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2025-2026 学年九年级数学上学期期中模拟卷 01
参考答案
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D A D D B A D
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9
11．第二象限 12．k< 且k≠0 13．6
8
❑√6
14．25cm 15．①② 16．
4
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）
【详解】解：3x2+6x−4=0，
这里a=3，b=6，c=-4，
∵Δ=b2 −4ac=62 − 4×，3×(−4)=84>0
−6±❑√84 −3±❑√21
∴x= = ，
2×3 3
−3+❑√21 −3−❑√21
∴x = ，x = ．（6分）
1 3 2 3
18．（6分）
【详解】（1）解：∵ △ABC绕点C顺时针旋转a°得到△DEC，点D恰好落在边AB上，
∴∠ACD=α，CA=CD，
∴∠CDA=∠A=60°，
∴ △ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
即α的值为60；（3分）（2）解：∵ △ABC绕点C顺时针旋转a°得到△DEC，
∴∠CDE=∠A=60°，BC=DE，AB=DE，
∵∠ACD=∠CDE=60°，
∴DE∥AC，
∴当DF=AC时，四边形ACFD为平行四边形，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC，
∴DE=2DF，
∴m=2．
故答案为：2．（6分）
19．（8分）
【详解】（1）解：∵当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，
∴当每件商品的售价为75元时，涨价5元，日销售量减少5件，每天可销售30−5=25（件），
商场每天可盈利(75−60)×25=375（元），
故答案为：25；375；（4分）
（2）设定价为x元，由题意可得：
(x−60)(100−x)=400，
解得，x =x =80（符合题意），
1 2
答：每件定价为80元时，商场每天的盈利达到400元．（8分）
20．（8分）
【详解】（1）证明：过点O分别作OM⊥CD，ON⊥AB于点M，N，连接OB，OD，BD，如图所
示，
1 1
则有OD=OB，MD=MC= CD，NB=NA= AB
2 2
∵AB=CD∴DM=BN
∴Rt△DOM≌Rt△BON(HL)
∴∠MDO=∠NBO
又∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
∴∠MDO+∠ODB=∠NBO+∠OBD，即∠CDB=∠ABD
∴AD=BC（4分）
（2）证明：连接OB，OC，BD，如图所示，
由（1）可知，∠CDB=∠ABD
∵AB⊥CD
1
∴∠CDB=∠ABD= (180°−90°)=45°
2
∴∠BOC=2∠CDB=2×45°=90°
又∵OE⊥BC
∴BE=CE
∴OE为Rt△BOC斜边上的中线
1
∴OE= BC（8分）
2
21．（10分）
【详解】（1）解：如图1中，线段AD，点N即为所求；
由旋转的性质可得AC=AD，∠CAD=90°∵点M,T分别是AC,AD的中点，
1 1
∴AM= AC,AT= AD,
2 2
∴AM=AT,
∴△AMT是等腰直角三角形，
∴∠AMN=45°；（5分）
（2）解：如图2中，点P，点C即为所求．
由作图可得AM=MC=MP,MP⊥AC，
∴∠MAP=∠MCP=45°，
∴∠APC=90°,AP=CP，
∴点A绕点P逆时针旋转90°得到点C，
由作图可得BT∥AC，
∴∠KAC=∠KBT，∠KCA=∠KQB，
∵MP垂直平分AC，
∴KA=KC，
∴∠KAC=∠KCA，
∴∠KBT=∠KQB，
∴KQ=KB
∴PM⊥BQ，
∴点B与点Q关于直线PM的对称．（10分）
22．（10分）
【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为 ，
y=a(x−15) 2+9
1
将(0,0)代入，得225a+9=0，解得a=− ．
25
1
所以抛物线的解析式为y=− (x−15) 2+9．（3分）
25
②石块不能飞跃防御墙．
1 11
理由如下：将x=23代入，y=− (23−15) 2+9=6 >6；
25 25
1
将x=25代入，y=− (25−15) 2+9=5<6．所以石块不能飞跃防御墙．（6分）
25（2）解：∵ 过点
y=a(x−15) 2+k (0,0)
∴
a(0−15) 2+k=0
∴k=−225a
∴
y=a(x−15) 2−225a
依题意 分别代入 ，
B(23,6),C(25,6) y=a(x−15) 2−225a
即 或
6=a(23−15) 2−225a 6=a(25−15) 2−225a
6 6
解得： a=− 或a=−
161 125
6 6
∴− <a<− ．（10分）
125 161
23．（12分）
【详解】（1）证明：∵∠QCP=∠ACB=120°，
∴∠QCP−∠ACP=∠ACB−∠ACP，
∴∠ACQ=∠BCP，
∵AC=BC，CQ=CP，
∴△ACQ≌△BCP(SAS)，
∴BP=AQ；（3分）
（2）解：如图所示，作△CPQ使得CQ=CP,∠QCP=120°，连接PQ,BQ，延长PD至点R，使得
DR=DP，连接RQ,RB，
同（1）可得△CBQ≌△CAP
∴CQ=CP=2,BQ=AP=5,∠CAP=∠CBQ
∵∠QCP=120°，则∠CPQ=∠CQP=30°
1
如图所示过点C作CS⊥PQ，则CS= PC=1
2∴ ，
PS=SQ=❑√PC2−CS2=❑√3
∴PQ=2❑√3=❑√3PC
∵D是AB的中点，PD=DR，∠ADP=∠BDR
∴△DPA≌△DRB
∴RB=PA=5,∠PAD=∠RBD
∴∠CBQ+∠RBD=∠CAP+∠PAD=∠CAB=30°，
∴∠RBQ=∠CBD+∠CBQ+∠RBD=60°
∴△BRQ是等边三角形，则RQ=RB=5
在△RPQ中，PQ=2❑√3,RQ=5,∠QPR=120°
如图所示，作QT⊥RP交直线RP于点T
∴∠TPQ=60°，则∠PQT=30°
1
∴TP= PQ=❑√3，TQ=❑√3TP=3
2
在 中， ，
Rt△TQR TR=❑√QR2−TQ2=❑√52−32=4
∴PR=TR−TP=4−❑√3，
1 ❑√3
∴PD= PR=2− （7分）
2 2
（3）解：如图所示，延长PR至J，使得RJ=PQ，连接BJ，由（2）可得∠QPR=120°，∠QBR=60°，则∠QPR+∠QBR=60°+120°=180°
∴∠PQB+∠PRB=180°
又∵∠BRJ+∠PRB=180°
∴∠PQB=∠BRJ
在△PQB，△BRJ中，
{
BR=BQ
)
∠PQB=∠BRJ
PQ=RJ
∴△PQB≌△BRJ(SAS)
∴PB=BJ，∠QBP=∠RBJ
又∵∠PBJ=∠PBR+∠RBJ=∠PBR+∠QBP=∠QBR=60°
∴△PBJ是等边三角形，
∴PB=PJ=PR+RJ=PR+PQ=4−❑√3+2❑√3=4+❑√3
依题意，如图所示，将PB绕点B顺时针旋转120°得到BO，连接ON，则BP=BN，∠PBO=120°
∵将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN
∴BM=MN，∠MBN=∠PBO=120°
∴∠PBM=∠OBN
∴△BPM≌△OBN
∴ON=PC∵PM=PC =2，即点M在P为圆心，2为半径的圆上运动，
∴ON=PC=2，即点N在P为圆心，2为半径的圆上运动，
∵∠PBO=120°，
∴OP=❑√3PB =4❑√3+3
∴PN的最大值为PO+ON=4❑√3+3+2=4❑√3+5（12分）
24．（12分）
{ a−b+3=0 )
【详解】（1）解：代入A(−1,0)，B(3,0)得： ，
9a+3b+3=0
{a=−1)
解得： ，
b=2
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．（3分）
（2）如图，过点Q作QM⊥y轴交y轴于点M，则∠CMQ=∠NMQ=90°，
设 ，则 ，
Q(t,−t2+2t+3) M(0,−t2+2t+3)
∵QM⊥y轴，
∴QM∥x轴，
∴∠MQN=∠BAQ，
∵∠AQC=2∠BAQ，
∴∠AQC=2∠MQN，
∴∠CQM=∠NQM，
又∵MQ=MQ，
∴△CQM≌△NQM，
∴CM=NM，
又 ， ，
∵C(0,3) M(0,−t2+2t+3)
，
∴N(0,−2t2+4t+3)∵A(−1,0)，
∴AQ:y=(3−t)x+3−t，
∴3−t=−2t2+4t+3，
5
解得：t =0（舍），t = ，
1 2 2
(5 7)
∴点Q的坐标为 , ．（7分）
2 4
（3）设 ， ，
M(m,−m2+2m+3) N(n,−n2+2n+3)
设PM的解析式为y=kx+p，
代入 得， ，
M(m,−m2+2m+3) −m2+2m+3=km+p
∴p=−km−m2+2m+3，
∴y=kx−km−m2+2m+3，
联立{y=kx−km−m2+2m+3)，
y=−x2+2x+3
消去y整理得：x2+(k−2)x−m2−km+2m=0，
∵PM与抛物线只有唯一公共点，
，
∴Δ=(k−2) 2−4(−m2−km+2m)=0
整理得： ，
(k+2m−2) 2=0
解得：k=−2m+2，
∴PM:y=(−2m+2)x−m(−2m+2)−m2+2m+3=(−2m+2)x+m2+3，
同理可得，PN:y=(−2n+2)x+n2+3，
(m+n
)
联立PM与PN可得交点P ,m+n−mn+3 ；
2
∵S =10，
△PAB
1
∴ AB⋅y =10，
2 P
∴y =5，
P
∴m+n−mn+3=5，
∴−m−n+mn=−2，MN:y=(−m−n+2)x+mn+3，
当x=1时，y=−m−n+2+mn+3=−m−n+mn+5=−2+5=3，
即MN经过定点S(1,3)，
∵OH⊥MN，
∴OH≤OS=❑√10，
当OS⊥MN时，OH长度有最大值❑√10，
∴线段OH长度的最大值为❑√10．（12分）
