文档内容
易错点 13 排列组合与二项式定理
易错题【01】求解“至少”问题计数重复
排列组合中有一类“至少”问题,若使用分步计数很容易出现计数重复,如从1,2,3,4中任取2
个数字,至少有1个偶数,问有多少种不同取法,若先取1个偶数,再从另外3个 数中任取1个,
计数会重复,这是因为先2后4或先4后2的结果是一样的,求解此类问题,一般是分类求解,
如该问题可分2类：仅有1个偶数及有2个偶数.
易错题【02】利用分步乘法原理计数,分步标准错误
仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类
有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论
哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类加法计
数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成n个步骤,才能完成这
件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步乘法计
数原理.
易错题【03】分组问题混淆“均分”与“非均分”
平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各
堆再全排列,平均分堆不到指定位置,其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：①处理分
配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),
位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分堆时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分
组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组.
易错题【04】计数时混淆有序与定序
有序是指元素排列有顺序的区别,元素相同,位置不同是不同的结果,定序是指不同元素的相
对位置固定,不同元素的定序排列可看作组合问题,此外对于某几个元素顺序一定的排列问题,
可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.
易错题【05】混淆二项式系数与系数
要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数
是 ,其值只与 有关,与 无个,系数是该项中的常数,在(a＋b)n的展开式中,系数最大的
项是中间项；但当a,b的系数不是1时,系数最大的项的位置就不一定在中间,需要利用通项
公式,根据系数的增减性具体讨论而定.
01
(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 ( )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【警示】本题出错的主要原因是重复计数：先让其中4名志愿者各分一个项目,结果有
中,最后一名志愿者再任选一个项目,所有不同的分配方案共有480种,故选D.
【答案】C
【问诊】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5
名志愿者中任选2人,组成一个小组,有 种选法；然后连同其余三人,看成四个元素,四个项
目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有 4！种,根据乘法
原理,完成这件事,共有 种不同的分配方案,故选C．
【叮嘱】求解至少问题,一般是先分组,后排列.
1. (2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每
项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 ( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
2. (2018年高考数学课标卷Ⅰ(理))从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少
有1位女生入选,则不同的选法共有种．.(用数字填写答案)
02
把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有( )
A．24种B．4种C．43种D．34种
【警示】本题错误解法是：因为每个盒子有三种投入方法,共4个盒子,所以共有3×3×3×3＝
34(种)投法．
【问诊】错误原因是没有考虑每个球只能投入一个盒子中,导致错误
【答案】第1个球投入盒子中有4种投法；第2个球投入盒子中也有4种投法；第3个球投
入盒子中也有4种投法．只要把这3个球投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得
共有43种方法,故选C.
【叮嘱】利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺
序的,并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才
算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立,互不干扰；二是步与步确保连续,逐步完成．
1．已知某教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到四层不同的走法种数为(
)
A．32 B．23
C．43 D．24
2.在生物学研究过程中,常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜
观察某叶片的组织细胞,获得显微镜下局部的叶片细胞图片,如图所示,为了方便研究,现在利
用甲、乙等四种不同的试剂对 、 、 、 、 、 这六个细胞进行染色,其中相邻的细
胞不能用同种试剂染色,且甲试剂不能对 细胞染色,则共有______种不同的染色方法(用数
字作答)．
03
某校高二年级共有六个班,现从外地转入 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排
名,则不同的安排方案种数为()
A． B． C． D．
【警示】本题若混淆均分与非均分,会误选A
【问诊】因为是均分,要除以 .
【答案】先将4名学生均分成两组方法数为 ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为
,根据分步计数原理合要求的安排方法数为 ．故选B．
【叮嘱】要注意均分与非均分的区别.1．(2022届江苏省南京市高三上学期期中)集合 , ,以 为定义域,
为值域的函数的个数为( )
A．60 B．150 C．540 D．
2．(多选题)(2022届重庆市实验中学高三上学期开学考试)有 本不同的书,按下列方式进行
分配,其中分配种数正确的是( )
A．分给甲､乙､丙三人,每人各 本,有 种分法；
B．分给甲､乙､丙三人中,一人 本,另两人各 本,有 种分法；
C．分给甲乙每人各 本,分给丙丁每人各 本,有 种分法；
D．分给甲乙丙丁四人,有两人各 本,另两人各 本,有 种分法；
04
身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有()
A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种
【警示】本题错误解法是：最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有
种排法,第二步：排右边,有 种排法,根据分步乘法计数原理,共有
种,故选B．
【问诊】错误原因是混淆有序与定序
【答案】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,因顺序固定有
种排法,第二步：排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有 种,
故选 ．
【叮嘱】这里的“有序”是指元素的位置可以有不同的顺序,有序问题是排列问题；“定
序”是指元素的相对顺序固定,定序问题可看作组合问题,如本题先选3人排左边,排法是 ,
不是
1.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个
新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( )A．504 B．210 C．336 D．120
2．某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整
方案的种数有( )
A．35 B．70 C．210 D．105
05
(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)) 的展开式中 的系数为 ( )
A． B． C． D．
【 警 示 】 本 题 错 误 解 法 是 ： 展 开 式 的 通 项 公 式 为
,令 ,解得 ,故含 的系数为 ,故选
A．
【答案】C
【问诊】错误解法是混淆二项式系数与系数,正确解法是： 展开式的通项公式为
,令 ,解得 ,故含 的系数为 ,
故选C．
【叮嘱】系数展开项中字母前的常数.
1．(2022届上海市奉贤区高三一模)已知 的二项展开式中,前三项系数成等差数
列,则 的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．102.(2022届重庆市南开中学高三上学期12月月考)已知二项式 的展开式中共有8
项,则下列说法正确的有( )
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第5项 D．有理项共3项
错
1．已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(
)
A．512 B．210
C．211 D．212
2．疫情期间,有6名同学去社区做防疫志愿者,根据需要,要安排这6名同学去甲､乙两个核酸
检测点,每个检测点至少去2名同学,则不同的安排方法共有( )
A．10种 B．20种 C．50种 D．70种
3．(2022届云南省三校高三联考)昆明市博物馆十一期间同时举办“滇池地区青铜文化精品
展”､“恐龙化石展”､“清代云南名家扇面精品展”､“馆藏明代民窑青花瓷展”四个展览,
某代表团决定在十一黄金周期间某一天的上､下午各参观其中的一个,且“滇池地区青铜文
化精品展”､“恐龙化石展”至少参观一个,则不同的参观方案共有( )
A．6种 B．8种 C．10种 D．12种
4．(2022届山西省大同市高三上学期12月月考)为迎接第 届冬季奥林匹克运动会,某校安
排甲、乙、丙、丁、戍共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者,每个比赛
项目至少安排 人,则学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者的概率为( )
A． B． C． D．
5．(多选题)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大,则n的值可以为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
6．(多选题)(2022届河北省邯郸市高三上学期强化训练)在二项式 的展开式中,下列
结论正确的是( )A．第5项的二项式系数最大 B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为
7．(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍,假设它们均不慎失足下落,已
知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝
D,E,F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝
B,D,H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E,则下列结论正确的是( )
A．最高处的树枝为G,I中的一个
B．最低处的树枝一定是F
C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种
8．(多选题)2020年3月,为促进疫情后复工复产期间安全生产,某医院派出甲、乙、丙、丁4
名医生到 , , 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作,每名医生只能到一家企业工作,
则下列结论正确的是( )
A．所有不同分派方案共 种
B．若每家企业至少分派1名医生,则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生,且医生甲必须到 企业,则所有不同分派方案共12种
D．若 企业最多派1名医生,则所有不同分派方案共32种
9．甲,乙,丙,丁,戊五人并排站成一排照相,下列说法正确的是( )
A．如果甲,乙必须相邻,那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头,乙不站在正中间,则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边,则不同的排法共有36种
D．若五人已站好,后来情况有变,需加上2人,但不能改变原来五人的相对顺序,则不同的排
法共有42种
10．(2022届河北省邯郸市高三上学期期末)2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾
害,社会各界众志成城支援河南,邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A,B,C三个
城市运送物资,则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为______．
