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2025-2026 学年九年级上学期期中模拟卷 03
数学·参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A B B D D B A D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．(2,-3)
12．(50-2x)(30-x)=800
13．180°/180度
14．8m/8米
15．-3x>-3
16．0或7
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）
【详解】解：∵x2-8x-10=0，
∴x2-8x=10，（2分）
∴x2-8x+16=10+16，（4分）
即 ，
(x-4) 2=26
∴x-4=±❑√26，（6分）
∴ ， ．（8分）
x =4-❑√26 x =4+❑√26
1 2
18．（8分）
【详解】（1）解：如图，△A B C 为所求作的三角形；
1 1 1
根据图可知， ， ；（2分）
A (3,0) C (1,-1)
1 1
（2）解：如图，△A B C 为所求作的三角形；（5分）
2 2 2（3）解：连接BB 、CC ，则BB 、CC 的交点即为对称中心，
2 2 2 2
∵ ， ，
B(-5,3) B (5,1)
2
∴对称中心的坐标为( -5+5 3+1)，
,
2 2
即对称中心的坐标为(0,2)．（8分）
19．（8分）
【详解】（1）∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，（2分）
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；（4分）
（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，（6分）∵DE=2，
∴Rt ADE中，AE= ．（8分）
❑√AD2+DE2=❑√52+22=❑√29
△
20．（8分）
【详解】解：（1）① 的对称轴为直线 ，开口向上，当 时， 值随 的增大而增大；
y =x2+1 x=0 x>0 y x
1
② 的对称轴为直线 ，开口向上，当 时， 值随 的增大而增大；
y =(x-3) 2-1 x=3 x>3 y x
2
③ 的对称轴为直线 ，开口向上，当 时， 值随 的增大而增大；
y =2(x+1) 2+3 x=-1 x>-1 y x
3
故答案为：①③．（1分）
（2）函数 的对称轴是直线 ；
y =(x-3) 2-1 x=3
2
故答案为：直线x=3．（2分）
（3）当 时，函数 有最小值 （3分）
x=-1 y =2(x+1) 2+3 3
3
（4）∵ ， ， ．
y =x2+1 y =(x-3) 2-1 y =2(x+1) 2+3
1 2 3
∴y= y + y + y （4分）
1 2 3
=x2+1+(x-3) 2-1+2(x+1) 2+3
=x2+1+x2-6x+9-1+2x2+4x+2+3
=4x2-2x+14
( 1) 2 55（7分）
=4 x- +
4 4
1 55
∴当x= 时，y的最小值为 ．（8分）
4 4
21．（8分）
【详解】（1）证明：连结OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=180°-∠ADC=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴直线CD与⊙O相切；（4分）
（2）连结BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
1
∴BC= AB，
2
设BC=x，则AB=2x，
在Rt△ABC中，AC=2❑√3，AB2=BC2+AC2，
∴(2x) 2=x2+(2❑√3) 2
，（6分）
解得x =2，x =-2（舍去）
1 2
∴AB=4，⊙O的半径为2．（8分）
22．（10分）
【详解】（1）解：20+(90-80)×2=20+20=40，
答：每天销售40件；（2分）
（2）解：设每件应降价x元，
由题意得，(90-x-50)×(20+2x)=1200，（4分）整理得，x2-30x+200=0，
解得x =10，x =20，
1 2
∵尽量减少库存，
∴x=20，
答：每件应降价20元；（6分）
（3）解：设每天盈利为y元，每件应降价x元，
由题意得， ，（8分）
y=(90-x-50)×(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x-15) 2+1250
∵-2<0，
∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250，
答：每天销售这款秋装盈利的最大值是1250元．（10分）
23．（10分）
【详解】（1）由题意知:
F(0,0),E(0,1),C(4❑√3,7),D(-4❑√3,7),
∵抛物线的顶点为E(0,1),
∴可设抛物线的解析式为：y=ax²+1,
把点 代入，得
C(4❑√3,7) 7=a(4❑√3) 2+1,
1
解得： a= ,
8
1
∴抛物线的解析式为 y= x2+1；（3分）
8
（2）∵液面下降了1cm,
∴此时液面距碗底距离为 7-1=6(cm),即 y=6,
1
当 y=6时, x2+1=6，（5分）
8
解得 (舍去),
x =-2❑√10<0 x =2❑√10,
1 2
∴液面MN的宽度为4❑√10cm;（6分）
（3）以F为原点, 直线AB为x轴, 直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，设CH与y轴交于点G, 如图:将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分糯米酒，当∠ABK=30°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角
为30°,即∠DCH=30°,
设直线CH的解析式为y=kx+b,与y轴交于点G,如图:
由题意知：点
C(4❑√3,7),
∵∠DCH=30°,CK=4❑√3，
∴KG=4❑√3÷=4，
即点G(0,3),由点C、G的坐标得，
¿，解得¿，
❑√3
直线CH的解析式为：y= x+3，（8分）
3
1 ❑√3
联立上式和抛物线的表达式得： x2+1= x+3,
8 3
4❑√3
解得：x=- 或 x=4❑√3，
3
则点 ( 4 5) ，
H - ❑√3, , C(4❑√3,7)
3 3
∴ CH=❑ √ ( 4❑√3+ 4❑√3) 2 + ( 7- 5) 2 = 32．（10分）
3 3 3
24．（12分）
【详解】（1）证明：根据题意，得AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
1 1
根据垂径定理，得AE= AB= AC=AD
2 2∴四边形ADOE是正方形．（2分）
（2）证明：∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD=∠BOC=90°，
∴∠AOD+∠AOC=∠BOC+∠AOC，
∴∠COD=∠AOB，
∴AB=CD；
连接AC，设AB，CD交点为G，
1 1
∴∠ACD= ∠AOD=45°,∠CAB= ∠BOC=45°，
2 2
∴∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠AGC=180°-(∠ACD+∠CAB)=90°，
∴CD⊥AB．
∴AB，CD是⊙O的等垂弦．（6分）
（3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示，
过点O作OE⊥AB,OF⊥CD，垂足分别为E，F，
根据题意，得AB⊥CD，
∴四边形OEPF是矩形，
∵AB=CD，
∴OE=OF，∴四边形OEPF是正方形，
∴OE=OF=PE=PF．
∵AP=3BP，
设BP=x,AP=3x，AB=AP+BP=4x，
∵OE⊥AB，
1
∴AE=BE= AB=2x，
2
∴OE=OF=PE=PF=x，
连接OB，
∵⊙O的直径为10，
∴OB=5，
根据勾股定理，得OB2=OE2+BE2，
∴ ，
52=x2+(2x) 2
解得x=❑√5,x=-❑√5（舍去），
∴AB=4x=4❑√5；（9分）
当等垂点P位于圆外时，如答图所示，
过点O作OH⊥AB,OG⊥CD，垂足分别为H，G，
根据题意，得AB⊥CD，
∴四边形OHPG是矩形，
∵AB=CD，
∴OH=OG，
∴四边形OHPG是正方形，
∴OH=OG=PH=PG．
∵AP=3BP，
设BP=x,AP=3x，AB=2x，∵OH⊥AB，
1
∴AH=BH= AB=x，
2
∴OH=OG=PH=PG=2x，
连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
根据勾股定理，得OA2=OH2+AH2，
∴ ，
52=(x) 2+(2x) 2
解得x=❑√5,x=-❑√5（舍去），
∴AB=2x=2❑√5．
综上所述，AB=2❑√5或AB=4❑√5．（12分）
