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第 01 讲 计数原理
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考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解分类加法计数原理和分 今后在本节的考查形式依然以
步乘法计数原理． 选择或者填空为主，以考查基
2020年上海卷第10题，5分
（2）会用分类加法计数原理和分 本概念和基本方法为主，难度
2016年上海卷第8题，3分
步乘法计数原理分析和解决一些 中等偏下，与教材相当．
简单的实际问题．知识点1、分类加法计数原理
完成一件事，有 类办法，在第1类办法中有 种不同的办法，在第2类办法中有 种不同的方法，
…，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．
知识点2、分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成 个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，…，做
第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．
注意：两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有 类办法，这 类办法之间是互斥的，那么
求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理．
分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有 个步骤，而
且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两
个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想
求方法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也
是检验排列组合问题的很好方法．
知识点3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如
果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事
的方法数时，使用分步计数原理．
题型一：分类加法计数原理的应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线
面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（
）
A．48 B．18 C．24 D．36
例2．（2023·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们
有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传
递信息（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
例3．（2023·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考阶段练习）定义：“各位数字之和为7的四位数叫好
运数”，比如1006，2203，则所有好运数的个数为（ ）
A．82 B．83 C．84 D．85
变式1．（2023·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6中选取4个数字，组成各个数位上的数字既不
全相同，也不两两互异的四位数，记四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求
，则满足条件的四位数的个数为 .
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线方程 ，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次
取两个不同的数分别作为A、B的值，则 可表示 条不同的直线．变式3．（2023·辽宁·高三校联考开学考试）某迷宫隧道猫爬架如图所示， ，C为一个长方体的两个顶点，
， 是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从 点沿着
图中的线段爬到 点，再从 点沿着长方体的棱爬到 点，则小猫从 点爬到 点可以选择的最短路径共
有 条.
【解题方法总结】
分类标准的选择
（1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方
法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．
题型二：分步乘法计数原理的应用
例4．（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承
包2项，丙承包3项，则共有 种承包方式（用数字作答）.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若一个三位数同时满足：①各数位的数字互不相同；②任意两个数位的
数字之和不等于9，则这样的三位数共有 个．(结果用数字作答)
例6．（2023·安徽亳州·高三蒙城第一中学校考阶段练习）将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必
须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（ ）
A．4种 B．8种 C．12种 D．48种
变式4．（2023·四川成都·高三统考开学考试）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的
游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9
个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二
列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（ ）A．72 B．108
C．144 D．196
变式5．（2023·全国·高三专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
变式6．（2023·河北石家庄·高三校联考期中）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送
给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各
户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春
联，则不同的赠送方法种数为（ ）
A．15120 B．7560 C．12520 D．12160
变式7．（2023·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避
免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游
出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
变式8．（2023·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）在如图所示的表格中填写 ， ， 三个数字，
要求每一行、每一列均有这 个数字，则不同的填法种数为（ ）．
A． B． C． D．
变式9．（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）甲、乙分别从 门不同课程中选修 门，且 人选修的
课程不同，则不同的选法有（ ）种．
A． B． C． D．
变式10．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）从六人（含甲）中选四人完成四项不同的
工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）
A．120种 B．150种 C．180种 D．210种
变式11．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）某足球比赛有 ， ， ， ， ， ， ， ，
共9支球队，其中 ， ， 为第一档球队， ， ， 为第二档球队， ， ， 为第三档球队，现将上述9支球队分成3个小组，每个小组3支球队，若同一档位的球队不能出现在同一个小组中，则不同
的分组方法有（ ）
A．27种 B．36种 C．72种 D．144种
【解题方法总结】
利用分步乘法计数原理解题的策略
（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
（2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整
个事件才算完成．
题型三：两个计数原理的综合应用
例7．（2023·全国·高三专题练习）第 届世界大学生夏季运动会于 月 日至 月 日在成都举办，现在
从 男 女共 名青年志愿者中，选出 男 女共 名志愿者，安排到编号为 、 、 、 、 的 个赛场，
每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为 、 的赛场，编号为 的赛场必须安排女志
愿者，那么不同安排方案有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
例8．（2023·江苏南京·高三校联考阶段练习）从2位男生，3位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每
个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（ ）种
A．16 B．36 C．54 D．96
例9．（2023·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考开学考试）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，
若每人只选择一个项目，则同一个项目最多只有2人参赛的情况共有 种．
变式12．（2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）现有5名同学从北京、上海、深圳三个路线
中选择一个路线进行研学活动，每个路线至少1人，至多2人，其中甲同学不选深圳路线，则不同的路线
选择方法共有 种．（用数字作答）
变式13．（2023·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分
配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人
只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数
字作答）．
变式14．（2023·江苏扬州·高三仪征中学校考阶段练习）已知如图所示的电路中，每个开关都有闭合、不
闭合两种可能，因此5个开关共有 种可能，在这 种可能中，电路从P到Q接通的情况有 种．变式15．（2023·湖北·高三校联考开学考试）从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组
员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有 种
不同的选法.（用数字作答）
变式16．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对
夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻
乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为 .
变式17．（2023·福建福州·高三统考开学考试）“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其
划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6
个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种
数是（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
【解题方法总结】
利用两个计数原理解题时的三个注意点
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．
（2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．
（3）对于复杂问题，一般是先分类再分步．1．（2014•重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同
类节目不相邻的排法种数是
A．72 B．120 C．144 D．168
2．（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为
A．144 B．120 C．72 D．24
3．（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数
的个数为
A．24 B．18 C．12 D．6
