文档内容
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
思维导图
知识点总结
1．分类加法计数原理
完成一件事有____类不同的方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中
有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要_______个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方
法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．
两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
不同点 分类、相加 分步、相乘每类方案中的每一种方法都
能独立完成这件事
注意点 类类独立，不重不漏
典型例题分析
考向一 分类加法原理
【例1】 (1)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，
则“六合数”中首位为2的共有( )
A．18个 B．15个
C．12个 D．9个
(2)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人
只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去 A社区，乙不去B社区，则不同的安排
方法种数为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
【变式】
现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不
能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________.
使用分类加法计数原理时应注意的三个方面
(1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的．
(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行
分类．
(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的．
考向二 分步乘法原理
【例2】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年
公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
【变式1】某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个号为一注，每注2元．某人
想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从
31至36中选1个号组成一注，若这个人把满足这种特殊要求的号买全，要花( )
A．3360元 B．6720元
C．4320元 D．8640元
【变式2】现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5个人，每个人都可
以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法．利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独
立的．
(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完
成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的积
就是完成事件的方法总数．
考向三 加法原理和乘法原理的应用
【例3】 用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
【变式】从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和
真数，则所产生的不同对数值的个数为( )
A．56 B．54
C．53 D．52
【例4】 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
【变式】如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．
在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
基础题型训练
一、单选题
1．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共
两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记
作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（
）
A． B． C． D．
2．解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中
选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．9种
3．四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行实习教学，其中A学校必有师范生去，则不同的选法
方案有（ ）
A．65种 B．37种 C．24种 D．12种
4．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选
取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游
览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为
A．3600 B．1080 C．1440 D．2520
5．已知集合 ， ．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中
取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．6个
6．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所
坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个 的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），
甲、乙两人分别从 ， 两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 ，
为止，下列说法正确的是（ ）
A．甲从 必须经过 到达 的方法数共有9种
B．甲从 到 的方法数共有180种
C．甲、乙两人在 处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
8．为提升学生劳动意识和社会实践能力，新华中学高二年级利用周末进行社区义务劳动．该校决定从高
二年级共6个班中抽取20人组成社区服务队参加活动，其中6班有2个“劳动之星”，“劳动之星”必须
参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则（ ）A．若6班不再抽取学生，则共有 种分配方法
B．若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则共有 种分配方法
C．若每个班至少有3人参加，则共有90种分配方法
D．若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，则共有75种分配方案
三、填空题
9．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的
数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”， 则在组成的三位数中，“凹数”的个
数为 .
10．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共
有 .
11．如图，从丽水到上海的途径有 种．
12．(a ＋a ＋a )(b ＋b ＋b )(c ＋c ＋c ＋c )展开后共有 项.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4
四、解答题
13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱
锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方
法种数．14．已知集合 ， ，设 ， ， ，若点 在直线 的下方，则这
样的点 共有多少个？
15．为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数
学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行
学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率：
（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；
（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.
16．如图，用红、黄、蓝三种颜色涂图中标号分别为1，2，3，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有
公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的3个小正方形涂相同的颜色，则符合条件的
涂法共有多少种？
提升题型训练
一、单选题
1．某同学从5本不同的科普杂志，4本不同的文摘杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．20种 B．9种 C．10种 D．16种2．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了4名工作人员到 三个村
调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，则不同的安排方式共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
3．甲､乙､丙､丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树
小组，则甲､乙不在同一个植树小组的安排方法有（ ）
A．81种 B．54种 C．36种 D．12种
4．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的
分配方案？
A．680 B．816 C．1360 D．1456
5．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜
色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有（ ）
A．24 B．36 C．30 D．20
6．已知 的展开式中含 的项的系数为 ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
7．现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（ ）
A．只需1人参加，有16种不同选法
B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
8．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有 种
三、填空题
9．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2
的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 种．
10．从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至
少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）
11．记 为一个 位正整数，其中 都是正整数， ， ．若
对任意的正整数 ，至少存在另一个正整数 ，使得 ，则称这个数为“ 位重复
数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为 ．
12．将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，
那么不同的染色方法的总数是 ．
四、解答题
13．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位数的偶数．
14．1.甲､乙两个同学分别抛掷一颗质地均匀的骰子.
(1)求他们抛掷的骰子向上的点数相同的概率；
(2)求甲抛掷的骰子向上的点数大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.
15．已知集合 ， ，从 ， 这两个集合中先后选取一个元素依次作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标.
(1)求位于第二象限的不同点的个数；
(2)求在圆 内部（不含边界）的不同点的个数.
16．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两
格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
