文档内容
第 01 讲 计数原理
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：分类加法计数原理的应用....................................................................................................2
题型二：分步乘法计数原理的应用....................................................................................................2
题型三：两个计数原理的综合应用....................................................................................................3
02 重难创新练......................................................................................................................................3
03 真题实战练......................................................................................................................................6题型一：分类加法计数原理的应用
1．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
从书架上任取1本书，不同的取法种数为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．18
2．从 地到 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2
次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（ ）
A．3 B．9 C．24 D．以上都不对
3．某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，其
他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（ ）．
A．10种 B．15种
C．20种 D．25种
题型二：分步乘法计数原理的应用
4．学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣
小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（ ）
A． B．36 C．24 D．
5．如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为（ ）
A．8 B．4 C．5 D．3
6． 2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价
分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式
共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．24种
7．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）用 代表红球， 代表蓝球， 代表黑球， 由加法原理及乘法原理， 从
1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来，
如： “ 1 ” 表示一个球都不取、“ ”表示取出一个红球， 而 “ ” 表示把红球和蓝球都取出来，
以此类推， 下列各式中， 其展开式可用来表示从 3 个无区别的红球、 3 个无区别的蓝球、 2 个有区别的黑球中取出若干个球， 且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（ ）
A．11 B．12 C．30 D．36
9． 5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（ ）
A．9 B．20 C． D．
题型三：两个计数原理的综合应用
10．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、
马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同
学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则
选法有 种．
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从
中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）．
12．如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有 个
“幸运数”．
13．用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的偶数有 个.（用数字作
答）.
1．（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填
一个数字，1不在 区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法
有（ ）A．20种 B．24种 C．36种 D．48种
2．（2024·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四
语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：
法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
3．（2024·河南周口·模拟预测）2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异
常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看
的方法有（ ）
A．243种 B．162种 C．72种 D．36种
4．（2024·全国·模拟预测）如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面
的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三
种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称
后重合的视为同一种）（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，
组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这
两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
6．（2024·江苏南通·模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人
到 社区，则不同的选法有（ ）
A．12种 B．24种 C．30种 D．60种
7．（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个
袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望5个袋子中所装奶糖种类各不相同，且每一种奶糖在袋子中出现的
总次数均为2，那么不同的方案数为（ ）
A．3000 B．3360 C．1440 D．1560
8．（2024·陕西西安·三模）方程 的非负整数解的组数为（ ）A．40 B．28 C．22 D．12
9．（多选题）（2024·全国·模拟预测）将 这七个数随机地排成一个数列，记第i项为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则这样的数列共有360个
B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个
C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个
D．若 ， ， ，则这样的数列共有71个
10．（多选题）（2024·高二·山东德州·阶段练习）带有编号 、 、 、 、 的五个球，则（ ）
A．全部投入 个不同的盒子里，共有 种放法
B．放进不同的 个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法
C．将其中的 个球投入 个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 种放法
D．全部投入 个不同的盒子里，没有空盒，共有 种不同的放法
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则
下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（ ）
A．可以围成20个不同的正方形
B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)
C．可以围成516个不同的三角形
D．可以围成16个不同的等边三角形
12．（多选题）（2024·高二·山东滨州·期末）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ， 三家企业开
展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共 种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共12种
D．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
13．（2024·河南新乡·模拟预测）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中
某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火
炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ．
14．（2024·全国·模拟预测）二阶魔方是一个 的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶魔方共
有 种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任
意确定6块，最后1块也就唯一确定了）
15．（2024·河南濮阳·模拟预测）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，
举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人
才培养的重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A，B，C，D四个不同
的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有
种（用数字作答）．
16．（2024·高二·吉林长春·期末）有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每
所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为 .（用数字作答）
17．（2024·福建泉州·模拟预测）围棋在中国古时称"弈"，是一种策略性二人棋类游戏．围棋棋盘由纵横
各19条等距离、垂直交叉的平行线构成．则围棋棋盘上的矩形数量为 ．（用数字作答）
1．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））如图，小圆圈表示网络的结点，结点之
间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从
结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（
）
A．26 B．24 C．20 D．19
2．（1993年普通高等学校招生考试数学（理）试题（旧高考））同室 人各写一张贺年卡,先集中起来,然
后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则 张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
3．（2005年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））从0，1，2，3这四个数中选三个不
同的数作为函数 的系数，可组成不同的一次函数共有 个，不同的二次函数
共有 个．（用数字作答）4．（2005年普通高等学校春季招生考试数学（理）试题（北京卷））从 ，0，1，2这四个数中选三个
不同的数作为函数 的系数，可组成不同的二次函数共有 个，其中不同的偶
函数共有 个．（用数字作答）
5．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））圆周上有 个等分点 ，以其中三
个点为顶点的直角三角形的个数为 ．
6．（2003 年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分
成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘
汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有 场比赛．
