涂色方法，区域 D 也有 3 种涂色方法.所以共有 5×4×4＋
5×4×3×3＝260种涂色方法.
答案 260
12.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目(不一定六名同学都能参加)，
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限，则有________种不同的报名方法；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，则有________种不同的报名方法；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限，则有________种不同的报名方法(用
数字作答).
解析 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分
步乘法计数原理，
知共有报名方法36＝729(种).
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6
种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原
理，得共有报名方法6×5×4＝120(种).
(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参
赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种).
答案 (1)729 (2)120 (3)216
13.(2017·衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243 B.252 C.261 D.279
解析 0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的
三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).
答案 B
14.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(
)
A.24对 B.30对
C.48对 D.60对
解析 与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8
对.正方体的12条面对角线共有12×8＝96(对)，且每对均重复计算一次，故共
有＝48(对).
答案 C
15.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q
点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不
重复(除交汇点 O外)的不同游览线路有________种(用数字
作答).
解析 根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，
从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路
口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观
第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法.由分步乘法计
数原理知共有6×4×2＝48种不同游览线路.
答案 48
16.(2016·广州模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，
121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有
90个：101，111，121，…，191，202，…，999.
则(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.
解析 (1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间
两位一样，有10种填法，
共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个.
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合计数原理，知有9×10n种填法.
答案 (1)90 (2)9×10n
