文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期中模拟卷 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级数学上册第1~4章。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．如图，下列所给图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念“把一个图形绕着一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行判断即可得．
【详解】解：A、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
C、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
D、是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形．
2．用公式法解一元二次方程3x2+3=2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（ ）
A．a=3，b=2，c=3 B．a=-3，b=2，c=3
C．a=3，b=2，c=-3 D．a=3，b=-2，c=3
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号．
【详解】解：3x2+3=2x，
∴3x2-2x+3=0
∴a=3,b=-2,c=3，
故选：D．
3．用配方法解方程:x2-4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x-2） 2=2 B．（x+2） 2=2
C．（x-2） 2=-2 D．（x-2） 2=6
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加
上一次项系数-4的一半的平方，即可求出答案．
【详解】解：把方程x2-4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4x=-2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=-2+4，
配方得（x-2） 2=2．
故选：A．
4．抛物线y= 2 (x-1) 2+c经过(-2，y )，(0，y )， (5 ，y ) 三点，则y ，y ，y 的大小关系正确
3 1 2 2 3 1 2 3
的是（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据
二次函数的图象与性质可进行求解．
2
【详解】解：由抛物线y= (x-1) 2+c可知：开口向上，对称轴为直线x=1，
3
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
(5 )
∵(-2,y )，(0,y )， ,y ，
1 2 2 3
5 3 3
而1-(-2)=3，1-0=1， -1= ，1< <3
2 2 2
∴点(0,y )离对称轴最近，点(-2,y )离对称轴最远，
2 1
∴y >y >y ；
1 3 2故选：D．
5．如图，△AOB中，∠B=25°，将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A'OB'，边A'B'与边OB
交于点C（A'不在OB上），则∠A'CO的度数为（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得∠B=∠B'=25°，∠BOB'=60°，由三角形外
角的性质可求解．
【详解】∵将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A'OB'，
∴∠B=∠B'=25°，∠BOB'=60°，
∴∠A'CO=∠B'+∠BOB'=85°，
故选：C．
6．一元二次方程4x2-6x+3=0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题考查根的判别式，求出判别式，进行判断即可．
【详解】解：∵4x2-6x+3=0，
∴Δ=(-6) 2-4×4×3=-12<0，
∴方程没有实数根；
故选D．
7．已知二次函数y=2(x-1) 2+3，向左平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，得到二次函数
y=2(x+2) 2+5，则h，k的值分别是（ ）
A．-3，2 B．3，2 C．2，-2 D．2，5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据题意，将y=2(x-1) 2+3向左平移3个单位再向上平移2个单位即可求解．
【详解】根据题意，将y=2(x-1) 2+3向左平移3个单位再向上平移2个单位得y=2(x-1+3) 2+3+2，
即y=2(x+2) 2+5，
∴h=3,k=2，
故选：B．
8．某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可
多卖出5件，如果降价x元，每天盈利800元，那么可列方程为（ ）
A．(65-x-45)(30-5x)=800 B．(65-x)(30+5x)=800
C．(65-x)(30-5x)=800 D．(65-x-45)(30+5x)=800
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．由题意可知降价x
元，平均每天能卖出(5x+30)件，每件盈利(65-x-45)元，即可列出方程．
【详解】解：降价x元，则可多卖出5x件，此时售价为(65-x)元/件，
∴此时平均每天能卖出(5x+30)件，每件盈利(65-x-45)元，
∴每天盈利(5x+30)(65-x-45)元，
即可列方程为(5x+30)(65-x-45)=800．
故选D．
9．当ab>0时，函数y=ax2-b与y=bx-a在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查一次函数与二次函数图象综合判断，根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一
进行判断即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象，可知：b>0,由二次函数的图象可知：-b>0，则，b<0，不符
合题意；
B、由一次函数的图象，可知：b<0,由二次函数的图象可知：-b<0，则，b>0，不符合题意；
C、由一次函数的图象，可知：b<0,-a>0，则：b<0,a<0，由二次函数的图象可知：a<0,-b>0，
则，a<0,b<0，符合题意；
C、由一次函数的图象，可知：b<0,-a<0，则：b<0,a>0，由二次函数的图象可知：a<0,-b>0，
则，a<0,b<0，不符合题意；
故选C．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，且点A(2,0)，
C(0,2)，将正方形OABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为
（ ）
A．(2,2) B．(2,-2) C．(-2,-2) D．(-2,2)
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形、图形规律等知识点，发现点B的坐标变化规律成为解题的关键．
先列举前5次点B的坐标，然后归纳规律，最后利用规律求解即可．
【详解】解：如图：由题意可得：将正方形 第1次绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，得到 ；
OABC O 90° B (2,-2)
1
将正方形 第2次绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，得到 ；
OABC O 90° B (-2,-2)
2
将正方形 第3次绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，得到 ；
OABC O 90° B (-2,2)
3
将正方形 第4次绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，得到 ；
OABC O 90° B (2,2)
4
将正方形 第5次绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，得到 ；
OABC O 90° B (2,-2)
5
……
由上可知：点B的坐标随旋转次数，4个一循环，
由2025÷4=506……1，
所以第2025次旋转结束时，点B的坐标和点B 相同，为(2,-2)．
1
故选：B．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是 ．
【答案】(1，-3)
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直
接写出答案．
【详解】解：点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3），
故答案为（1，-3）．
12．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC=130°，则∠BAC的度数为 ．【答案】40°/40度
【分析】本题考查直径所对圆周角是直角，直角三角形两锐角互补及圆内接四边形对角互补，根据圆
内接四边形对角互补求出∠ABC，再结合直径所对圆周角是直角即可得到答案；
【详解】解：∵∠ADC=130°，
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∠BAC=90°-50°=40°．
5
13．某飞机着陆后靠惯性滑行的路程s米与时间t秒满足关系式s=200t- t2，那么该飞机着陆后滑行到停
3
止的时间为 秒．
【答案】60
【分析】直接利用二次函数的性质求出二次函数对称轴，即可得出答案．
5
【详解】由题意知s=200t- t2
3
200
b
当t=- = 5=60（秒）时，s取得最大值，
2a 2×
3
即飞机着陆后滑行到停止的时间为60秒．
故答案为60秒
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数对称轴是解题关键．
14．若点 ， (1 )， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系为
A(-1,y ) B ,y C(2,y ) y=(x-2) 2+k y y y
1 2 2 3 1 2 3
（用“>”连接）
【答案】y >y >y
1 2 3
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查
了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线 的开口向上，对称轴为直线 ，然后根据三个点离对
y=(x-2) 2+k x=2
称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：在 中， ，
y=(x-2) 2+k a=1>0
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∵点 离直线 的距离最远， 在直线 上，
A(-1,y ) x=2 C(2,y ) x=2
1 3
∴y >y >y ．
1 2 3
故答案为：y >y >y ．
1 2 3
15．在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径9cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如
图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 cm．
【答案】6❑√2
120°×π×9
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为9cm的扇形的弧长为 =6π(cm)，
180°
根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半
径为3cm，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半
径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
【详解】解：∵半径9cm，圆心角120°的扇形纸板，
120°×π×9
∴扇形的弧长为 =6π(cm)，
180°
设圆锥的底面圆半径为r，
∴2rπ=6π，
解得r=3(cm)，
故圆锥的高为： ，
❑√92-32=6❑√2(cm)
故答案为：6❑√2．
16．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，点D为EF的中点，若AB=❑√5，连接BF，则BF的长为 ．
【答案】❑√17
【分析】连接AF，把△ADF绕点A顺时针旋转90度，此时AD,AB重合，得到△ABF'，连接
EF'，证明△FAE≌△F' AE，可得点F，E，F'三点共线，根据等腰三角形的性质FF'的长度，
再求得∠BF'F=∠EF' A+∠AF'B=90°，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接AF，把△ADF绕点A顺时针旋转90度，此时AD,AB重合，得到
△ABF'，连接EF'，
∵四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，
∴EF=EA,∠FEA=90°,AD=AB，
由旋转的性质得：△ADF≌△ABF',∠FAF'=90°,∠FAD=∠F' AB，
∴AF=AF',∠AFE=∠FAE=45°，
∴∠EAF'=90°-45°=45°，
∴∠FAE=∠EAF'=45°，
∵AE=AE，
∴△FAE≌△F' AE(SAS)，
∴∠AEF=∠AEF'=90°，
此时点F，E，F'三点共线，
∵∠AEF=90°,AF=AF'，
∴EF=EF'，
∵点D为EF的中点，1 1
∴DE= EF= AE，
2 2
设DE=x，则AE=2x，
在Rt△ADE中，AE2+ED2=AD2，
∴ ，
x2+4x2=(❑√5) 2
解得：x=1，
即EF=AE=2,BF'=DF=1，
∵AE⊥FF',AF=AF'，
∴EF=EF'=2，
∴FF'=4，
∵∠BF'F=∠EF' A+∠AF'B=45°+45°=90°，
∴ ．
BF=❑√FF'2+BF'2=❑√17
故答案为：❑√17
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾
股定理，正确画出辅助线，耐心推理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）按要求解下列一元二次方程：
(1)2x2-4x-2=0（配方法）；
(2) （因式分解法）．
(x-2) 2=5(2-x)
【答案】(1)
x =1+❑√2，x =1-❑√2
1 2
(2)x =-3，x =2
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的
平方进行平方，进而解方程即可；
（2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可．
【详解】（1）解：∵2x2-4x-2=0，
∴x2-2x-1=0，
∴x2-2x=1，∴x2-2x+1=2，
∴ ，
(x-1) 2=2
∴x-1=±❑√2，
解得 ；
x =1+❑√2，x =1-❑√2
1 2
（2）解：∵ ，
(x-2) 2=5(2-x)
∴ ，
(x-2) 2+5(x-2)=0
∴(x-2)(x-2+5)=0，
∴x-2=0或x-2+5=0，
解得x =-3，x =2．
1 2
18．（8分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三
个顶点都在格点上．
(1)在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A B C ；
1 1 1
(2)在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
5
(2) π
2
【分析】本题考查了作图——旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线
段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得
出旋转后的图形，也考查了扇形的面积公式，勾股定理．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A 、B 即可．
1 1
（2）由勾股定理求出AC的长度，然后利用扇形的面积公式，即可求出答案．
【详解】（1）解：如图所示：（2）由勾股定理可得 ，
AC=❑√12+32=❑√10
∴线段AC在旋转过程中扫过的图形面积为：
90π×(❑√10) 2 5 ；
S= = π
360 2
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值．
x x x2+x2=12 m
1 2 1 2
【答案】（1）m≤0；（2）m=-2
【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；
（2）由韦达定理把 和 分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将 变
x +x x x x2+x2=12
1 2 1 2 1 2
形为 ，再代入计算即可解出答案．
(x +x ) 2-2x x =12
1 2 1 2
【详解】（1）由题意可得：
Δ=(2m) 2-4(m2+m)≥0
解得：m≤0
即实数m的取值范围是m≤0．
（2）由 可得：
x2+x2=12 (x +x ) 2-2x x =12
1 2 1 2 1 2
∵ ；
x +x =-2m x x =m2+m
1 2 1 2
∴
(-2m) 2-2(m2+m)=12
解得：m=3或m=-2∵m≤0
∴m=-2
即m的值为-2．
【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当Δ≥0时，方程有实数根；
（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．
5
20．（8分）如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－ ）三点．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；
1 5 3
【答案】（1） y= x2-2x- ．;（2） （2，- ）.
2 2 2
【详解】试题分析：（1）先设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B
5
（5，0），C（0，- ）入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进
2
而可得函数解析式．
（2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PA+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入
即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标．
试题解析：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
5
代入A（-1，0），B（5，0），C（0，- ）三点，得
2
0=a-b+c
0=25a+5b+c
{ ，
5
- =c
21
a=
2
解得{b=-2，
5
c=-
2
1 5
所以这个二次函数的解析式是:y= x2-2x- ．
2 2
1 5
（2）∵y= x2-2x-
2 2
1 9
= (x-2) 2-
2 2
∴抛物线的对称轴为x=2，
设直线BC的解析式为y=kx+m，
0=5k+m
∴{ 5
m=-
2
1
k=
2
解得{ ，
5
m=-
2
1 5
∴直线BC的解析式为y=y= x- ，
2 2
3
当x=2时，y=- ，
2
3
∴P点的坐标为（2，- ）.
2
考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.轴对称-最短路线问题．
21．（8分）某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为7元，当销售单价定为9
元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，现销售单
价不低于原销售单价，且不得超过进价的2倍，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），
日销售利润为w（元）．
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出
最大利润．
【答案】(1)y与x的函数关系式为y=-10x+290(9≤x≤14)(2)当x为14时，日销售利润最大，最大利润1050元
【分析】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用
性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
（1）根据题意得到函数解析式即可；
（2）根据题意得到 ，根据二次函数的性质即可得到结
w=(x-7)(-10x+290)=-10(x-18) 2+1210
论．
【详解】（1）解：根据题意得，y=200-10(x-9)=-10x+290，
故y与x的函数关系式为y=-10x+290(9≤x≤14)；
（2）解：根据题意得， ，
w=(x-7)(-10x+290)=-10(x-18) 2+1210
∵-10<0，
∴当x<18时，w随x的增大而增大，
当x=14时，w最大=1050，
答：当x为14时，日销售利润最大，最大利润1050元．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，且DE平分∠AEC，作
△ABE的外接圆⊙O，点D在⊙O上．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，CE=2，求DE的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)2❑√6
【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这
条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到OD⊥DC，根据切线的判定定理证明结论．
（2）过点O作于F，根据勾股定理求出EF，进而求出EC，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵DE平分∠AEC，
∴∠DEC=∠OED，
∴∠ODE=∠DEC，
∵∠C=90°，
∴∠CDE+∠CED=90°，
∴∠CDE+∠ODE=90°，
∴OD⊥DC，
∵OD是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：过点O作BC的垂线，垂足为于F，如图：
则四边形OFCD为矩形，
∵⊙O的半径为6，CE=2
∴CF=OD=6，
∴EF=FC-EC=6-2=4，
由勾股定理得， ，
OF=❑√OE2-EF2=❑√62-42=2❑√5
∴CD=OF=2❑√5，
∴ ．
DE=❑√CD2+EC2=❑√(2❑√5) 2+22=2❑√6
23．（10分）四边形ABCD中，AB∥CD ，BC⊥AB，AB=12，DC=6，BC=8．动点P从A点出
发，沿A→B方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线A→D→C方向
以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P 、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x
秒，y =AP+DQ ．
1(1)请直接写出y 关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围；
1
(2)在平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y 的一条性质；
1 1
(3)结合函数图象，直接写出当y >8时x的取值范围．
1
【答案】(1)y =¿
1
(2)函数图象见解析；当08时x的取值范围为：0AB-AD，
∵AB不变，
∴AD最小时，BD最大，即有BE最大，
则根据垂线段最短可知：当AD⊥BE时，BE取最大值，过A作AF⊥AE交BE于点F，∵CE⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴点A、B、C、E四点共圆，
∴∠ABE=∠ACE，∠AED=∠ACB=45°，
∴∠AED=∠ACB=∠AFD=45°，
∴AD=DE=DF，
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC-∠CAF=∠EAF-∠CAF，
∴∠BAF=∠CAE，
∵AB=AC，
∴△ABF≌△ACE(ASA)，
∴BF=CE，
设AB=3x，BF=CE= y，则AD=DE=DF=x，EF=2x，BE=2x+ y，
由勾股定理得：AB2+AC2=BC2，CE2+BE2=BC2，
∴ ， ，
(3x) 2+(3x) 2=BC2 y2+(2x+ y) 2=BC2
∴ ，
y2+(2x+ y) 2=(3x) 2+(3x) 2
整理得：y2+2xy-7x2=0，
解得： ， （舍去），
y =(-1+2❑√2)x y =(-1-2❑√2)x
1 1
∴ ，
BE=2x+ y=2x+(-1+2❑√2)x=(2❑√2+1)x
∴DE x 2❑√2-1．
= =
BE (2❑√2+1)x 7
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，解一元二次方程，垂线段最短，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键．
