文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期中模拟卷
提升卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列四个图形中哪些图中的一个矩形是由另一个矩形按顺时针方向旋转90°后所形成的？（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【答案】D
【解答】解：
图①和③不论以哪个点为旋转中心，按顺时针方向旋转90°都不能从一个矩形得到另一个矩形，
而图②和图④以A点为旋转中心，按顺时针方向旋转90°能从一个矩形得到另一个矩形，
故选：D．
2．点P（﹣2，﹣1）关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【答案】D
【解答】解：∵点关于原点对称的性质为x，y坐标都为原坐标点的相反数，
∴点P（﹣2，﹣1）关于原点对称点的坐标是（2，1），故选：D．
3．若x＝1是方程x2+（a+2）x＝﹣（a+1）的解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣2 C．0 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程x+（a+2）x＝﹣（a+1）的解，
∴1+（a+2）×1＝﹣（a+1），
∴a＝﹣2，
故选：B．
4．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的几组对应值如表：
x … ﹣1 0 3 4 5 …
y … 0 ﹣6 0 10 24 …
3
下列结论：①这个函数的图象开口向上；②这个函数图象的对称轴为直线x＝2；③当x＞ 时，函数
2
值y随x的增大而增大；④这个函数的最小值为﹣8．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】B
−1+3
【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线x= =1，
2
b
∴− =1，
2a
∴b＝﹣2a，c＝﹣6，
∵二次函数的图象经过点（4，10），
∴16a+4b﹣6＝10，
∴16a﹣8a﹣6＝10，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣4x﹣6，
∴二次函数的图象开口向上，
故①正确；
∵这个函数图象的对称轴为直线x＝1，
故②错误；
∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；3
∴当x＞ 时，函数值y随x的增大而增大；
2
故③正确；
∵y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，
∴这个函数的最小值为﹣8，
故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：B．
5．如图，现要将左边的阴影四边形正好通过 n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的 A，
B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为 k•90°（k为整数），则下列关于n的选项正确的
是（ ）
A．n可能为1，不可能为2，3
B．n可能为2，不可能为1，3
C．n可能为1，2，不可能为3
D．n可能为1，2，3
【答案】D
【解答】解：将左边的阴影四边形绕点E顺时针旋转90°得到右边的阴影四边形，此时n＝1．
左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四
边形，此时n＝2．
左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形
绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时，n＝3．故选：D．
6．若实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m﹣n的值为（ ）
A．❑√5−1 B．−❑√5+1
1+❑√5 1−❑√5
C．❑√5或−❑√5 D． 或
2 2
【答案】C
【解答】解：∵实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，
∴m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝1+4＝5，
∴m﹣n＝±❑√5，
故选：C．
7．如图，点D，E分别是 O的内接△ABC的AB、AC边上的中点，若DE＝1，∠A＝45°，则劣弧BC的
长等于（ ） ⊙
❑√2
A．❑√3π B．❑√2π C． D． π
2
π
【答案】D
【解答】解：连接OB，OC，如图所示：
∵点D，E分别是AB、AC边上的中点，DE＝1，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝2，
∵∠A＝45°，
∴∠O＝2∠A＝90°，
又∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BC OC，
=❑√OB2+OC2=❑√2
❑√2 ❑√2
∴OB＝OC= BC= ×2=❑√2，
2 2
90π×❑√2 ❑√2
∴劣弧BC的长为： = π．
180 2
故选：D．
8．在同一平面直角坐标系中，画出直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），这个图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、根据一次函数图象，a＞0，b＞0，则抛物线对称轴应该在y轴左侧，选项图象不符合
条件；
B、根据一次函数图象，a＜0，b＞0，则抛物线应该过原点，选项图象不符合条件；
C、根据一次函数图象，a＞0，b＝0，则抛物线顶点过原点，选项图象不符合条件；
D、根据一次函数图象，a＜0，b＜0，则抛物线开口向下，图象过原点，且对称轴在y轴左侧，选项图
象符合条件，满足题意．
故选：D．
9．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．10米 C．12米 D．20米
【答案】B
【解答】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接OA、OD．
则O、D、C三点共线，
∵CD是拱高，
∴OC⊥AB，
1
∴AD= AB＝8（米），
2
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得：r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
即拱桥的半径为10米，
故选：B．
10．如图，点A，B、C是 O与坐标轴三个交点，P是^AB上动点（包括端点A和B），AN⊥PC于点N，
O半径为2，M（4，0⊙），点P从A到B运动中，线段MN扫过面积是（ ）
⊙
1 1
A．4+ π B．5− π C．8+ D．10﹣
2 2
π π
【答案】B
【解答】解：如图，∵AN⊥CP，
∴∠ANC＝90°，
∴N在以AC为直径的圆上运动，
∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，
∴AC=AC=2❑√2，
1 1 1 1 1 π
∴S弓形AON = （S半圆AOC ﹣S
△AOC
）= [ π( ×2❑√2) 2− ×2×2]= −1，
2 2 2 2 2 2
当P在^AB上运动时，点N在^AO上运动，
1 π π
∴MN扫过的面积为：S −S = ×4×2−( −1)=5− ．
△AOM 弓 形AO2N 2 2故选：B．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
【答案】D
【解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
b
∴− =1，
2a
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．12．如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，则△BDC与△ACE通过
下列变换：
①绕点C旋转后重合；
②沿AB的中垂线翻折后重合；
③沿ED方向平移△CEA后与△BDC重合；
④绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合；
⑤先沿ED方向平移△CEA，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则
△BDC与△ACE重合．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠BDC＝∠CEA＝90°，
又∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE（同角的余角相等），
{∠BDC=∠CEA
)
∴在△BDC与△CEA中， ∠BCD=∠CAE ，
BC=CA
∴△BDC≌△CEA（AAS）．
∴BD＝CE，CD＝AE．
①绕点C旋转后，CB与AC不重合，即△BDC与△ACE不重合，故错误；
②△BDC与△ACE不关于AB的中垂线对称，则沿AB的中垂线翻折后不重合，故错误；
③沿ED方向平移△CEA后，CB与AC不重合，即△BDC与△ACE不重合，故错误；
④因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC
重合，故正确；
⑤先沿ED方向平移△CEA，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则
△BDC与△ACE重合，故正确；
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若(a−1)x2+❑√a+1x=2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 a ≥﹣ 1 且 a ≠ 1 ．
【答案】a≥﹣1且a≠1．
【解答】解：∵(a−1)x2+❑√a+1x=2是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，a+1≥0，
解得：a≥﹣1且a≠1．
故答案为：a≥﹣1且a≠1．
14．将二次函数y＝（x﹣1）2+3的图象向上平移2个单位，得到的抛物线的顶点坐标是 （ 1 ， 5 ） ．
【答案】（1，5）．
【解答】解：根据平移法则，平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+3+2＝（x﹣1）2+5，
故得到的抛物线的顶点坐标是（1，5），
故答案为：（1，5）．
15．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 h（m）与是物体运动的时间 t（s）满足关系式 h＝﹣
5t2+v t，v （m/s）是物体被发射时的速度，在第一届青少年科技运动会上，某参赛小组在比赛场地从地
0 0
面竖直向上发射水火箭，水火箭被发射后 3s距离地面的高度最大，则最大的高度是 （﹣ 45+ 3 v ） m
0
（用含v 的式子表示）．
0
【答案】（﹣45+3v ）m．
0
【解答】解：∵水火箭被发射后3s距离地面的高度最大，
在h＝﹣5t2+v t中，当t＝3时，h＝﹣5×32+3v ＝（﹣45+3v ）m，
0 0 0
故答案为：（﹣45+3v ）m．
0
16．如图，要拧开一个边长a＝16mm的六角形螺帽，扳手张开的口b至少要 16❑√3 mm．
【答案】16❑√3．
【解答】解：个边长a＝16mm的六角形螺帽，如图，设正六边形ABCDEF的中心是O，连接OA、
OB、OC、AC，OB交AC于M，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，AM＝CM，
∵AB＝16mm，∠AOB＝60°，
AM AM
∴sin∠AOB= = ，
OA AB
❑√3
∴AM＝16× =8❑√3（mm），
2
∴AC＝2AM＝16❑√3mm，
故答案为：16❑√3．
17．在四边形ABCD中，AD＝4，∠ABC＝135°，∠C＝90°，且BC＝CD，则四边形ABCD面积最大值为
2+2❑√5 ．
【答案】2+2❑√5．
【解答】解：连接BD，如图：
∵BC＝CD，∠C＝90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CBD＝45°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABD＝90°，
设BD＝2x，由勾股定理可得：AB=❑√AD2−BD2=❑√16−4x2，∴S四边形ABCD ＝S
△ABD
+S
△BCD
＝x❑√16−4x2+x2，
令S四边形ABCD ＝t，
∴❑√16x2−4x4=t﹣x2，
两边平方整理得：5x4﹣（2t+16）x2+t2＝0，
∵0＜2x＜4，
∴0＜x2＜4，
令y＝5x4﹣（2t+16）x2+t2，
∵t＞0，
∴2t+16＞0，t2＞0，
∴y关于x2的函数对称轴在y轴右侧，且与y轴交点大于0，
当x2＝4时，y＝80﹣4（2t+16）+t2＝16﹣8t+t2＝（8﹣t）2≥0，
∴要使x2有0到4之间正数解，需要方程Δ≥0，对称轴在x＝4左侧，
2t+16
∴Δ＝（2t+16）2﹣20t2≥0且 ≤4，
10
解得：0＜t≤2+2❑√5，
∴四边形ABCD面积最大值为2+2❑√5．
故答案为：2+2❑√5．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E是对角线AC上的
一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针方向旋转连接OF，则OF的最小值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：连接DF．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴AB＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝4，∠ABD＝60°，
∴BO＝DO＝2，∠BAO＝30°，∵将BE绕点B按逆时针方向旋转60°，得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝60°＝∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBF，
∴△ABE≌△DBF（SAS），
∴∠BAO＝∠BDF＝30°，
∴点F在过点D与BD成30°的射线上移动，
∴当OF⊥DF时，OF有最小值，
1
∴OF的最小值为 OD＝1，
2
故答案为：1．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x+8＝0；
（2）2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0．
【答案】（1）x ＝2，x ＝4；
1 2
1
（2）x ＝3，x = ．
1 2 2
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
x ＝2，x ＝4； （3分）
1 2
（2）2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
1
x ＝3，x = ．（6分）
1 2 2
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣
2），C（3，﹣3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）将△ABC绕着原点O顺时针旋转90°得到△A B C ，请画出△A B C ，并写出点A 的坐标；并求
2 2 2 2 2 2 2
线段AC在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．
π
【答案】（1）图见解答，点A 的坐标（2，1）；
1
13
（2）图见解答，点A 的坐标为（﹣1，﹣2）； π．
2 4
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所作，
1 1 1
（2分）
点A 的坐标（2，1）；（3分）
1
（2）如图，△A B C 即为所作，
2 2 2
（5分）点A 的坐标为（﹣1，﹣2）；（6分）
2
∵OC=❑√32+32=3❑√2，OA=❑√12+22=❑√5，
90π×(3❑√2) 2 90π×(❑√5) 2 13
∴线段AC在旋转过程中扫过的面积= − = π．（8分）
360 360 4
21．（8分）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将 5200多名同
胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，
（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
（1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？
（2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出多少
张电影票．
【答案】（1）10%；
（2）2500000张．
【解答】解：（1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，
根据题意得：10（1+x）2＝12.1，（2分）
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
1 2
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%；（4分）
（2）根据题意得：[1000000000×（1+10%）﹣1000000000]÷40
＝（1100000000﹣1000000000）÷40
＝100000000÷40
＝2500000（张），
答：在（1）的条件下，若票价每张40元，从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出2500000
张电影票．（8分）
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根x ，x 是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
1 2
【答案】4．【解答】（1）证明：在x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0中，
a＝1，b＝﹣（2k+1），c＝k2+k，（2分）
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，（4分）
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得x ＝k，x ＝k+1，（6分）
1 2
∵k+1＞k，
∴x＝k+1为对角线，
根据勾股定理得（k+1）2＝k2+32，
解得k＝4，
即k的值为4．（8分）
4 8
23．（10分）如图，抛物线y=− x2− x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
3 3
点C，连接AC．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段AC所在直线的函数表达式．
（2）P是线段AC上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．当PF＝EF时，求点
P的坐标．
4 16
【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0），C（0，4）； y= x+4；（2）P (−1， )．
3 3
4 8
【解答】解：（1）由题意，把x＝0代入 y=− x2− x+4，得 y＝4．
3 3
∴C（0，4）．（1分）
4 8 4 8
把y＝0 代入 y=− x2− x+4，得 − x2− x+4=0，
3 3 3 3∴x ＝﹣3，x ＝1．
1 2
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．（3分）
∵A（﹣3，0），C（0，4），
4
∴AC所在直线为：y= x+4．（5分）
3
4 8
（2）由题意，∵点P在抛物线 y=− x2− x+4 上，
3 3
4 8
∴设点P的坐标为 (m，− m2− m+4)．
3 3
∵PE⊥x轴于点E，交AC于点F，
4
∴点E的坐标为（m，0），点F的坐标为 (m， m+4)．
3
4 4
∴PF=− m2−4m，EF= m+4．（7分）
3 3
∵PF＝EF，
4 4
∴− m2−4m= m+4．
3 3
∴m＝﹣1 或m＝﹣3．（8分）
∵点P在线段AC上方的抛物线上，
∴﹣3＜m＜0．（9分）
16
∴P (−1， )．（10分）
3
24．（10分）如图，AB是 O的直径，点D是 O上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过
点D的直线交线段AC于⊙点E，且DE＝CE．⊙
（1）求证：直线DE与 O相切；
（2）已知 O的半径是⊙4，∠B＝30°，求阴影部分的面积．
⊙
【答案】（1）证明见解答；16❑√3−8π
（2）阴影部分的面积为 ．
3
【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，（1分）
∵AB是 O的直径，AC与 O相切于点A，
∴∠ADB⊙＝90°，AC⊥AB， ⊙
∴∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠EDA＋∠EDC＝90°，∠EAD+∠C＝90°，（2分）
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠EDA＝∠EAD，（3分）
∵∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODE＝∠ODA+∠EDA＝∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，（4分）
∵OD是 O的半径，且DE⊥OD，
∴直线D⊙E与 O相切．（5分）
（2）解：∵∠⊙EDC＝∠C，∠EDA＝∠EAD，
1
∴CE＝AE＝DE= AC，
2
∵ O的半径是4，∠B＝30°，
⊙ 1
∴OD＝OA＝OB= AB＝4，AB＝8，∠AOD＝2∠B＝60°，
2
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝4，∠BAD＝60°，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√82−42=4❑√3，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴AC＝2CD，
∵AD=❑√AC2−CD2=❑√(2CD) 2−CD2=❑√3CD＝4，
4❑√3
∴CD= ，（7分）
3
1 1 4❑√3 8❑√3
∵S = ×4×4❑√3=8❑√3，S = ×4× = ，
△ABD 2 △ACD 2 3 3
1 1 4❑√3
∴S = S ＝4❑√3，S = S = ，
△AOD 2 △ABD △AED 2 △ACD 360π×42 8π
∵S扇形AOD =
360
=
3
，（9分）
4❑√3 8π 16❑√3−8π
∴S阴影 ＝S
△AOD
+S
△AED
﹣S扇形AOD ＝4❑√3+
3
−
3
=
3
，
16❑√3−8π
∴阴影部分的面积为 ．（10分）
3
25．（10分）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动．
（1）操作判断
如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．在折叠等腰三角
形ABC纸片的过程中，不难发现：DE，DF的数量关系是 相等 ．
（2）迁移探究
如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点D为BC的中点”改为“点
D到顶点B，C的距离相等”，结论仍然成立．请你就图2的情形进行证明．
（3）拓展应用
已知△ABC是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当△DEB，△DFC是等腰直角三角形时，请直接
写出∠BDC的度数．
【答案】（1）相等；
（2）结论仍成立，如解答所示；
（3）∠BDC的度数为150°或30°．
【解答】（1）证明：相等，理由如下：∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
故答案为：相等；（2分）
（2）证明：结论仍成立，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，（3分）
∵点D到顶点B，C的距离相等，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠ACB﹣∠DCB，
即∠EBD＝∠FCD，（4分）
∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS），（5分）
∴DE＝DF；（6分）
（3）解：若点D在△ABC内部，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵△DEB和△DFC是等腰直角三角形，
∴∠EBD＝∠FCD＝45°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠EBD＝15°，∠DCB＝∠ACB﹣∠FCD＝15°，
在△BCD中，
∵∠DBC＝∠DCB＝15°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝150°；（8分）
若点D在△ABC外部，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵△DEB和△DFC是等腰直角三角形，
∴∠EBD＝∠FCD＝45°，
∴∠DBC＝180°﹣∠ABC﹣∠EBD＝75°，∠DCB＝180°﹣∠ACB﹣∠FCD＝75°，
在△BCD中，
∵∠DBC＝∠DCB＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝30°；（10分）
综上所述，∠BDC的度数为150°或30°．
26．（12分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.5米．如图2，可以把灌
溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形
DEFG，其水平宽度DE＝3米，竖直高度EF＝0.5米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，
上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到绿化带的距离OD为d
米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
【答案】（1）6m；
（2）点B的坐标为（2，0）；
（3）d的取值范围是2≤d≤2❑√3−1．
【解答】解：（1）如图2，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
1
∴a=− ，
8
1
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=− （x﹣2）2+2，（2分）
8
1
当y＝0时，0=− （x﹣2）2+2，
8
解得x ＝6，x ＝﹣2（舍去），
1 2
∴喷出水的最大射程OC为6m；（4分）
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），（6分）
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；（8分）
（3）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
1
∴0.5=− （x﹣2）2+2，
8
解得x＝2±2❑√3，
∵x＞0，
∴x＝2+2❑√3，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2❑√3，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2❑√3，∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2❑√3−3＝2❑√3−1，（10分）
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2❑√3−1．（12分）
