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8.1 计数原理及排列组合（精讲）
一.两个计数原理
1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中
有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；
2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方
法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
二.排列、组合
1.定义
并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m
排列的定义 从n个不同元素中取出m
个元素的一个排列
（m≤n）个元素
组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数、组合数的公式、性质
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】排列数 组合数
Am
＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝
公 n Am n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
式
n! C
n
m ＝
A
n
m
＝
m!
(n-m)! m
性
An
＝n！，0！＝1
C0＝1，Cm＝Cn−m，Cm＋Cm−1＝Cm
n n n n n n n+1
质
三．常用方法
1.特殊优先
2.相邻捆绑法
3.不相邻插空法
4.定序倍缩法
5.对于分堆与分配问题应注意三点
①处理分配问题要注意先分堆再分配.
②被分配的元素是不同的.
③分堆时要注意是否均匀.
6.相同元素隔板法
一．计数原理的解题思路
二．涂色问题常用的方法
方法一：按区域的不同，以区域为主的分步计数，用分步乘法计数原理
方法二：按颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析
三．组合问题
1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不
含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
2.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键
词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，
用间接法处理.
四．圆形排列问题
n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中
考法一 排列
【例1】（2023广东湛江）有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，男生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520；(2)1440；(3)3600；(4)3720；(5)840；(6)720；(7)960；(8)240.
【解析】(1)从7人中选5人排列，不同的排法种数为 ．
(2)先排女生，有 种排法，再在女生之间及两端的5个空位中任选3个空位排男生，有 种排法，故不
同的排法种数为 ．
(3)方法一：先排甲，有5种排法，其余6人有 种排法，故不同的排法种数为 ．
方法二：左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有 种排法，其他位置有 种排法，故不同的排
法种数为 ．
(4)方法一：分两类：第一类，甲在最右边，有 种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端的位
置后剩下的5个中任选一个，有 种排法，而乙可排在除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个中任选
一个，有 种排法，其余人全排列，有 种排法，故不同的排法种数为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法二：7名学生全排列，有 种排法，其中甲在最左边时，有 种排法，乙在最右边时，有 种排法，
甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 种排法，故不同的排法种数为
．
(5)7名学生站成一排，有 种排法，其中3名男生的排法有 种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故
不同的排法种数为 ．
(6)首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作剩余6人的全排列，故不同的排法种数为 ．
(7)先排出甲、乙、丙3人外的4人，有 种排法，由于甲、乙相邻故再把甲、乙排好，有 种排法，最
后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有 种排法，故不同
的排法种数为 ．
(8)将甲、乙看作一个整体，相当于6名学生坐圆桌吃饭，有 种排法，甲、乙两人可交换位置，故不同的
排法种数为 ．
【一隅三反】
1．（2023云南）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
【答案】(1)2160；
(2)3720；
(3)720；
(4)144；
(5)1440；
(6)840；
(7)5040；
(8)720.
【解析】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有 种排法，其余6人全
排列，有 种排法，由乘法原理得共有 （种）排法；
（2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有 种排法，余下的6个位置全排有 种排法，但应剔除
乙在最右边的排法 种，则符合条件的排法共有 （种）；
（3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有
（种）排法；
（4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有 （种）排法；
（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有 （种）排法；
（6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为
N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得 ，所以 （种）；
（7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有 （种）排法；
（8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有 种排法，甲、乙互换位置，有 种排法，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有 种排法，所以共有
（种）排法．
2．（2023春·河南郑州）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.
【答案】(1)2520
(2)5040
(3)3600
(4)576
(5)1440
(6)720
(7)2520
(8)3720
【解析】（1）从 人中选 人排列，有
（种）方法.
（2）分两步完成，先选 人站前排，
有 种方法，余下 人站后排，有 种方法，
则共有 （种）方法.
（3）先排甲，有 种方法，其余六人有 种，
则共有 （种）方法.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与 名男生全排列，
有 种方法，再将女生全排列，有 种方法，
则共有 （种）方法.
（5）（插空法）：先排女生，有 种方法，
再在女生之间及首尾 个空位中任选 个空位安排男生，
有 种方法，则共有 （种）方法.
（6）把甲乙及中间三人看作一个整体，
第一步先排甲乙两人有 种方法，
再从剩下的 人中选 人排到中间，有 种方法，
最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列，
有 种，共有 （种）方法.
（7）（消序法）： （种）方法.
（8）（间接法）：无限制排法有 种，
其中甲或乙在最左端或在最右端有 种，
是甲在最左端且乙在最右端的排法，
共有 （种）方法.
3．（2023·广东佛山）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
【答案】(1)2520
(2)2400
(3)3720
(4)288
(5)720
(6)1440
(7)144
(8)960
(9)5040
(10)840
【解析】（1）无条件的排列问题，排法有 种；
（2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有 种；
（3）排法有 种，其中 是甲在左端或乙在右端的排法， 是甲在左端且乙在右端的
排法；
（4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有
种排法；
（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有 种排法；
（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共 种排法，男生在五个空中安插，有 种排法，故共有
种排法；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（7）对比（6），让女生插空，共有 种排法；
（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有 种排法；
（9）分步完成共有 种排法；
（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，
7人的全排列共有 种，甲、乙、丙3人全排列有 种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，
所以共有 种排法.
考法二 组合
【例2】（2023秋·课时练习）高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名
同学参加活动．
(1)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(2)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(3)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
【答案】(1)5984；
(2)2100；
(3)2555；
(4)6090.
【解析】（1）从除指定女生外的34名同学中任取3名同学，有 （种），
所以某一女生不能在内，不同的选法有5984种.
（2）从20名男生中取1名，从15名女生中取2名，有 （种），
所以恰有2名女生在内，不同的选法有2100种.
（3）选取2名女生有 种，选取3名女生有 种，
所以至少有2名女生在内，不同的选法有 （种）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（4）从35名同学中任选3名有 种，选取3名女生有 种，
所以至多有2名女生在内，不同的选法有 （种）.
【一隅三反】
1．（2023春·江苏淮安）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．
(1)这9个点，可确定多少条不同的直线？
(2)以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形？
【答案】(1)31
(2)80
(3)105
【解析】（1）方法一（直接法）共线的4点记为A，B，C，D.
第一类：A，B，C，D确定1条直线
第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定 条直线；
第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定 条直线．
根据分类计数原理，共有不同直线 （条）．
方法二（间接法）9个点取2个点共有 种，
4个共线点取2个共有 种，以上均表示同一条直线，
则可确定多少条不同的直线为 （条）．
（2）方法一（直接法）第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得 个三角形；
第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得 个三角形；
第三类：从其余5个点中任取3点，可得 个三角形．
共有 （个）三角形
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法二（间接法）9个点取3个点共有 种，
其中不能构成三角形的则是在4个共线点取3个共有 种，
可确定三角形 （个）．
（3）方法一（直接法）分三类：从其余不共线的5个点中任取4个，3个，2个点共得
（个）四边形．
方法二（间接法）9个点取4个点共有 种，
其中不构成四边形的分为两类：第一类：4个点共线则有 种，
第二类其中3点来自于共线的4点，第4点来自于其余的5个点，则共有 种，
可确定四边形 （个）．
2．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）某个学习小组有4个男生，6个女生．
(1)从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少的选法有多少种？（用数字作答）
(2)现安排4个男生参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪三项工作可以安排，
（i）若每人都安排一项工作，则不同的选法有多少种？（用数字作答）
（ii）若每项工作至少有1人参加，则不同的选法有多少种？（用数字作答）
【答案】(1)
(2)（i） （ii）
【解析】（1）从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少有三种情况，
①2个男生2个女生，有 种；
②3个男生1个女生，有 种；
③4个男生0个女生，有 种；
故男生的个数不比女生少的选法有 种；
（2）（i）每人从三项工作可以选其中一项，4个男生共有 选法；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ii）若每项工作至少有1人参加，4个男生必须有两个人一组，其余两个人一人一组，
共有 种分法，然后再把这三组分配到翻译､导游､礼仪三项工作，
共有 种选法.
3．（2023春·北京通州）从4名女生3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．
(1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？
(2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？
(3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？
【答案】(1)18
(2)30
(3)25
【解析】（1）从3名男生中选出1名的选法有 种，
从4名女生选出2名的选法有 种，
所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法为 ．
（2）选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有 种，
有2名女生1名男生的选法有 种，
所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法为 种．
（3）选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有 种；
女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有 种；
女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有 种，
所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法为 种．
考法三 排列组合综合运用
【例3-1】（2023·青海西宁）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30
【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选 本有 种选法;再从余下的 本中选 本有 种选法;最后余下的
本全选有 种选法.故共有 (种)选法.
（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在 题的基础上,还应考虑再分配,共有
.
（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 , , , ,
, ,若第一步取了 ,第二步取了 ,第三步取了 ,记该种分法为( , , ),则 种分法中还
有( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),共有 种情况,而这 种情况
仅是 , , 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 .
（4）有序均匀分组问题.在 题的基础上再分配给 个人,共有分配方式 (种).
（5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.
（6）有序部分均匀分组问题.在 题的基础上再分配给 个人,共有分配方式 (种).
（7）直接分配问题.甲选 本有 种选法,乙从余下 本中选 本有 种选法,余下 本留给丙有 种选法,共
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有 (种)选法.
【例3-2】（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱
的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一
个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当一条直线位置于上（或下）底面，另一条不在底面时，共有 对异面直线，
当两条直线都位于上下底面时，有 对异面直线，
当两条直线都不在上下底面时，有 对异面直线，
所以，两条棱所在的直线为异面直线的概率为
故选：B
【例3-3】（2023·山西·校联考模拟预测）将一个四棱锥 的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条
棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则共使用4种颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：
若将四棱锥 的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，有5种颜色可供使用，
则有以下情况：
若5种颜色都使用上，则四棱锥 的五个顶点的颜色都不一样，共有 种不同涂色的方法；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若只使用5种颜色中的4种，则四棱锥 的五个顶点中 与 同色或 与 同色，共有
种不同涂色的方法；
若只使用5种颜色中的3种，则四棱锥 的五个顶点中 与 同色且 与 同色，共有 种
不同涂色的方法，
综上，一共有 种涂色方法，其中共使用4种颜色的涂色方法有240种，则共使用4种颜
色的概率 .
故选：C
【例3-4】（2023春·江苏无锡）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？
(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?
(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?
(4)在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?
【答案】(1)24
(2)36
(3)36
(4)第54个
【解析】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排，则有 个；
（2）在组成的五位数中，先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意
排.
所有奇数的个数有 个；
（3）在组成的五位数中，把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有
3个位置，其余位置任意排，
则有 个；
（4）比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即 ，
若万位为3，比30421小的有5个，30124，30142，30214，30241，30412.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从小到大排列，30421排第54个.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都
大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字
的三位数，则（ ）
A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30
C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
【答案】AD
【解析】依题意，组成的三位数的个数为 ，故A正确；
个位为 ， 或 时，三位数是奇数，则奇数的个数为 ，故B错误；
则偶数有 （个），故C错误；
将这些“凸数”分为三类：
①十位为 ，则有 （种），
②十位为 ，则有 （种），
③十位为 ，则有 （种），
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为 ，故D正确．
故选：AD．
2．（2023浙江）如图，用5种不同的颜色给图中的 、 、 、 、 、 6个不同的点涂色，要求每
个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 种.
【答案】1920
【解析】依题意，完成涂色问题，至少用3种颜色，则计算不同的涂色方法种数可以有3类办法：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】用5种颜色涂，有一组2点同色，在点 中任取1点，与其同色的点有2种情况，不同涂色方法种数
为 ，
用4种颜色涂，有两组2点同色，在点 中任取2点，与其同色的点有3种情况，不同涂色方法种数
为 ，
用3种颜色涂，有三组2点同色，点 全部取出，与其同色的点有2种情况，不同涂色方法种数为
，
由分类加法计数原理得不同的涂色方法种数共有： .
故答案为：1920
3．（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课
中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述：不同的选课方案共有 种.
故答案为：64.
4．（2023春·湖北）（1）将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）将 个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为 、 、 或 、 、 ，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为 种；
（2）每个小球有 种方法，由分步乘法计数原理可知，
将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为 种；
（3）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在 个相同的小球中间所形成的 个空位中插入 块板即可，
所以，不同的放法种数为 种；
（4）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在 个相同的小球中间所形成的 个空位中插入 块板即可，
所以，不同的放法种数为 种.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
