文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期中模拟卷
强化卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
B不是轴对称图形，但它是中心对称图形，符合题意，
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
D是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
2．一元二次方程﹣5x2+2x﹣3＝0的二次项系数是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5
【答案】A
【解答】解：一元二次方程﹣5x2+2x﹣3＝0的二次项系数是﹣5．
故选：A．
3．已知抛物线y＝﹣x2+2x+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．当x＝1时，y取最大值2D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：将解析式配方成顶点式得y＝﹣（x﹣1）2+2，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，A正确，不符合题意；
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），
∴当x＝1时，y取最大值2，C正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，D错误，符合题意．
故选：D．
4．已知在 O中，半径r＝13，弦AB∥CD，且AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离为（ ）
A．7或⊙17 B．7 C．7或12 D．12
【答案】A
【解答】解：当AB，CD在点O的两侧，作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OA，OC，
AB∥CD，AB＝24，CD＝10，
则ON⊥CD，
1 1 1 1
∴AM= AB= ×24＝12，CN= CD= ×10＝5，
2 2 2 2
∴OM=❑√OA2−AM2=❑√132−122=5，ON=❑√OC2−CN2=❑√132−52=12，
∴MN＝OM+ON＝5+12＝17，
∴此时弦AB与CD的距离为17；
当AB，CD在点O的同侧，作OQ⊥CD于Q，交AB于P，连接OA，OC，1 1 1
同理，AP= AB= ×24＝12，CQ= ×10＝5，
2 2 2
∴OP=❑√OA2−AP2=❑√132−122=5，OQ=❑√OC2−CQ2=❑√132−52=12，
∴PQ＝OQ﹣OP＝12﹣5＝7，
∴此时弦AB与CD的距离为7，
∴弦AB与CD的距离为17或7．
故选：A．
5．如图，圆锥形的烟卤帽的底面圆半径为30cm，母线l长为40cm，制作一个这样的烟帽至少需要铁皮（
）cm2．
A．600 B．800 C．1200 D．2400
【答案】πC π π π
1
【解答】解：扇形侧面展开图扇形的面积为： ×2 ×30×40＝1200 （cm2），
2
π π
则制作一个这样的烟帽需要铁皮1200 cm2，
故选：C． π
6．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，
当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800
元，每台电视应该降价多少元？若设每台电视降价x元，根据题意可列方程（ ）
x
A．(6900−x)(6+2× )=1800
50x
B．(6900−6500−x)(6+2× )=1800
50
x
C．2(6900−x)(6+ )=1800
50
x
D．2(6900−6500−x)(6+ )=1800
50
【答案】B
【解答】解：设每台电视降价x元，
x
∴降价后单台利润是（6900﹣6500﹣x）元，卖出的台数是(6+2× )台，
50
∵商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，
x
∴可列方程为(6900−6500−x)(6+2× )=1800，
50
故选：B．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣6ax+9a+5（a＜0），在m≤x≤6的取值范围内，若0＜m＜3，则（ ）
A．函数有最大值9a+5 B．函数有最大值5
C．函数没有最小值 D．函数没有最大值【答案】B
−6a
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=− =3，
2a
则在m≤x≤6的取值范围内，若0＜m＜3，则x＝m和x＝6在对称轴的两侧，
则抛物线在顶点处取得最大值，
即x＝3时，y＝9a﹣6a×3+9a+5＝5，
故选：B．
9．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，AB是 O的直径，E在 O上，若∠BEC＝25°，则∠ADC
的度数为（ ） ⊙ ⊙ ⊙
A．95° B．105° C．115° D．125°
【答案】C
【解答】解：如图，连接AE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BEC＝25°，
∴∠AEC＝90°﹣25°＝65°，
∵∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠ADC＝115°．
故选：C．
10．在平面直角坐标系xOy中，关于抛物线L：y＝﹣ax（x﹣2）+2与直线l：y＝x+2，下列说法正确的是（ ）
A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是（0，2）
B．无论a取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2
C．若关于x的方程﹣ax（x﹣2）+2＝x+2在﹣2≤x≤2的范围内有两个整数解，则满足条件的a值有3个
1
D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则a＞
2
【答案】C
【解答】解：根据抛物线与一次函数的图象与性质进行判断如下：
A．因为抛物线L：y＝﹣ax（x﹣2）+2的顶点横坐标是1，故A错误；
1
B．方程﹣ax（x﹣2）+2＝x+2的解是x＝0或x=2− ．
a
1
当a＜0时，x=2− ＞2，故B错误；
a
1
C．关于x的方程﹣ax（x﹣2）+2＝x+2在﹣2≤x≤2的范围内有两个整数解，即x=2− 是整数，所以x
a
可以等于﹣2，﹣1，1．所以满足条件的a的值有3个．C正确；
D．a＜0时两个函数图象在第一象限也有公共点，故D错误．
故选：C．
11．如图，在正方形ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针
旋转90°得到△DCF．若CF＝1，则S ＝（ ）
△BDE
❑√2 ❑√2 ❑√2
A．1+2❑√2 B．1+ C．1− D．2+ ．04
2 2 2
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD为正方形ABCD的对角线，
∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCE＝90°，
∵BE平分∠DBC，
1 1
∴∠CBE= ∠CBD= ×45°=22.5°，
2 2
由旋转得CF＝CE＝1，∠CDF＝∠CBE＝22.5°，∠DCF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠BDF＝∠BDC+∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠BDE＝∠F，
∴BD＝BF，
设BC＝CD＝x，
则 ，BF＝BC+CF＝x+1，
BD=❑√BC2+CD2=❑√x2+x2=❑√2x
∴❑√2x=x+1，
解得：x=1+❑√2，
∴BC=CD=1+❑√2，
∵CF＝CE＝1，
∴DE＝CD﹣CE=❑√2，
1 1 ❑√2
∴S = DE⋅BC= ×1×(2+❑√2)=1+ ，
△BDE 2 2 2
故选：B．
12．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（m﹣4，y ），B（m，y ），C（6，y ），记该抛物线的对称轴为x＝
1 1 2
h，若3＜h＜4，则下列推断正确的是（ ）
A．当a＞0时，y ＜y ＜c B．当a＞0时，y ＜c＜y
1 2 2 1
C．当a＜0时，y ＜y ＜c D．当a＜0时，c＜y ＜y
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵点A（m﹣4，y ）和B（m，y ）纵坐标相同，
1 1
(m−4)+m
∴抛物线对称轴为直线h= =m−2，
2
∵3＜h＜4，
∴3＜m﹣2＜4，
解得：5＜m＜6，
当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c即抛物线与y轴交点坐标为D（0，c），
当a＞0时，抛物线开口向上，函数值随距离对称轴的水平距离增大而增大，
∵点A（m﹣4，y ）和B（m，y ）到对称轴的距离相等，均为2，
1 1
点D（0，c）到对称轴的距离为m﹣2﹣0＝m﹣2，
点C（6，y ）到对称轴的距离为6﹣h，
2
∵3＜h＜4，故2＜6﹣h＜3，距离大于2，∴点D（0，c）到对称轴的距离最大，其次是点C（6，y ），B（m，y ），
2 1
∴y ＜y ＜c，
1 2
当a＜0时，抛物线开口向下，函数值随距离对称轴的水平距离增大而减小，
同理可得，y ＞y ＞c，
1 2
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若 ， 是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则 2﹣4 ﹣ 的值为 5 ．
【答α案】β见试题解答内容 α α β
【解答】解：∵ 、 是一元二次方程x2﹣3x﹣8的两个根，
∴ 2﹣3 ﹣8＝0，α β
∴α 2﹣3α＝8，
∵α+ ＝α3，
∴α 2﹣β4 ﹣ ＝ 2﹣3 ﹣ ﹣ ＝ 2﹣3 ﹣（ + ）＝8﹣3＝5．
故α答案为α ：β5．α α α β α α α β
14．如图， O的直径AB平分弦CD，若∠D＝30°，则∠A＝ 30 ° ．
⊙
【答案】30°．
【解答】解：∵∠D＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
故答案为：30°．
15．如图，一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升了2 cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某
一点P旋转了 3 6 度． π
【答案】36．【解答】解：由题知，
令点P旋转的角度为n度，
n⋅π⋅10
则 =2π，
180
解得n＝36，
所以点P旋转了36度．
故答案为：36．
16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：
（1）f（m，n）＝（m，﹣n），如f（2，1）＝（2，﹣1）；
（2）g（m，n）＝（﹣m，﹣n），如g（2，1）＝（﹣2，﹣1）．
按照以上变换，那么g[f（﹣3，2）]＝ （ 3 ， 2 ） ．
【答案】（3，2）．
【解答】解：g[f（﹣3，2）]＝g（﹣3，﹣2）＝（3，2）．
故答案为：（3，2）．
17．随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置
越来越多的下沉式立交桥．下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地
下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥
的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直
角坐标系．已知主路桥面跨径AB＝100m，主路桥面的最低点O到AB的距离为10m．由于下沉式立交
桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积
水跨径为CD，已知普通轿车的安全涉水深度大于30cm，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立
交桥安全通过，则积水跨径CD的长度不能超过 17.3 2 米．
【答案】17.32米．
【解答】解：由题意，∵AB＝100m，主路桥面的最低点到AB的距离为10m，
∴点A的坐标为（﹣50，10）．
从而可设抛物线的表达式为y＝ax2，把点A（﹣50，10）代入，得10＝a•（﹣50）2，1
∴a= ．
250
1
∴抛物线的表达式为y= x2．
250
1
（2）由题意，在y= x2中，令y＝0.3时，
250
1
∴0.3= x2．
250
∴x＝±5❑√3．
又5❑√3−（﹣5❑√3）＝10❑√3≈17.32，
∴积水跨径CD的长度不能超过17.32米．
故答案为：17.32．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交
于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x ，y ），Q（x ，y ），与直线BC交于点N（x ，
1 1 2 2 3
y ），若x ＜x ＜x ，则x +x +x 的取值范围是 7 ＜ x + x + x ＜ 8 ．
3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在y＝x2﹣4x+3中，当x＝0时，y＝3，
即C（0，3），
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x ＝1，x ＝3，
1 2
即A（1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入解析式，
{3k+b=0)
得 ，
b=3
{k=−1)
解得 ，
b=3
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，
∵垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x ，y ），Q（x ，y ），与直线BC交于点N（x ，y ），
1 1 2 2 3 3
∴x +x ＝4，
1 2
在y＝﹣x+3中，令y＝﹣1，则x＝4，
画出图形如图，∵x ＜x ＜x ，
1 2 3
∴3＜x ＜4，
3
∴7＜x +x +x ＜8，
1 2 3
故答案为：7＜x +x +x ＜8．
1 2 3
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）选用恰当的方法解方程：
（1）（x+3）2＝2x+6；
（2）x2+❑√2x−4=0．
【答案】（1）x ＝﹣3，x ＝﹣1；
1 2
（2） ， ．
x =❑√2 x =−2❑√2
1 2
【解答】解：（1）（x+3）2＝2（x+3），
（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
（x+3）（x+3﹣2）＝0，
x+3＝0或x+3﹣2＝0，
∴x ＝﹣3，x ＝﹣1；（3分）
1 2
（2）∵a=1，b=❑√2，c=−4，
∴ 2+16＝18，
Δ=(❑√2) 2 −4×1×(−4)=
−❑√2±❑√18 −❑√2±3❑√2
∴x= − ，
2×1 2
−❑√2+3❑√2 2❑√2
∴x = = =❑√2，
1 2 2
−❑√2−3❑√2 −4❑√2
x = = =−2❑√2 （6分）
2 2 2
20．（6分）如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°的△A B C ．
1 1 1（2）请画出△ABC关于原点O对称的图形△A B C ，并写出点B 的坐标．
2 2 2 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△A B C 即为所求B （﹣4，﹣2）．
2 2 2 2
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接
AE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）E是线段CD的 中点 ，点A与点F关于点 E 成中心对称；
（2）若AB＝AD+BC，求证：△ABF是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
{
∠D=∠ECF
)
DE=CE ，
∠AED=∠FEC
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
故答案为：中点，E；（4分）
（2）证明：∵AB＝AD+BC，
∴AB＝BF，（6分）
∴△ABF是等腰三角形．（8分）
22．（8分）如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐
标为（1，0）．
（1）求点D的坐标；
（2）将抛物线y＝x2沿x轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，
并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？
【答案】（1）D（2，1）；
（2）y＝（x﹣1）2，将抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位得出新抛物线y＝（x﹣1）2，点D（2，
1）在新抛物线上．
【解答】解：（1）∵B（1，0），点A在抛物线y＝x2上，
∴A（1，1），（2分）
又∵正方形ABCD中，AD＝AB＝1，∴D（2，1）；（4分）
（2）设平移后抛物线解析式为：y＝（x﹣h）2，把B（1，0）代入得：h＝1，
∴平移后抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2，（6分）
∴将抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位得出新抛物线y＝（x﹣1）2，（7分）
∵当x＝2时，y＝1，
∴点D（2，1）在新抛物线上．（8分）
23．（10分）某水果批发商场以每千克40元的价格购进一种高档水果，如果按每千克50元销售，每天可
售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少20千
克．
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克的定价应为多少元？
（2）在（1）的条件下，若商场购进该种水果5000千克，为了扩大销售，拿出一部分水果按定价的8
折进行批发销售，商场在这批水果全部售出后，为了确保这批商品总的利润率不低于 21%，则商场用于
批发的水果最多为多少千克？
【答案】（1）每千克的定价应为55元；
（2）商场用于批发的水果最多为3000千克．
【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，则每千克的定价应为（50+x）元，日销售量为（500+20x）千
克，
根据题意得：（50+x﹣40）（500﹣20x）＝6000，（3分）
解得：x ＝5，x ＝10（不符合题意，舍去），
1 2
∴50+x＝55，
答：每千克的定价应为55元；（5分）
（2）设商场用于批发的水果为a千克，
根据题意得：55（5000﹣a）+0.8×55a﹣5000×40≥5000×40×21%，（8分）
解得：a≤3000，
答：商场用于批发的水果最多为3000千克．（10分）
24．（10分）如图，AB为 O的直径，点C为 O上一点，∠ACB的平分线与 O交于点D，与AB交于
点E．点F为DC的延长⊙线上一点，满足∠FB⊙C＝∠BDC． ⊙
（1）求证：BF与 O相切；
（2）若BD＝6，B⊙C＝2❑√2，求△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；
（2）8❑√2．
【解答】（1）证明：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∴∠A+∠ABC＝90°，（1分）
∵∠A＝∠BDC，∠FBC＝∠BDC，
∴∠A＝∠FBC，（2分）
∴∠FBC+∠ABC＝90°，
即∠ABF＝90°，（3分）
∴BF⊥OB，
∵OB是 O的半径，
∴BF与⊙O相切；（5分）
（2）解⊙：连接AD，如图所示：
∵∠ACB的平分线与 O交于点D，
∴∠ACD＝∠BCD，⊙
∴^AD=^BD，
∴AD＝BD，（6分）
又∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝∠⊙ADB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，（7分）∴AB=❑√2BD＝6❑√2，（8分）
∴AC 8，（9分）
=❑√AB2−BC2=❑√(6❑√2) 2−(2❑√2) 2=
1 1
∴△ABC的面积= AC×BC= ×8×2❑√2=8❑√2．（10分）
2 2
25．（12分）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
【模型感知】（1）如图1，求证：BE＝CD；
【模型应用】（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD＝BE；
【类比探究】（3）如图3，当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F．猜想线段AB，BF与BD
之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）答案见解答过程；
（3）AB＝BD+2BF或AB＝BD﹣2BF，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+60°，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，（2分）
在△BAE和△CAD中，
{
AB=AC
)
∠BAE=∠CAD ，
AE=AD
∴△BAE≌△CAD（SAS），（3分）
∴BE＝CD；（4分）
（2）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝60°+∠BAD，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，
{
AB=AC
)
∠BAE=∠CAD ，
AE=AD
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，（6分）
∵CD＝CB+BD＝AB+BD，
∴AB+BD＝BE；（8分）
（3）线段AB，BF与BD之间存在的数量关系是：AB＝BD+2BF或AB＝BD﹣2BF，
①当点D在线段BC上时，AB＝BD+2BF，证明如下：
方法一：设DE与AB交于点K，在AB上截取AT＝BD，如图所示：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠AED＝60°，AE＝DE，
∴∠EAT+∠AKE＝180°﹣∠AED＝120°，∠EDB+∠BKD＝180°﹣∠ABC＝120°，
又∵∠AKE＝∠BKD，
∴∠EAT＝∠EDB，
在△EAT和△EDB中，
{
AT=BD
)
∠EAT=∠EDB ，
AE=DE
∴△EAT≌△EDB（SAS），
∴ET＝EB，
∵EF⊥AB，
∴TF＝BF，
∴BT＝2BF，
∴AB＝AT+BT＝BD+2BF．
（3）方法二：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠CAB＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，
即∠CAD+∠DAB＝∠DAB+∠BAE，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
{
AC=AB
)
∠CAD=∠BAE ，
AD=AE
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD，∠C＝∠ABE＝60°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°﹣∠ABE＝30°，
∴BE＝2BF，
∴CB＝CD+BD＝2BF+BD，
即AB＝2BF+BD．（10分）
②当点D在BC的延长线时，AB＝BD﹣2BF，如图所示：
同①的方法二证明：△CAD≌△BAE（SAS），BE＝2BF，∴CD＝BE，∴AB＝BC＝BD﹣CD＝BD﹣BE
＝BD﹣2BF，即AB＝BD﹣2BF，（12分）
综上所述：线段AB，BF与BD之间存在的数量关系是：AB＝BD+2BF或AB＝BD﹣2BF．
26．（12分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，
水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水
平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：
d（米） 0 1 2 3 4
h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系
的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ 1. 5 ；（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱
下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到
水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将
水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果
保留一位小数）．
【答案】（1）如图所示；
（2）1.5．
（3）2.1米
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图 1
所示：
（4分）
（2）1.5．（7分）
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5，
1
将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a=− ，
4
1
∴抛物线的解析式为：h=− d2+d+0.5，（9分）
41
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h=− d2+d+0.5+m，
4
3 7
由题意可知，当横坐标为2+ = 时，纵坐标的值大于2+0.5＝2.5，
2 2
1 7 7
∴− ×（ ）2+ +0.5+m≥2.5，
4 2 2
解得m≥1.6，
∴水管高度至少向上调节1.6米，（11分）
∴0.5+1.6＝2.1（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求．（12分）
