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8.1 计数原理及排列组合（精讲）
一.两个计数原理
1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中
有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；
2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方
法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
二.排列、组合
1.定义
并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m
排列的定义 从n个不同元素中取出m
个元素的一个排列
（m≤n）个元素
组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数、组合数的公式、性质排列数 组合数
Am
＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝
公 n Am n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
式
n! C
n
m ＝
A
n
m
＝
m!
(n-m)! m
性
An
＝n！，0！＝1
C0＝1，Cm＝Cn-m，Cm＋Cm-1＝Cm
n n n n n n n+1
质
三．常用方法
1.特殊优先
2.相邻捆绑法
3.不相邻插空法
4.定序倍缩法
5.对于分堆与分配问题应注意三点
①处理分配问题要注意先分堆再分配.
②被分配的元素是不同的.
③分堆时要注意是否均匀.
6.相同元素隔板法
一．计数原理的解题思路
二．涂色问题常用的方法
方法一：按区域的不同，以区域为主的分步计数，用分步乘法计数原理
方法二：按颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析
三．组合问题
1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不
含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
2.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键
词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，
用间接法处理.
四．圆形排列问题
n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中
考法一 排列
【例1】（2023广东湛江）有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，男生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【一隅三反】
1．（2023云南）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
2．（2023春·河南郑州）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.
3．（2023·广东佛山）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
考法二 组合
【例2】（2023秋·课时练习）高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名
同学参加活动．
(1)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(2)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(3)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
【一隅三反】
1．（2023春·江苏淮安）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．
(1)这9个点，可确定多少条不同的直线？
(2)以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形？2．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）某个学习小组有4个男生，6个女生．
(1)从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少的选法有多少种？（用数字作答）
(2)现安排4个男生参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪三项工作可以安排，
（i）若每人都安排一项工作，则不同的选法有多少种？（用数字作答）
（ii）若每项工作至少有1人参加，则不同的选法有多少种？（用数字作答）
3．（2023春·北京通州）从4名女生3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．
(1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？
(2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？
(3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？考法三 排列组合综合运用
【例3-1】（2023·青海西宁）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
【例3-2】（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱
的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一
个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2023·山西·校联考模拟预测）将一个四棱锥 的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条
棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则共使用4种颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．【例3-4】（2023春·江苏无锡）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？
(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?
(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?
(4)在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都
大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字
的三位数，则（ ）
A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30
C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
2．（2023浙江）如图，用5种不同的颜色给图中的 、 、 、 、 、 6个不同的点涂色，要求每个
点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 种.3．（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课
中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
4．（2023春·湖北）（1）将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
