文档内容
8.1 计数原理及排列组合（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 排队
【例1】（2022云南）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定．
【答案】（1）A9（2）A2A7（3）A 10﹣2A9+A8（4）A2A8（5）A4A7（6）A6A4（7） =A 7
9 2 7 10 9 8 2 8 4 7 6 7 10
【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A9种，
9
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A2A7种，
2 7
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A 10﹣2A9+A8种，
10 9 8
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有
A2A8种，
2 8
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A4A7
4 7
种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A6A4种，
6 7（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法， =A 7种
10
【一隅三反】
1．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的
不同排列方式有多少种（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 种排列方
式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人
的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式. 故答案为：
B
2．（2022·河南模拟）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目
之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（ ）．
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】D
【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有 种情况，
第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有 种情况，
第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列，
共有 种情况，所以 。故答案为：D
3.（2022·广东）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
【解析】（1）从7人中选5人排列，排法有 （种）．
（2）先排男生，有 种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有 种排法．故排法共有
（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有 种排法，故排法共有
（种）．方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有 种排法，其他
位置有 种排法，故排法共有 （种）．
（4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有 种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两
端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置
中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有 种排法．故排法共有 （种）．方法
二 7名学生全排列，有 种排法，其中甲在最左边时，有 种排法，乙在最右边时，有 种排法，甲
在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 种排法，故排法共有
（种）．
（5）7名学生站成一排，有 种排法，其中3名男生的排法有 种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，
故排法共有 （种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有 （种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有 种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有 种排法．
故排法共有 （种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有 种排法，甲、乙两人可交换位置，故
排法共有 （种）．
考点二 排数
【例2】（2021江苏）用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
【答案】（1）156 （2）108 （3）284
【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有 个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有 种），十位和百位从余下的数字中选（有
种），于是有 个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有 个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数： 个．
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的四位数有 个；个位数上的数字是5的五位数
有 个．故满足条件的五位数的个数共有 个．
（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共 个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有 个；
第三类：形如124□，125□，共有 个；
第四类：形如123□，共有 个
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有：
个．
【一隅三反】
1．（2022·西安模拟）由 组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是奇数的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 组成没有重复数字的五位数，基本事件总数为： ；
其中是奇数的基本事件个数为： ， 所求概率 。故答案为：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问
（1）能够组成多少个五位奇数？
（2）能够组成多少个正整数？
（3）能够组成多少个大于40000的正整数？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
【解析】（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有 种，其余4个数全排列有
种，按照分步乘法计数原理可得有 个五位奇数；
（2）根据题意，
若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有 种情况，即可以有20个两位数；
若组成三位数，有 种情况，即可以有60个三位数；
若组成四位数，有 种情况，即可以有120个四位数；
若组成五位数，有 种情况，即可以有120个五位数；
则可以有 个正整数；
（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；
在剩下的4个数，安排在后面四位，共有 种情况，
则有 个比40000大的正整数；
3．（2021·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五个数字:
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)
用0、1、2、3、4五个数字组成五位数,相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有 种情况，
从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在千位，有 种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放
在百位，有 种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有 种情况，从0、1、2、3、4
五个数字中抽取一个放在个位，有 种情况，
所以可组成 个五位数.
(2)用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数,相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在
万位，有 种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有 种情况，所以可组成 个无重复数字的五位数.
(3)无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，
所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，
若三个数字是0、1、2，则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有 种情况，再把
剩下的一个数字和0全排列，有 种情况；
若三个数字是0、2、4，则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有 种情况，再把
剩下的一个数字和0全排列，有 种情况；
若三个数字是1、2、3，则相当于对这三个数字全排列，有 种情况;
若三个数字是2、3、4，则相当于对这三个数字全排列，有 种情况.
所以根据分类计数原理，共可组成
个无重复数字的且是3的倍数的三位数.
(4)由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在
个位数字只能是1或3，所以相当于先从1、3两个数字中抽取一个放在个位，有 种情况，再从剩下的四
个数字中除去0抽取一个放在万位，有 种情况，再对剩下的三个数字全排列，有 种情况，
所以可组成 个无重复数字的五位奇数.
考点三 分组分配
【例3】（2022·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30
【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选 本有 种选法;再从余下的 本中选 本有 种选法;最后余下的
本全选有 种选法.故共有 (种)选法.
（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在 题的基础上,还应考虑再分配,共有
.
（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 , , , ,
, ,若第一步取了 ,第二步取了 ,第三步取了 ,记该种分法为( , , ),则 种分法中还
有( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),共有 种情况,而这 种情况
仅是 , , 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 .
（4）有序均匀分组问题.在 题的基础上再分配给 个人,共有分配方式 (种).
（5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.
（6）有序部分均匀分组问题.在 题的基础上再分配给 个人,共有分配方式 (种).
（7）直接分配问题.甲选 本有 种选法,乙从余下 本中选 本有 种选法,余下 本留给丙有 种选法,共
有 (种)选法.
【一隅三反】1．（2022·贵州模拟）为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，
某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接
种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志
愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种
【答案】A
【解析】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，
故不同的安排方法共有 种；故答案为：A.
2．（2022·浙江模拟）为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为
封控区､管控区､防范区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区
至少一人，甲､乙主动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有
（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．30种
【答案】C
【解析】若甲乙和另一人共3人分为一组，则有 种安排方法；若甲乙两人分为一组，另外三人
分为两组，一组1人，一组两人，则有 种安排方法，综上：共有12+12=24种安排方法.
故答案为：C
3．（2021江苏期中）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
【答案】（1）240（2）1560（3）10（4）2160
【解析】（1）解：从5个不同的小球中任取 个小球当成一个元素，连同其余3个元素作全排，
共有 种
（2）解：若四个盒子中小球的个数为： ，则共有 种，若四个盒子中小球的个数为： ，则共有 种，
所以共有 种
（3）解：等价于2个相同的元素填入四个不同的空位，共有 种
（4）解：从4个不同的盒子中选一个盒子空着，有 种，
另外三个盒子中，小球的个数可能为：① ，② ，③ ，
若为①，则共有 种；
若为②，则共有 种；
若为③，则共有 种，
所以一共有 种.
考点四 涂色
【例4】（2022·陈仓二模）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，
规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．72 B．48 C．36 D．24
【答案】A
【解析】由图知： 两组颜色可以相同，
若涂4种颜色： 颜色相同，则4种选一种涂 有 ，余下3种颜色涂3个区域有 ，共种，同理 颜色相同也有24种；
若涂3种颜色，则 、 分别涂相同的颜色，首先4种颜色选3种有 种，再所选3种中选
一种涂5有 种，余下2种颜色涂 、 个区域有 ，共有 种；
综上，共有72种.故答案为：A
【一隅三反】
1．（2022·武汉模拟）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的
黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）
A．288 B．336 C．576 D．1680
【答案】B
【解析】第一步：排红车，第一列选一个位置，则第二列有三个位置可选，由于车是不相同的，故红车的
停法有 种，
第二步，排黑车，若红车选 ，则黑车有 共7种选择，黑车是
不相同的，故黑车的停法有 种，根据分步计数原理，共有 种，故答案为：B
2．（2022·浙江模拟）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的
区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96 B．144 C．240 D．360
【答案】A【解析】要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，染色方法可分两类，
第一类是仅用三种颜色染色，
即 同色， 同色， 同色，则从四种颜色中取三种颜色有 种取法，三种颜色染三个区域有
种染法，共 种染法；
第二类是用四种颜色染色，即 ， ， 中有一组不同色，则有3种方案 不同色或 不同色
或 不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有 种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，
共有 种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为 种．故答案为：A．
3．（2022·红河模拟）有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同
种颜色的花，则不同的种花方式共有（ ）
A．96种 B．72种 C．48种 D．24种
【答案】A
【解析】依题意可知，将区域标号如图，
用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故
有 种。故答案为：A
