文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期中模拟卷
全解全析
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答
的关键．
2．一元二次方程x2＝－2x的解是（ ）
A．x＝x＝0 B．x＝x＝2 C．x＝0，x＝2 D．x＝0，x＝－2
1 2 1 2 1 2 1 2【答案】D
【分析】先移项、然后再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解 ：x2＝－2x
x2+2x=0
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x＝0，x＝-2．
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法,把解一元二次方程的问题转化为解一
元一次方程的问题成为解答本题的关键．
3．二次函数y=2(x+3) 2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．(−3,−1) B．(−3,1) C．(3,−1) D．(3,1)
【答案】B
【分析】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式y=a(x−ℎ) 2+k，顶点坐标是
(ℎ,k)，对称轴是直线x= ℎ．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：由y=2(x+3) 2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−3,1)，
故选：B．
4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80° B．76° C．62° D．52°
【答案】B
【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC=38°，
∴∠BOC=2∠BAC=76°．
故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．将抛物线y=(x−1) 2向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物
线为（ ）
A．y=(x+3) 2+3 B．y=(x−3) 2+5
C．y=(x+5) 2+3 D．y=(x−5) 2+3
【答案】D
【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌
握平移的规律：左加右减，上加下减．按照抛物线平移的公式即可求解．
【详解】解：将抛物线y=(x−1) 2向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，
所得到的抛物线为y=(x−5) 2+3．
故选：D．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，
则∠B大小为( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【分析】由旋转性质等到△ABD为等腰三角形,利用内角和180°即可解题.
【详解】解：由旋转可知,∠BAD=110°,AB=AD
∴∠B=∠ADB,
∠B=（180°-110°）÷2=35°,
故选B.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和,属于简单题,熟悉旋转的性质是
解题关键.
7．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则
CD的长是（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可．
【详解】解：连接OA，则OA=10cm，
∵OC⊥ AB，OC过点O，AB=16cm，
∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得
OD=❑√OA2−AD2=❑√102−82=6cm，
∵OC=10cm，
∴CD=OC-OD=4cm，
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键．
8．共享单车计划2021年10、11、12月连续3月对广州投放新型单车，计划10月投放
3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x则可列方程（
）
A．3000(1+x) 2=6000 B．3000(1+x)+3000(1+x) 2=6000
C．3000(1−x) 2=6000 D．
3000+3000(1+x)+3000(1+x) 2=6000【答案】A
【分析】根据10月投放台数，利用增长率表示12月投放3000（1+x）2台，根据题意列
方程即可．
【详解】解：设增长率为x，
∵计划10月投放3000台，
∴12月投放3000（1+x）2，
则可列方程3000(1+x) 2=6000．
故选A．
【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，关键是抓住增长率表示出12月的投放台
数．
9．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
x … 1 3 6 8 …
… 8 1 18 8 …
y
8
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．对称轴是直线x=4
C．当x>4时，y随x的增大而减小
D．当x<4.5时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，根据二次函数的对
称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对
3+6
称轴为直线x= =4.5，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可．
2
【详解】解：由表可知，x=3和x=6时对应的函数值相等，
3+6
∴抛物线的对称轴为直线x= =4.5，此时抛物线有最大值，
2
∴抛物线开口向下，故选项A、B错误，
∴当x<4.5时，y随x的增大而增大；当x>4.5时，y随x的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．1 45
12．如图，抛物线y= x2−7x+ 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分
2 2
1
记作C ，将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，若直线y= x+m与C 、C
1 1 2 2 2 1 2
共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
45 5 29 1 29 5 45 1
A．− 0) AB
形状保持不变，与x轴交于C,D两点(C在D的右侧），下列结论：①c≥−2；②当
1
x>0时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形ABCD为平行四边形时．a= ；④
2若点D横坐标的最小值为−5，则点C横坐标的最大值为3．其中正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)可以判断出c的取值
范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；
令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平
行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，即可判断③正
确；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据
二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，判断出④正确．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(−3,−2)和(1,−2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,−2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)，
∴c≥−2 ( y = )
， 顶点在 轴上时取“ ” ，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x>1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
b 2 c b2−4ac，
CD2=(x +x ) 2−4x x =(− ) −4× =
C D C D a a a2
4ac−b2
根据顶点坐标公式， =−2，
4a
4ac−b2 b2−4ac
∴ =−8，即 =8，
a a
1 8
∴CD2= ×8= ，
a a
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=1−(−3)=4，
8
∴
=42=16，
a1
解得a= ，故③正确；
2
若点D的横坐标最小值为−5，则此时对称轴为直线x=−3，C点的横坐标为−1，则
CD=4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x=1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函
数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在
y轴上的情况．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程：
(1)x2−25=0 (2)2x2−4x+1=0
【答案】(1)x =5,x =−5
1 2
❑√2 ❑√2
(2)x =1+ ,x =1−
1 2 2 2
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）移项后，利用直接开方法求解即可；
（2）利用公式法进行求解即可．
【详解】（1）解：x2−25=0
x2=25，
∴x =5,x =−5；
1 2
（2）2x2−4x+1=0
∴a=2,b=−4,c=1，
∴Δ=16−4×2×1=8>0，
4±❑√8 4±2❑√2 ❑√2
∴x= = =1± ，
2×2 4 2
❑√2 ❑√2
∴x =1+ ,x =1− ．
1 2 2 2
18．（8分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系
中按要求画图．（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△ABC ，画出△ABC ；
1 1 1 1
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△ABC ．
2 2 2
【答案】（1）△AB C 如图所示；见解析；（2）△A B C 如图所示；见解析．
1 1 2 2 2
【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB C ；
1 1
（2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的
△AB C ．
2 2 2
【详解】（1）△ABC 如图所示；
1 1
（2）△ABC 如图所示．
2 2 2
【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特
的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就
不同，但得到的图形全等．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2−5x+6−p2=0．
(1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为x ,x ，且满足x =4x ，试求出p的值．
1 2 1 2
【答案】(1)见解析(2)±❑√2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系；
（1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可．
【详解】（1）证明：方程为：x2−5x+6−p2=0，
∴Δ=b2−4ac=(−5) 2−4(6−p2)=4 p2+1>0,
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得x2−5x+6−p2=0，
b c
∴x +x =− =5, x x = =6−p2,
1 2 a 1 2 a
∵x =4x ,
1 2
∴4x +x =5,4x 2=6−p2,
2 2 2
∴x =1, p2=2,
2
解得：p=±❑√2，
∴实数p的值为±❑√2．
20．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60∘，得到
线段AE，连接CD，BE．
(1)求证：△AEB≌△ADC
(2)连接DE，若∠ADC=98∘，求∠BED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)38°
【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和
性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到AB=AC,∠BAC=60°，由旋转得到AE=AD,∠EAD=60°，则∠BAE=∠CAD=60°−∠BAD，根据SAS证明即可．
（2）证明△AED是等边三角形，得到∠AED=60°，根据全等三角形的性质得到
∠AEB=∠ADC=98°，即可求出∠BED的度数．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=60°，
由旋转得到AE=AD,∠EAD=60°，
故∠BAE=∠CAD=60°−∠BAD，
在△AEB和△ADC中，
{
AB=AC
)
∠BAE=∠CAD ，
AE=AD
∴△AEB≌△ADC(SAS)；
（2）解：∵AE=AD,∠EAD=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∵△AEB≌△ADC(SAS)，
∴△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=98°，
∴∠BED=∠AEB−∠AED=98°−60°=38°．
21．（8分）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直
径．以下是他的测量方案和相关数据：
测量主
测量碗口的直径
题
测量工 一张矩形纸条和刻度尺
具
测量方 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于 ， ， ， 四
案 点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度
实物图
及测量
示意图测量说 CD为纸条上沿与碗口相交的线段， 为纸条下沿与碗口相交的线段，测量
明 时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动
测量数 ， ，纸条宽度 ．
据
请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
【答案】直径为
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．先过O点作 交 于点E，延长 交 于点F．结合垂径定
理得 ， ，再根据勾股定理列式 ，
因为半径相等得 ，解得 ，即可作答．
【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置．
过O点作 交 于点E，延长 交 于点F．连接
由矩形纸条可得 ，
∵
∴ ，即E，O，F三点共线,
∵纸条宽度 ．
∴
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，
则 ，
则∵半径相等，
∴
∴
解得 ，
∴ ,
答：碗口直径为
22．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪
念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y
（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，
销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多
少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定
为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）
该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润
是192元．
【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式．
（2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解．
（3）总利润=单件利润×销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定
义域上求最值．
【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b．
{22k+b=36)
把(22，36)与(24，32)代入，得
24k+b=32.
{k=−2)
解得 ，
b=80
∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）．
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x
元，根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150．
解得x＝25，x＝35(舍去)．
1 2
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200．
∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w ＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)．
最大
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利
润是192元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函
数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长
CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF=FE，连接EF．
(1)求证：EF为⊙O的切线；
(2)若OD=1且BD=BF，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记切线的
判定定理是解题的关键．
（1）连接OE，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论；
（2）设⊙O的半径EO=BO=r，则BD=BF=r−1，FE=2BD=2r−2，在
Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OE，∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∵DF=FE，
∴∠FED=∠FDE，
∵CO⊥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CDO+∠OCD=90°，
∵∠FDE=∠CDO，
∴∠FED+∠OEC=90°，
即∠FEO=90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：由（1）得∠OEF=90°，
设⊙O的半径EO=BO=r，则BD=BF=r−1，
∴FE=DF=2BD=2r−2，OF=DF+OD=2r−2+1=2r−1，
在Rt△FEO中，由勾股定理得，FE2+OE2=OF2，
，
∴(2r−2) 2+r2=(2r−1) 2
解得r=3，或r=1 (舍去)，
∴⊙O的半径为3．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在
B的左侧），与y轴交于点C(0,−3)，其对称轴为直线x=1．(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)已知点D为第二象限抛物线上一点，连接AC，若∠ABD+∠BAC=90°，求点
D的坐标；
(3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线BC平移，得到
新的图象M，图象M与线段AC只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2) ( 4 13)
D − ,
3 9
33
(3)m的范围是1≤m≤3或m=−
16
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明△AOC≌△KOB(ASA)，得到OK=OA=1，进而求解；
（3）当顶点为(−2,1)时，图象M恰好过点A、C，当抛物线与直线AC相切时，联立
抛物线与直线AC解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,−3)，其对称轴为x=1，
{c=−3
)
∴ b ，
− =1
2
{b=−2)
解得 ，
c=−3
∴抛物线的函数解析式为y=x2−2x−3；
（2）解：点D为第二象限抛物线上一点，设BD交y轴于K，如图1：在y=x2−2x−3中，令y=0 得0=x2−2x−3，
解得：x=3或−1，
∴B(3,0)，A(−1,0)，
∴OA=1，OB=3，
∵C(0,−3)，
∴OC=3，
∴OB=OC，
∵∠ACO+∠BAC=90° ，
又∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠ACO=∠ABD，即∠ACO=∠KBO，
∵∠AOC=90°=∠BOK，
∴△KOB≌△AOC(ASA)，
∴OA=OK=1，
∴K(0,1)，
由B(3,0)，K(0,1)设直线BK解析式为：y=kx+b，
{3k+b=0)
则 ，
b=1
{ k=− 1 )
∴ 3 ，
b=1
1
∴直线BK解析式为y=− x+1；
3
联立
{ y=− 1 x+1 )
，
3
y=x2−2x−34
{ x=− )
解得： 3 或{x=3) 舍去 ，
( )
13 y=0
y=
9
( 4 13)；
∴ D − ,
3 9
（3）解：抛物线的函数解析式为： ，顶点为 ，
y=x2−2x−3=(x−1) 2−4 (1,−4)
将图象G沿直线BC平移，由B(3,0)，C(0,−3)同上可得直线BK解析式为y=x−3；
将抛物线沿x轴翻折后顶点为(1,4)，
∴顶点运动的轨迹为y=x+3，
∴图象M的顶点坐标为(m,m+3)，
则图象 对应的函数解析式为： ，
M y=−(x−m) 2+m+3
当图象M过点A(−1,0)时，
，解得 或 ；
−(−1−m) 2+m+3=0 m=−2 1
当图象M过点C(0,−3)时，
，解得 或 ；
−(0−m) 2+m+3=−3 m=−2 3
∴当顶点为(−2,1)时，图象M恰好过点A、C；
当抛物线与线段AC相切时，
联立 和抛物线的表达式得： ，
y=−3x−3 −3x−3=−(x−m) 2+m+3
即 ；
x2−(2m+3)x+m2−m−6=0
33
令Δ=0得：m=− ，此时，
16
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∴m的范围是1≤m≤3或m=− ．
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【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，角度问题，
全等三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合．
