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第 74 讲 排列与组合
知识梳理
1. 分类加法计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m 种不同的方法，在第2类方式中有m 种不同的方法，
1 2
…，在第n类方式中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
n
2. 分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有m 种不同的方法，…，
1 2
做第n步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
n
3. 排列与排列数
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的_ ．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素
中取出 __排列数__，用符号 _表示．
(3)排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
__ (n，m∈N*，并且m≤n)
A＝ _＝n！，规定0！＝ ．
4. 组合与组合数
(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的 ．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的 ，用符号 表示．
(3)组合数公式：
C＝＝＝
__ _(n，m∈N*，并且m≤n)．
(4)组合数的性质：
性质1：C＝ _．
性质2：C＝ ．
性质3：mC＝ ．
1、（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
2、（2021•乙卷（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行
培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
3、（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这 8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
4、（2023•乙卷（理））甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有
1种相同的选法共有
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
5、（2023•甲卷（理））有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参
加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为
A．120 B．60 C．40 D．30
6、（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，
则不同的抽样结果共有
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
1、(2022·镇江高三开学考试)已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中：①A＝120；②A＝C·A；③
C＋C＝C；④C＝C，其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2、(2022·苏北四市高三期末)某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不
同排法共有( )
A. 12种 B. 24种 C. 72种 D. 120种
3、不等式A<6×A的解集为( )
A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}
4、（多选题）将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球.
则下列说法正确的有（ ）
A. 编号为1号的小球放入编号为偶数的盒子的放法数是360
B. 编号为奇数的小球均放入编号为偶数的盒子的放法数是36
C. 恰有三个盒子的编号与放入的小球编号相同的放法数是40
D. 恰有三个小球的编号比放入的盒子的编号大1的放法数是30考向一 排列问题
例1、 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
变式1、用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：
(1) 五位数？
(2) 五位奇数？
(3) 五位偶数？
变式2、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有
________个．
变式3、7位同学站成一排照相．
(1) 甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？
(2) 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(3) 甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
(4) 甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？方法总结：(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一
般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采
用间接法．
(2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题
的常用方法．
考向二 组合问题
例2、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1) 现要从中选出2个球，有多少种不同的选法？
(2) 现要从中选出红球、白球各2个，有多少种不同的选法？
变式1、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．，从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取
法有多少种？
变式2、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方
参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞
机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有
一架飞机的不同选法共有（ ）
A．51种 B．168种 C．224种 D．336种
方法总结：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素
补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键
词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，
用间接法处理．
考向三 排列与组合综合性问题
例3、有6本不同的书．
(1) 分成三份：
①每份2本，有多少种不同的分法？
②1份4本，另2份各1本，有多少种不同的分法？
③1份1本，1份2本，1份3本，有多少种不同的分法？(2) 分给甲、乙、丙3人：
①甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种不同的分法？
②1人1本，1人2本，1人3本，有多少种不同的分法？
③每人2本，有多少种不同的分法？
④1人4本，另2人各1本，有多少种不同的分法？
变式1、（1） 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小
组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种
（2）（2022·湖北·高三期末）假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学
去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．14种 C．12种 D．10种
变式2、（2022·湖南郴州·高三期末）国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服
务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务
小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．65 B．125 C．780 D．1560
变式3、（2022·广东潮州·高三期末）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依
然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫
宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则
不同的分配方法总数为（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．64种
变式4、（2022·江苏常州·高三期末）（多选题）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着
色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（ ）
A． B．C． D．
方法总结：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个
原理做最后处理．
(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出
现重复或遗漏．
1、（2022·山东日照·高三期末）某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教 (每地1人)，其中甲
和乙不同去，则不同的选派方案的种数为（ ）
A．48 B．60 C．96 D．168
2、（2022·山东临沂·高三期末）为了支援山区教育，现在安排 名大学生到 个学校进行支教活动，每个
学校至少安排 人，其中甲校至少要安排 名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A． B． C． D．
3、（2022·河北唐山·高三期末）六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志
愿者，则安排方式共有（ ）
A．15种 B．90种 C．540种 D．720种
4、（2022·山东德州·高三期末）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词
表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁､移动支付､网购､共享单车､一带一路､无人机､大熊
猫､广场舞､中华美食､长城､京剧､美丽乡村.其中使用频率排前四的关键词“高铁､移动支付､网购､共享单
车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个
“新四大发明”关键词的选法种数为___________（用数字作答）.
5、（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺
炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学
生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有_______种．
6、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）过氧化氢（ ）是一种重要的化学品，工业用途
广泛，通过催化 和 直接合成 目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.
在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由 ， 及 ， ， 五种原子中
的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________.7、（2023·江苏南通·统考模拟预测）在空间直角坐标系 中， ，则三
棱锥 内部整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（ ）
A． B． C． D．
