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九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷
【人教版】
时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第21章 一元二次方程~第23章 旋转
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则a，c的值
可以是（ ）
A．a=1，c=4 B．a=−1，c=−5
C．a=3，c=1 D．a=2，c=2
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(−2,3)，将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B．若点B的坐标是
(5,−1)，则点C的坐标是（ ）
A．(−0.5,−2.5) B．(−0.25,−2) C．(0,−1.75) D．(0,−2.75)
3．关于x的方程x2−2mx+m2=4的两个根x ，x 满足x =2x +3，且x >x ，则m的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．−3 B．1 C．3 D．9
4．（2025·福建三明·一模）已知方程 的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边
(x−2)(x2−4x+a)=0
边长，则实数a的取值范围是（ ）
A．1 D．− ＜a＜0
11 7 5 5 11
7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴
的垂线，交抛物线另一侧于点B，点C，D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C，D作x轴的垂线交
抛物线于E，F两点，则四边形CDFE周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．2❑√3−2 D．8❑√5−8
8．（2024·贵州遵义·一模）如图，E是正方形ABCD的CD边上的一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺
1
时针旋转90°得到△ABF，连接EF．若△AEF的面积为14 ，AD比DE长3，则正方形ABCD的边长
2
为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2025·浙江杭州·模拟预测）关于x的二次函数 与x轴有两个交点 ，
y=−x2+2x−m(m≠0) (x ,0)
1
，关于x的方程 有两个非零实数根 ， ，则下列关系式不成
(x ,0)(x 1
3 1 2 4 x❑
3C．
0<
x❑
2 <1
D．
x −x =x −x
x❑ 1 3 4 2
4
10．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数y=ax2+bx+c(a>0)可通过配方法转化为顶点式
，且图象与x轴的一个交点的横坐标为 ，则下列说法：① ；②图象与y轴交于
y=a(x−1) 2+k −1 abc>0
；③ ；④若方程 的两个根为 ， ，且 ，则 ， ；⑤若二
(0,k) k=c−a a(x−1) 2=1−k x x x 3
1 2 1 2 1 2
次函数图象上存在一个横坐标为n(n≠0)的点，使得an2+bn=0，则n一定等于2，正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1
11．（2025·江苏苏州·模拟预测）若a是方程x2+x−1=0的根，则代数式2025+a2+
的值是 ．
a2
12．如图，在正方形网格中，线段AB绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到线段A B ，点A与点A 是
1 1 1
对应点，点B与点B 是对应点，则α等于 ．
1
1
13．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线L：y= x2+bx−3（b为常数），当抛物线L经过点
4
M(−4,m)，N(6,m)时．
（1）抛物线L的顶点坐标为 ．1 1
（2）若0≤x≤n时，函数y= x2+bx−3的最大值与最小值的差总为 ，n的取值范围 ．
4 4
14．若关于x的一元二次方程x2−3x+m2+m=0(m>0)，当m=1,2,3,⋯,2022时，相应的一元二次方程
1 1 1 1 1 1
的两根分别记为α ,β ;α ,β ;⋯;α ,β ,则 + + + +⋯ + 的值为 ．
1 1 2 2 2022 2022 α β α β α β
1 1 2 2 2022 2022
15．（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，点A,B在直线y=−2x+6上，点A的横坐标为
❑√5
1,AB= ，若线段AB绕点B旋转90°后，得到点A的对应点C，且点C在第一象限内，则点C的坐标为
2
．
16．（2025·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系 中，将抛物线 （其中 ， ， 是常
xOy l :y=ax2+bx+c a b c
1
数，且a≠0）以原点为中心，旋转180°得到抛物线l ，则称l 是l 的“中心对称抛物线” ．已知抛物线
2 2 1
，将抛物线 向左平移 个单位长度，与 轴的交点从左到右依次为 ， ．将抛物线 的
y =x2−3x−4 y n x A B y
1 1 1
“中心对称抛物线”y 向右平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为C，D．当BC2=AB⋅BD
2
时，n的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数m满足am2+bm+1=0(a≠0)．
(1)求证：b2−4a≥0；
(2)若a，b都是奇数，关于m的方程am2+bm+1=0是否有整数根？并说明理由；
mn+6m+1
(3)若a=7，b=13，n2+13n+7=0，求 的值．
n
18．（6分）（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，ab≠0）的图象经过
(1,0)．
(1)若二次函数图象经过A(−1,4)，B(0,−1)，求该二次函数解析式；
(2)若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：a=c；
c+a
(3)若二次函数图象的对称轴为直线x= ，当b≥c时，求a2+b2+c2的最小值．
2
19．（6分）在等腰三角形ADC和等腰三角形BEC中，∠ADC=∠BEC=90°，BC0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的
增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值．
22．（9分）（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均
−b±❑√b2−4ac
为整数），如果b2−4ac≥0时，这个方程的实数根就可以表示为x= ，其中b2−4ac就叫
2a
做一元二次方程根的判别式，我们用Δ表示，即Δ=b2−4ac，通过观察公式，我们可以发现，如果Δ的值
是一个完全平方数（若n=m2（m为整数），则n是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整
数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
例：方程 ， ， 的值是一个完全平方数，但是该
2x2−x−1=0 Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×2×(−1)=9=32 Δ
1
方程的根为x =1，x =− ，不都为整数；方程x2−6x+8=0的两根x =2，x =4，都为整数，此时
1 2 2 1 2
， 的值是一个完全平方数．
Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×1×8=4=22 Δ
我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方
4ac−b2
程”，两整数根称为“幸运根”，代数式 的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用F(a,b,c)表
4a
4ac−b2
示，即F(a,b,c)= ．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r=0（p≠0，p，q，r均为整数）的
4a“幸运数”为F(p,q,r)，若r⋅F(a,b,c)=c⋅F(p,q,r)，则称F(a,b,c)与F(p,q,r)互为“开心
数”．
(1)关于 的一元二次方程 是一个“幸运方程”．
x x2−(m+1)x+m=0
①当m=2时，该幸运方程的“幸运数”是______；
②若该幸运方程的“幸运数”是−1，则m的值为______．
(2)若关于 的一元二次方程 （ 为整数，且 ）是“幸运方程”，
x x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0 m 40)，在点Q运动的过程中，当正方形QGMN与抛物线y ，y
3 1 2
有三个公共点时，结合函数图象求t的取值范围．
24．（10分）（2025·广东珠海·三模）在△OAB，△OCD中，OA=OB，OC=OD，
∠AOB=∠COD=90°，连接AD、BC，取BC的中点M.(1)【观察猜想】
如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段OM与AD的数量关系是______，位置关系是______．
(2)【探究证明】
若将△COD旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由．
(3)【拓展延伸】
设AD交OM与G，若将△OCD由图1的位置绕O顺时针旋转α(0°<α<360°)，且OA=6，OC=3，是
否存在角度α使得OC⊥BC？若存在，请直接写出此时△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
1
25．（10分）（2025·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线C :y=− (x−2n) 2+n2（b为常数）与x轴有且
1 4
1
只有一个交点．将抛物线C 平移后得到抛物线C :y=− (x−h) 2+1(h>0)．
1 2 4
(1)求物线C 的解析式；
1
(2)若原点O(0,0)在抛物线C 上，点M是第四象限内一点，抛物线C 经过点M，连结OM并延长，交抛物
2 1
线 于点N．规定：点M的坐标为 ，点N的坐标为 ．
C (x ,y ) (x ,y )
2 M M N N
①求x −x 的值；
M N
②设抛物线C 的顶点为E，交x轴于点K，连结EO并延长交抛物线C 于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛
2 1
物线C 于点R，请判断四边形EORK的形状并说明理由；
1
(3)设抛物线C 与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点E是抛物线C 的顶点，点F是抛物线C 对称轴
2 2 2
上一点，FC=FA．设F的坐标为(h,a)(a<0)，求a与h之间的数量关系．
