文档内容
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
思维导图
知识点总结
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n
种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m ＋ n 种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那
么完成这件事共有N＝ m × n 种不同的方法．
两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加 分步、相乘
不同点 每类方案中的每一种方法都 每步依次完成才算完成这件
能独立完成这件事 事(每步中的每一种方法不
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】能独立完成这件事)
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可
典型例题分析
考向一 分类加法原理
【例1】 (1)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，
则“六合数”中首位为2的共有( )
A．18个 B．15个
C．12个 D．9个
答案 B
解析 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成的有3个，
分别为400,040,004；由3,1,0组成的有6个，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成的
有3个，分别为220,202,022；由2,1,1组成的有3个，分别为211,121,112，共3＋6＋3＋3＝
15(个)．
(2)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人
只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去 A社区，乙不去B社区，则不同的安排
方法种数为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
答案 B
解析 根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到
B，C社区即可，有A＝2种情况；②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社
区，有1种情况，若丙、丁中有 1人去B社区，则先在丙、丁中选出 1人，安排到B社区，
剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数为 2＋1＋4＝7.故选
B.
【变式】
现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不
能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________.
答案 12
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析 若第一门安排在第一天或第五天，则第二门有 3种安排方法，这时，共有 2×3＝6
种方法；若第一门安排在中间的 3天中，则第二门有 2种安排方法，这时，共有 3×2＝6种
方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．
使用分类加法计数原理时应注意的三个方面
(1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得
到的．
(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行
分类．
(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的．
考向二 分步乘法原理
【例2】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年
公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
答案 B
解析 分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3
条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有 6×3＝18条可以选择的最短路径．故选
B.
【变式1】某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个号为一注，每注2元．某人
想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从
31至36中选1个号组成一注，若这个人把满足这种特殊要求的号买全，要花( )
A．3360元 B．6720元
C．4320元 D．8640元
答案 D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析 从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9
种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法．由分步乘
法计数原理，知共有8×9×10×6＝4320种选法，要花4320×2＝8640元．故选D.
【变式2】现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5个人，每个人都可
以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法．
答案 1280
解析 完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法计数原理，分步进
行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有 4种不同排法，依
次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．
利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独
立的．
(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完
成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的积
就是完成事件的方法总数．
考向三 加法原理和乘法原理的应用
【例3】 用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
答案 B
解析 由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数
为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有重复数字
的三位数的个数为900－648＝252.故选B.
【变式】从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和
真数，则所产生的不同对数值的个数为( )
A．56 B．54
C．53 D．52
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答案 D
与几何有关的问题
【例4】 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
答案 B
解析 正方体共有 3 组对面互不相邻．与正方体的每组对面相邻的面有 4 个，所以有
3×4＝12种选法．故选B.
【变式】如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．
在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个
数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
答案 B
基础题型训练
一、单选题
1．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共
两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记
作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（
）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于
50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，
第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为 ；
第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为 ，
所以表示不同整数的个数为8.
其中表示的数字大于50的有 共3个，
所以表示的数字大于50的概率为 .
故选：B
2．解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中
选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．9种
【答案】B
【分析】由分类计数原理计算．
【详解】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有 （种）.
故选：B.
3．四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行实习教学，其中A学校必有师范生去，则不同的选法
方案有（ ）
A．65种 B．37种 C．24种 D．12种
【答案】A
【分析】可从反面考虑，计算A学校没有师范生的种数
【详解】若不考虑限制条件，则每位师范生都有3种选择，共有 种选择．
若没人去A学校，则每位师范生都有2种选择，共有 种选择．
故不同的选法方案有 种．
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选
取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游
览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方
法数为
A．3600 B．1080 C．1440 D．2520
【答案】C
【分析】根据题意分两种情况讨论：第一种，先将 个班级分成四组，分别为 再分配到四个景点，
第二种，将 人平均分成三组，再分配到除新四军军部旧址外的四个景点的任意三个景点，分别求出每一
种情况的参观方法数，由加法原理计算可得答案
【详解】由于每个班级必须参加且只能游览 个景点，且每个景点至多有两个班级游览，因此可以把问题
看成是将 个班级分配到除新四军军部旧址外的四个景点或三个景点，可以分两种情况：
第一种，先将 个班级分成四组，分别为 再分配到四个景点，
不同的参观方法数为： 种
第二种，将 人平均分成三组，在分配到除新四军军部旧址外的四个景点的任意三个景点，
不同的参观方法数为： 种
由上可知，不同的参观方法数共有 种
故选
【点睛】本题主要考查了排列，组合的实际应用，注意题目中的分类讨论，由不同的情形得到不同的参观
方法，继而求出结果．
5．已知集合 ， ．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中
取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．6个
【答案】D
【分析】根据第四象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可.
【详解】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，
所以集合 中只有 符合，集合 中只有 符合，
所以第四象限的点P有 个，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D
6．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所
坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】所有的排列法共有 种，用列举法求得满足条件的排列数只有2种，由此可求得满足条件的
概率.
【详解】编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学
生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法
只有2种，所以所求的概率 .
故选：B.
二、多选题
7．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个 的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），
甲、乙两人分别从 ， 两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 ，
为止，下列说法正确的是（ ）
A．甲从 必须经过 到达 的方法数共有9种
B．甲从 到 的方法数共有180种
C．甲、乙两人在 处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ACD
【分析】利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可判断A选项；分析可知从点 到点 ，一共要走6步，
其中向上2步，向前2步，向右2步，结合分步乘法计数原理可判断B选项；利用古典概型的概率公式可
判断C选项；找出两人相遇的位置，求出两人相遇的概率，可判断D选项．
【详解】对于A，从点 到点 ，需要向上走2步，向前走1步，
从点 到点 ，需要向右走2步，向前走1步，
所以，甲从 必须经过 到达 的方法数为 种，A正确；
对于B,从点 到点 ，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，
所以，甲从 到 的方法数为 种，B错误；
对于C，甲从点 运动到点 ，需要向上、前、右各走一步，
再从点 运动到点 ，也需要向上、前、右各走一步，
所以，甲从点 运动到点 ，且经过点 ，不同的走法种数为 种，
乙从点 运动到点 ，且经过点 ，不同的走法种数也为36种，
所以，甲、乙两人在 处相遇的概率为 ，C正确；
对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点 、 、 、 、 、 、 ，
甲从点 运动到点 ，需要向上走2步，向前走1步，再从点 运动到点 ，需要向前走1步，向右走2
步，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以甲从点 运动到点 且经过点 的走法种数为 ，
所以甲、乙两人在点 处相遇的走法种数为 ，
同理可知，甲、乙两人在点 、 、 、 、 处相遇的走法种数都为 ，
因此，甲、乙两人相遇的概率为 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从 到 的路线转变为六步，其中每一
条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由
此得到的组合数可表示对应路线的方法数．
8．为提升学生劳动意识和社会实践能力，新华中学高二年级利用周末进行社区义务劳动．该校决定从高
二年级共6个班中抽取20人组成社区服务队参加活动，其中6班有2个“劳动之星”，“劳动之星”必须
参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则（ ）
A．若6班不再抽取学生，则共有 种分配方法
B．若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则共有 种分配方法
C．若每个班至少有3人参加，则共有90种分配方法
D．若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，则共有75种分配方案
【答案】AB
【分析】AB利用插空法求解判断；CD利用分类计数原理求解判断.
【详解】A.若6班不再抽取学生，则20个名额分配到5个班，且每个班至少1个，由插空法，将其分成5
组，共有 种分配方法，故正确；
B.若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则20个名额分配到6个班，且每个班至少1个，由插空法，将
其分成6组，则共有 种分配方法，故正确；
C.若每个班至少有3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分配到6个班，分5类，第一类
4个名额分到一个班，有6种，第二类一个班3个，一个班1个有 种，第三类2个班都是2个名额
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 种,第四类2个班各1个名额，另一个班2个名额，则有 种, 第五类4个班都是1个
名额则有 种,共有126种分配方法，故错误；
D. 若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，相当于17个名额被占用，还有3个名额需要分配到5
个班，第一类3个名额分到一个班，有5种，第二类一个班2个，一个班1个有 种，第三类3个
班都是1个名额则有 种,则共有35种分配方案，故错误；
故选：AB
三、填空题
9．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的
数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”， 则在组成的三位数中，“凹数”的个
数为 .
【答案】
【分析】对十位上的数分别为 三类讨论，每一类中根据分步计数原理求解，即可求出“凹数”的个数.
【详解】当十位上的数为 时，有 个；
当十位上的数为 时，有 个；
当十位上的数为 时，有 个；
所以“凹数”的个数为 个.
故答案为：
10．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共
有 .
【答案】756
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先从 区域涂色，讨论 区域涂相同，不同颜色的两种情况，再确定 区域的涂色方
法，应用分类分步计数原理求不同涂色的方法数
【详解】按 区域涂色相同与不同分一下两种情况：
先涂 区域，则有4种方法，若 区域涂色相同，则有3种方法， 区域分别由3种方法，共有
种方法
先涂 区域，则有4种方法，若 区域涂色不同，则有 种方法，则 区域有2种方法， 分
别有3种方法，共有 种方法
故不同的涂色方法共有756种方法
故答案为：756
11．如图，从丽水到上海的途径有 种．
【答案】60
【分析】根据分步计数原理即可求解.
【详解】完成从丽水到上海这件事需要两个步骤：第1步，从丽水到温州，有6种不同方法；第2步，从
温州到上海，有10种不同方法，所以从丽水到上海共有6×10＝60种方法．
故答案为：60.
12．(a ＋a ＋a )(b ＋b ＋b )(c ＋c ＋c ＋c )展开后共有 项.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4
【答案】36
【解析】根据分步乘法计数原理可得答案.
【详解】该展开式中每一项的因式分别来自a ＋a ＋a ，b ＋b ＋b ，c ＋c ＋c ＋c 中的各一项，
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4
由a ，a ，a 中取一项共3种取法，从b ，b ，b 中取一项有3种不同取法，从c ，c ，c ，c 中任取一项共
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4
4种不同的取法
由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项)
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四、解答题
13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱
锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方
法种数．
【答案】420
【分析】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解
【详解】由题设，四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有 种染色方法；
当 染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,
则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7
种染法.
故不同的染色方法有 种.
14．已知集合 ， ，设 ， ， ，若点 在直线 的下方，则这
样的点 共有多少个？
【答案】
【分析】根据分类计数原理，对 分类讨论，确定 相应的 的取值，即可得到答案.
【详解】解：因为点 在直线 的下方，所以 ，又 ， ，可按 的取值分类考虑：
当 时，不存在符合条件的点 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，则符合条件的点 有 个；
当 时， ，则符合条件的点 有 个；
根据分类加法计数原理知，这样的点 共有 (个) ．
故答案为：
【点睛】方法点睛：分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、
关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必
须属于某一类．
15．为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数
学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行
学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率：
（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；
（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利
用古典概型的概率公式可求得结果；
（2）考虑甲、乙两位同学不选同一门课程的选法种数，并求出丙选课程的选法种数，利用分步乘法计数
原理可求得结果；
（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》；②三位同学都选择《数学史》.分别计算出两种情
况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】（1）三位同学选择课程共有 种情况；
三位同学选择的课程互不相同共有 种情况，所求概率为 ；
（2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有 种情况，丙有 种不同的选择，
所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有 种情况；
（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》,共有 种不同的情况；
②有三位同学选择《数学史》共有 种情况.
综上所述，总共有 种不同的选课种数.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，分步计数原理分类计数原理，排列组合的基本应用，属于中
等题.
16．如图，用红、黄、蓝三种颜色涂图中标号分别为1，2，3，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有
公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的3个小正方形涂相同的颜色，则符合条件的
涂法共有多少种？
【答案】108（种）
【分析】分三步：首先看图形中的1，5，9，有3种可能；再看2，3，6；最后看4，8及7，运用分步计
数原理可得答案.
【详解】把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法．
第二部分2，3，6，分以下两种情况：
①若标号为2，6的小正方形同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有 （种）；
②若标号为2，6的小正方形不同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有 （种），
所以标号为2，3，6的小正方形的不同涂法共有 （种）．
同理，第三部分4，7，8的不同涂法也有6种．
所以符合条件的涂法共有 （种）．
提升题型训练
一、单选题
1．某同学从5本不同的科普杂志，4本不同的文摘杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．20种 B．9种 C．10种 D．16种
【答案】B
【分析】所选的杂志可以分成2类，求出每类杂志任选一本的方法，然后相加，即可求出结论.
【详解】某同学从5本不同的科普杂志任选1本，有5种不同选法，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从4本不同的文摘杂志任选1本，有4种不同的选法，
根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有： 种.
故选：B.
2．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了4名工作人员到 三个村
调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，则不同的安排方式共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
【答案】C
【分析】4个人分到三个村庄只能由 这种分法，分好后再安排到3个不同村庄，由分步乘法计数原理
得解.
【详解】先将4人分成3组，共有 种分法，
再将这3组分到3个不同的村庄有 种，
根据分步乘法计数原理知，共有 种不同分法.
故选：C
3．甲､乙､丙､丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树
小组，则甲､乙不在同一个植树小组的安排方法有（ ）
A．81种 B．54种 C．36种 D．12种
【答案】B
【分析】根据分步计数原理分析求解即可.
【详解】甲有3种参加方法，乙有2种参加方法，丙､丁均有3种参加方法，根据分步乘法计数原理可知，
甲、乙不在同一个植树小组的安排方法有 种，
故选：B．
4．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的
分配方案？
A．680 B．816 C．1360 D．1456
【答案】A
【详解】先给每个小朋友分三个苹果，剩余 个苹果利用“隔板法”，
个苹果有 个空，插入三个 “板”，共有 680种方法.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A.
5．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜
色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有（ ）
A．24 B．36 C．30 D．20
【答案】C
【分析】先涂“火、土”两个位置，再分类讨论“火”与“金”、“土”与“水”位置颜色是否相同，运
算求解.
【详解】设3种不同的颜色为 ，
对于“火、土”两个位置有 种不同的涂色方法，不妨设“火、土”两个位置分别为 ，
1.若“金”位涂色为 ，则有：
①若“水”位涂色为 ，则“木”位涂色为 ，共1种不同的涂色方法；
②若“水”位涂色为 ，则“木”位涂色为 ，共1种不同的涂色方法；
共2种涂色可能；
2.若“金”位涂色为 ，则有：
①若“水”位涂色为 ，则“木”位涂色为 或 ，共2种不同的涂色方法；
②若“水”位涂色为 ，则“木”位涂色为 ，共1种不同的涂色方法；
共3种涂色可能；
综上所述：共 种不同的涂色方法.
故选：C.
6．已知 的展开式中含 的项的系数为 ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 ，令 ，
可得 解得 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题.
二、多选题
7．现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（ ）
A．只需1人参加，有16种不同选法
B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
【答案】ABC
【分析】根据分类计数原理和分步计数原理依次讨论各选项即可求解.
【详解】解：选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有
种选法，故A正确；
选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，
故共有 种选法，故B正确；
选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，
故共有 种选法，故C正确；
选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.
故选：ABC.
8．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的
有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有 种
【答案】ABC
【分析】求得抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的方法数判断选项A；求得抽出的3件中至少有1件
是不合格品的方法数判断选项B、C；求得抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的方法数判断选项D.
【详解】选项A：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品.可先在不合格品中抽取1件，再在合格品中抽
取2件，则方法数为 种.判断正确；
选项B：抽出的3件中至少有1件是不合格品. 分为两种情况：
（1）先在不合格品中抽取1件，再在合格品中抽取2件，则方法数为 种；
（2）先在不合格品中抽取2件，再在合格品中抽取1件，则方法数为 种
则方法总数为 种.判断正确；
选项C：抽出的3件中至少有1件是不合格品.可以使用排除法简化计算：从这100件产品中任意抽出3件，
有 种方法，其中抽出的3件中没有不合格品是不符合要求的，其方法数为 .则抽出的3件中至少有1
件是不合格品的方法数为 .判断正确；
选项D：抽出的3件产品中至多有1件是不合格品. 可以使用排除法简化计算：从这100件产品中任意抽出
3件，有 种方法，其中抽出的3件中有2件不合格品是不符合要求的，其方法数为 .则抽出的3件
中至多有1件是不合格品的方法数为 种.判断错误.
故选：ABC
三、填空题
9．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2
的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 种．
【答案】18
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】先分成三组，每组2张卡片，其中1，2在同一组．再排列即可 ．
10．从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至
少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）
【答案】168
【分析】据题意，用间接法分析：先求出先从4男2女共6名学生选出4人，要求至少有1名女生有多少
种选法，然后再求出选出的4人中任选1人，作为队长，剩余3人中选出1人作为副队长，剩下2人作为
队员有多少种选法，两数相乘即可．
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
①先从4男2女共6名学生选出4人，要求至少有1名女生，有 种情况，
②在选出的4人中任选1人，作为队长，剩余3人中选出1人作为副队长，
剩下2人作为队员，有 种情况，
则有 种不同的选法；
故答案为：168
11．记 为一个 位正整数，其中 都是正整数， ， ．若
对任意的正整数 ，至少存在另一个正整数 ，使得 ，则称这个数为“ 位重复
数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为 ．
【答案】 .
【分析】分两种情况讨论：一是四个数位上的数字全部相同，二是个位、十位、百位上的数只有一个和首
位的数相同，其他数位上的两个数相同，但与首位数不同，利用排列组合基本思想以及分类计数原理得出
结果．
【详解】根据题意，可分以下两种情况讨论：
（1）四个数位上的数字全部相同，这样的四位数共有 个；
（2）个位、十位、百位上的数只有一个和首位的数相同，其他数位上的两个数相同，但与首位数不同，
可以将首位数字可以放在其它三个数位上任选一个位置上，另外两个数位上的数字需在其他九个数字中任
选一个数即可，此时，这样的四位数共有 个.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，由分类计算原理，可知“四位重复数”的个数为 .
故答案为： .
12．将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，
那么不同的染色方法的总数是 ．
【答案】1920
【分析】利用分步计数原理进行计算即可.
【详解】设在三棱台 中，
首先对 着色，有 种；
然后： 点可以用 或 点的色，也可以用剩下的两种色．现分类：
（1）用 或 点的色，由对称性，不妨设用 点的色，则 点有4种色可以选择，
又分为两类：① 与 同色，则 有3种色可选择；②与 不同色，则 有2种色可选择，共有
，
（2）用剩下的两种色，则 点有3种色可选择，又分为两类：
① 与 同色，则 有3种色可选择；②与 不同色，则 有2种色可选择，共有： ．
所以不同的染色方法的总数是 ．
故答案为：1920．
四、解答题
13．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位数的偶数．
【答案】(1)24
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)12
【分析】（1）根据乘法原理分步完成即可；
（2）先排个位，再排十位与百位,根据乘法原理得出结果即可.
【详解】（1）三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：
第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理， 共有4×3×2＝24个
满足要求的三位数．
（2）分三个步骤完成：
第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；
第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．
14．1.甲､乙两个同学分别抛掷一颗质地均匀的骰子.
(1)求他们抛掷的骰子向上的点数相同的概率；
(2)求甲抛掷的骰子向上的点数大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用分布乘法原理，求出一共有多少种情况，再求出两人点数相同有多少种情况，进而求
出概率；（2）由第一问可知，点数相同的情况多少，在所有的可能结果中，减去点数相同的情况个数，
再除以2，即为甲抛掷的骰子向上的点数大于乙抛掷的骰子向上的点数的情况个数，进而求出相应的概率
(1)
由题意可知，每人有6种可能，即共有6×6=36种可能的结果，两人点数相同的可能有6种，所以点数相同
的概率为
(2)
在所有的可能结果中，点数相同的结果有6种，甲抛掷骰子向上的点数大于乙的点数的可能情况与甲甲抛
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】掷骰子向上的点数小于乙的点数的可能情况相同，故各有15种，所以甲抛掷骰子向上的点数大于乙的点数
的概率为：
15．已知集合 ， ，从 ， 这两个集合中先后选取一个元素依次
作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标.
(1)求位于第二象限的不同点的个数；
(2)求在圆 内部（不含边界）的不同点的个数.
【答案】(1)9
(2)6
【分析】（1）根据第二象限内的点的特点，根据分步乘法计数原理可得答案；
（2）根据分类加法计数原理可得答案.
（1）
因为这个点为第二象限内的点，所以该点的横坐标小于0，纵坐标大于0.
先选横坐标，有3种方法，再选纵坐标，也有3种方法，
根据分步乘法计数原理，则位于第二象限的不同点的个数为 .
（2）
因为这个点在圆 的内部（不含边界），所以 .
若 ，则 或 ，共2种情况；
若 ，则 或 ，共2种情况；
若 ，则 或 ，共2种情况.
根据分类加法计数原理，则满足条件的不同点的个数为6.
16．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两
格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】260种
【分析】根据题意，涂第1个小方格，易得其有5种涂法，再分类讨论其他小方格：①若第2个、第3个
小方格涂不同的颜色，②若第2个、第3个小方格涂相同的颜色，由分步分类计数原理计算即可得到答案．
【详解】第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．
①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，
由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．
②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4
种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．
由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
