文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期中模拟卷 03
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级数学上册第1~4章。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形的概念．一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原
来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可
得解．
【详解】解：选项B，C，D三个图案都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重
合，所以不是中心对称图形；
只有选项A这个图案能找到这样的一个点，使图形绕某一点180°旋转后与原图重合，所以是中心对称
图形；
故选：A．
2．下列方程中，是一元二次方程的是( )
1
A．x2=x+1 B．y2+x=1 C．2x+1=0 D．x+ =1
x
【答案】A
【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：A：满足一元二次方程的定义，符合题意；
B：含有两个未知数，不符合题意；
C：未知数的最高次数是１，不符合题意；
D：是分式方程，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟记相关结论即可．
3．一元二次方程x2+5x-6=0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，直接根据一元二次方程根的判别式判断即可求解，熟
知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac的关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两
个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程x2+5x-6=0中，a=1，b=5，c=-6，
∴Δ=25-4×1×(-6)=25+24=49>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．关于二次函数y=2(x+2) 2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是(-2,5)
C．该函数的最大值是5
D．当x>-2时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握二
次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：A、∵a=2>0，
∴函数图象的开口向上，该选项说法错误；
B、∵y=2(x+2) 2+5，∴函数图象的顶点坐标是(-2,5)，该选项说法正确；
C、∵函数图象的开口向上，函数图象的顶点坐标是(-2,5)，
∴该函数的最小值是5，该选项说法错误；
D、∵函数图象的对称轴为直线x=-2，开口向上，
∴当x>-2时，y随x的增大而增大，该选项说法错误；
故选：B．
5．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'，点B'恰好落在CA的延长线上，
∠B=30°，∠C=90°，则∠BAC'为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC的度数，由旋转可知∠BAC=∠B' AC'，在根据
平角的定义求出∠BAC'的度数即可．
【详解】∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∵由旋转可知∠BAC=∠B' AC'=60°，
∴∠BAC'=180°-∠BAC-∠B' AC'=180°-60°-60°=60°，
故答案选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关
键．
6．如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D【分析】连接OB，由垂径定理可得BE=AE=8，由勾股定理计算即可获得答案．
【详解】解：如图，连接OB，
∵线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，AB=16，
1 1
∴BE=AE= AB= ×16=8，
2 2
∴在Rt△OBE中，可有OB=❑√OE2+BE2=❑√62+82=10，
∴⊙O半径是10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．
7．已知二次函数y=3(x-1) 2+k的图象上有三点A(1,y )，B(2,y )，C(-2,y )，则y 、y 、y 的大
1 2 3 1 2 3
小关系为（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，对二次函数y=3(x-1) 2+k，对称轴x=1，则A、
B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y 、y 、y 的大小．
1 2 3
【详解】在二次函数y=3(x-1) 2+k，对称轴x=1，
在图象上的三点A(1,y )，B(2,y )，C(-2,y )，
1 2 3
|1-1|<|2-1|<|-2-1|，
则y 、y 、y 的大小关系为y >y >y ．
1 2 3 3 2 1
故选：D．
8．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2-2x+1（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，关键是m的正负
的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．对称轴为直线
b
x=- ，与y轴的交点坐标为(0,c)，据此解答即可．
2a
【详解】解：A．由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=-mx2-2x+1开口方向朝上，与图象
不符，故A选项错误；
B．由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=-mx2-2x+1开口方向朝上，对称轴为
b 1
x=- =- >0，则对称轴应在y轴右侧与图象符合，故B选项正确；
2a m
C．由函数y=mx+m的图象可知m>0，即函数y=-mx2-2x+1开口方向朝下，故C选项错误；
D．由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=-mx2-2x+1开口方向朝上，对称轴为直线
b 1
x=- =- >0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不相符，故D选项错误．
2a m
故选：B．
9．如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接
FG
CF并延长与AB的延长线交于点G．则 的值为（ ）
CE3❑√2 3❑√3
A．❑√2 B．❑√3 C． D．
2 2
【答案】A
【分析】过点F作DC延长线的垂线，垂足为点H，则∠H=90°，证明△ADE≌△EHF，则
AD=EH=1，设DE=HF=x，得到HF=CH=x，则∠HCF=45°，故CF=❑√2x，同理可求
FG ❑√2(1-x)
CG=❑√2BC=❑√2，则FG=CG-CF=❑√2(1-x)，因此 = =❑√2．
CE 1-x
【详解】解：过点F作DC延长线的垂线，垂足为点H，则∠H=90°，
由旋转得EA=EF,∠AEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，DC∥AB，DA=DC=BC，设DA=DC=BC=1，
∴∠D=∠H，
∵∠AEH=∠1+∠AEF=∠2+∠D，
∴∠1=∠2，
∴△ADE≌△EHF，
∴DE=HF，AD=EH=1，设DE=HF=x，
则CE=DC-DE=1-x，
∴CH=EH-EC=1-(1-x)=x，
∴HF=CH=x，而∠H=90°，
∴∠HCF=45°，
HF
∴CF= =❑√2x，
sin45°
∵DC∥AB，∴∠HCF=∠G=45°，
同理可求CG=❑√2BC=❑√2，
∴FG=CG-CF=❑√2-❑√2x=❑√2(1-x)，
FG ❑√2(1-x)
∴ = =❑√2，
CE 1-x
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添
加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键．
10．如图，已知该抛物线的解析式为y=x2-4x，点M(0,n)是y轴上的一点，将点M向右平移5个单位长
度得到点N，若线段MN与L只有一个公共点，那么n的取值范围是（ ）
A．n=-4 B．n=-4或00时和当n≤0时，结合二次函数图形分别求解即可．
【详解】解：∵点M(0,n)是y轴上的一点，将点M向右平移5个单位长度得到点N，
∴点N(5,n)，
当n>0时，线段MN与L只有一个公共点，
点N(5,n)在抛物线上时，n=52-4×5=5，
∴0ax2+k的
解集为 ．
【答案】-3x>-3
【分析】本题考查了图象法求不等式的解集，根据函数图象可知直线在抛物线上方时，x取值范围，
即可求解．【详解】解：根据函数图象可得直线在抛物线上时，-3ax2+k的解集为-35三种情况，结合二次函数的性质解答
即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵y=(x-m) 2-1
∴当x=m时，y的最小值为-1，
当m<2时，在2≤x≤5中，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，函数y的值最小，
即(2-m) 2-1=3，
解得m=0或m=4（不合，舍去）；
当2≤m≤5时，y的最小值为-1，不合，舍去；
当m>5时，在2≤x≤5中，y随x的增大而减小，
∴当x=5时，函数y的值最小，
即(5-m) 2-1=3，
解得m=3（不合，舍去）或m=7；
综上，m的值为0或7，
故答案为：0或7．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解一元二次方程：x2-8x-10=0．
【答案】x =4-❑√26，x =4+❑√26
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，把-10移到右边，再利用配方法解答即可求解，掌握解一元二
次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵x2-8x-10=0，∴x2-8x=10，
∴x2-8x+16=10+16，
即(x-4) 2=26，
∴x-4=±❑√26，
∴x =4-❑√26，x =4+❑√26．
1 2
18．（8分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC
是格点三角形（顶点在网格线的交点上）．
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C ，并写出点A 的坐标 ，点C 的坐标 ；
1 1 1 1 1
(2)把△A B C 向上平移4个单位长度得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 2 2 2 2 2 2
(3)已知△A B C 与△ABC成中心对称，请直接写出对称中心的坐标．
2 2 2
【答案】(1)见解析，(3,0)，(1,-1)
(2)见解析
(3)(0,2)
【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心
的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点A ，B ，C ，然后顺次连接即可；
1 1 1
（2）根据平移特点先作出点A ，B ，C 平移后的对应点A ，B ，C ，然后顺次连接即可；
1 1 1 2 2 2
（3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，△A B C 为所求作的三角形；
1 1 1
根据图可知，A (3,0)，C (1,-1)；
1 1
（2）解：如图，△A B C 为所求作的三角形；
2 2 2（3）解：连接BB 、CC ，则BB 、CC 的交点即为对称中心，
2 2 2 2
∵B(-5,3)，B (5,1)，
2
(
-5+5 3+1)
∴对称中心的坐标为 , ，
2 2
即对称中心的坐标为(0,2)．
19．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，
接EF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）AE的长为❑√29．
【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=90°，可得结论；
（2）由题意可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股
定理可求解．
【详解】（1）∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt ADE中，AE=❑√AD2+DE2=❑√52+22=❑√29．
△
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利
用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
20．（8分）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他
们的研究过程．
①y =x2+1，②y =(x-3) 2-1，③y =2(x+1) 2+3．
1 2 3
【任务一】研究增减性
（1）当x>0时， y随x的增大而增大的是 ；（填序号）
【任务二】研究对称性
（2）函数 y =(x-3) 2-1的对称轴是 ；
2
【任务三】研究最值
（3）当x取何值时，函数 y =2(x+1) 2+3有最小值，并写出最小值；
3
【任务四】研究复杂问题的最值
（4） 若 y= y + y + y ，求y的最小值．
1 2 3
55
【答案】（1）①③；（2）直线x=3；（3）x=-1时，最小值为3；（4）
4
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，（1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可；
（2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可；
（3）将x=-1代入函数的解析式，即可求最小值；
( 1) 2 55
（4）先求出y=4 x- + ，根据二次函数的性质即可求解．
4 4
【详解】解：（1）①y =x2+1的对称轴为直线x=0，开口向上，当x>0时，y值随x的增大而增大；
1
②y =(x-3) 2-1的对称轴为直线x=3，开口向上，当x>3时，y值随x的增大而增大；
2
③y =2(x+1) 2+3的对称轴为直线x=-1，开口向上，当x>-1时，y值随x的增大而增大；
3
故答案为：①③．
（2）函数 y =(x-3) 2-1的对称轴是直线x=3；
2
故答案为：直线x=3．
（3）当x=-1时，函数 y =2(x+1) 2+3有最小值3
3
（4）∵y =x2+1，y =(x-3) 2-1，y =2(x+1) 2+3．
1 2 3
∴y= y + y + y
1 2 3
=x2+1+(x-3) 2-1+2(x+1) 2+3
=x2+1+x2-6x+9-1+2x2+4x+2+3
=4x2-2x+14
( 1) 2 55
=4 x- +
4 4
1 55
∴当x= 时，y的最小值为 ．
4 4
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC
平分∠DAB．(1)求证：直线CD与⊙O相切；
(2)若AC=2❑√3，∠BAC=30°，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理,正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连结OC，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可证明AD∥OC，再根据圆的切线的判定定
理即可证明结论；
1
（2）连结BC，根据直角三角形的性质可得BC= AB，设BC=x，则AB=2x，根据勾股定理列方程，
2
即可求解答案．
【详解】（1）证明：连结OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=180°-∠ADC=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴直线CD与⊙O相切；（2）连结BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
1
∴BC= AB，
2
设BC=x，则AB=2x，
在Rt△ABC中，AC=2❑√3，AB2=BC2+AC2，
∴(2x) 2=x2+(2❑√3) 2 ，
解得x =2，x =-2（舍去）
1 2
∴AB=4，⊙O的半径为2．
22．（10分）一家商店于国庆后购进了一批新款秋装，每件进价为50元，从销售中记录发现，当每件售价
为90元时，每天可售出20件．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加
盈利．市场调研认为，若每件降价1元，则每天就可多售出2件．
(1)若活动期间每件秋装的售价为80元，这款秋装每天销售多少件？
(2)要想每天销售这款秋装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？
(3)每天销售这款秋装盈利的最大值是多少元？
【答案】(1)40件
(2)20元
(3)1250元
【分析】（1）根据题意列出算式计算即可求解；
（2）设每件应降价x元，根据题意列出方程即可求解；
（3）设每天盈利为y元，每件应降价x元，根据题意求出y与x之间的函数关系，再根据函数的性质解
答即可求解；
本题考查了有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确列出方程
和二次函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：20+(90-80)×2=20+20=40，
答：每天销售40件；
（2）解：设每件应降价x元，
由题意得，(90-x-50)×(20+2x)=1200，
整理得，x2-30x+200=0，
解得x =10，x =20，
1 2
∵尽量减少库存，
∴x=20，
答：每件应降价20元；
（3）解：设每天盈利为y元，每件应降价x元，
由题意得，y=(90-x-50)×(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x-15) 2+1250，
∵-2<0，
∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250，
答：每天销售这款秋装盈利的最大值是1250元．
23．（10分）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”盛大开幕，远在北京的小明慕名而来．热情好客的广西
人给他敬了一碗糯米酒．爱思考的他发现：酒碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不
计），点E是抛物线的顶点，碗底高EF=1cm，碗口宽DC与碗底宽AB平行．当碗中装满酒时，酒
面宽DC=8❑√3cm，此时酒的最大深度EG=6cm．以F为原点，水平线AB为x轴，直线EF为y轴，
建立平面直角坐标系如图2所示．请你结合初中所学，解决小明提出的问题：
(1)求出图2中抛物线的解析式；
(2)喝掉部分酒后，其酒面下降了1cm至线段MN处，试求此时酒面MN的宽度；
(3)将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分酒，如图3，当∠ABK=30°时停止，求此时的酒面CH的值．
1
【答案】(1)y= x2+1
8
(2)MN的宽度为4❑√10cm32
(3)
3
【分析】本题考查二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系，
掌握待定系数法求解析式是解题的关键.
（1）由待定系数法即可求解；
（2）液面下降了1cm, 即y=6,即可求解；
（3）以F为原点, 直线AB为x轴, 直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，求出点G(0，3)，得到直
❑√3
线CH的解析式为：y= x+3,进而求解.
3
【详解】（1）由题意知: F(0,0),E(0,1),C(4❑√3,7),D(-4❑√3,7),
∵抛物线的顶点为E(0,1),
∴可设抛物线的解析式为：y=ax²+1,
把点 C(4❑√3,7)代入，得 7=a(4❑√3) 2+1,
1
解得： a= ,
8
1
∴抛物线的解析式为 y= x2+1；
8
（2）∵液面下降了1cm,
∴此时液面距碗底距离为 7-1=6(cm),即 y=6,
1
当 y=6时, x2+1=6，
8
解得x =-2❑√10<0(舍去), x =2❑√10,
1 2
∴液面MN的宽度为4❑√10cm;
（3）以F为原点, 直线AB为x轴, 直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，设CH与y轴交于点G, 如图:
将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分糯米酒，当∠ABK=30°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为30°,即∠DCH=30°,
设直线CH的解析式为y=kx+b,与y轴交于点G,如图:
由题意知：点C(4❑√3,7),
∵∠DCH=30°,CK=4❑√3，
∴KG=4❑√3tan30°=4，
即点G(0,3),由点C、G的坐标得，
¿，解得¿，
❑√3
直线CH的解析式为：y= x+3，
3
1 ❑√3
联立上式和抛物线的表达式得： x2+1= x+3,
8 3
4❑√3
解得：x=- 或 x=4❑√3，
3
( 4 5)
则点H - ❑√3, , C(4❑√3,7)，
3 3
∴CH=❑ √ ( 4❑√3+ 4❑√3) 2 + ( 7- 5) 2 = 32 ．
3 3 3
23．（10分）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂
点．
(1)如图1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分别为D，E．
求证：四边形ADOE是正方形；
(2)如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分别交⊙O于D，C两点，连接CD．分别交
AB、OA与点M、点E．
求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；(3)已知⊙O的直径为10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP=3BP．求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4❑√5或2❑√5
【分析】（1）根据AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，得证四边形ADOE是矩形，结合AB=AC，
1 1
根据垂径定理，得AE= AB= AC=AD证明四边形ADOE是正方形．
2 2
（2）连接AC，根据定义，利用圆周角定理证明．
（3）分P等垂点在圆内和圆外两种情况求解即可．
【详解】（1）证明：根据题意，得AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
1 1
根据垂径定理，得AE= AB= AC=AD
2 2
∴四边形ADOE是正方形．
（2）证明：∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD=∠BOC=90°，
∴∠AOD+∠AOC=∠BOC+∠AOC，
∴∠COD=∠AOB，
∴AB=CD；
连接AC，设AB，CD交点为G，
1 1
∴∠ACD= ∠AOD=45°,∠CAB= ∠BOC=45°，
2 2
∴∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠AGC=180°-(∠ACD+∠CAB)=90°，
∴CD⊥AB．∴AB，CD是⊙O的等垂弦．
（3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示，
过点O作OE⊥AB,OF⊥CD，垂足分别为E，F，
根据题意，得AB⊥CD，
∴四边形OEPF是矩形，
∵AB=CD，
∴OE=OF，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE=OF=PE=PF．
∵AP=3BP，
设BP=x,AP=3x，AB=AP+BP=4x，
∵OE⊥AB，
1
∴AE=BE= AB=2x，
2
∴OE=OF=PE=PF=x，
连接OB，
∵⊙O的直径为10，
∴OB=5，
根据勾股定理，得OB2=OE2+BE2，
∴52=x2+(2x) 2，
解得x=❑√5,x=-❑√5（舍去），
∴AB=4x=4❑√5；
当等垂点P位于圆外时，如答图所示，过点O作OH⊥AB,OG⊥CD，垂足分别为H，G，
根据题意，得AB⊥CD，
∴四边形OHPG是矩形，
∵AB=CD，
∴OH=OG，
∴四边形OHPG是正方形，
∴OH=OG=PH=PG．
∵AP=3BP，
设BP=x,AP=3x，AB=2x，
∵OH⊥AB，
1
∴AH=BH= AB=x，
2
∴OH=OG=PH=PG=2x，
连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
根据勾股定理，得OA2=OH2+AH2，
∴52=(x) 2+(2x) 2，
解得x=❑√5,x=-❑√5（舍去），
∴AB=2x=2❑√5．
综上所述，AB=2❑√5或AB=4❑√5．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，分类思想，正方形的判定和性质，熟练掌握
圆的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
