文档内容
8.1 计数原理及排列组合（精练）
1．（2023·云南曲靖）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市
特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每
个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
【答案】D
【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时： 和 相同， 和 相同，共有 种种植方法；
当种植鲜花为三种时： 和 相同或 和 相同，此时共有 种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有 种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为 种，
故选： .
2．（2023秋·江西南昌·）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求
相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【解析】分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树，
第一步种1区域，有5种方法；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
最后一步种5区域，有3种方法，
由分步计数原理共有 种方法；
第二类：2与4种不同果树，
第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有 种方法；
第二步种5号区域，有2种方法，
由分步计数原理共有 种方法.
再由分类计数原理，共有 种不同的方法.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不
能同色，则涂色方法总数是（ ）（用数字填写答案）
A．24 B．48 C．72 D．120
【答案】D
【解析】对图形进行编号如图所示：
第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有 方法，涂区域①有 种方法，
涂区域④有 种方法，涂区域③有 种方法，涂区域②有 种方法，
则不同的涂色方案的种数为： 种；
第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有 方法，
涂区域①有 种方法，涂区域④有 种方法，涂区域⑥有 种方法，
再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有 种方法；
若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有 种方法，
则不同的涂色方案的种数为： 种；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据分类加法计数原理，共有 种；
故选：D.
4．（2023北京）如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方
形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域
不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（ ）种
A．120 B．240 C．300 D．360
【答案】C
【解析】依题意显然不能用少于2种颜色涂色，
若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有 种选法，
先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1种涂
法，
故一共有 种涂法；
若利用4种不同的颜色涂色，首先选出4种颜色有 种选法，根据题意，分2步进行涂色：
当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有 种涂色的方法；
当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、
④有2种涂色方法，
故共有 种涂色的方法；
综上可得一共有 种涂法；
故选：C
5．（2023湖南）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．
现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．540 B．360 C．300 D．420
【答案】D
【解析】分两种情况讨论即可：
(i)②和④涂同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有
5×4×1×3×3＝180种涂法；
(ii)②和④涂不同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有
5×4×3×2×2＝240种涂法；
∴总共有180＋240＝420种涂色方法．
故选：D﹒
6．（2022·全国·高三专题练习）一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被
剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成
数个“L”形骨牌，则（ ）
A．至多能剪成19块“L”形骨牌
B．至多能剪成20块“L”形骨牌
C．最多能剪成21块“L”形骨牌
D．前三个答案都不对
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】考虑2×3的6块方格，如图： ，每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌
一共可以剪成10块这样的骨牌，和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共21块“L”形骨牌.
只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以一定能够剪成21块“L”形骨牌.
如图所示
故选：C
7．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作
（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）
A．120种 B．150种 C．180种 D．210种
【答案】C
【解析】依题意可得，甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，
再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有 种选法，
所以满足条件的不同选法共有 种．
故选：C
8．（2023·全国·模拟预测）从两名医生、两名教师和一名警察中任选两名参加社会服务活动，则两人职业
不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】两人不同职业的对立事件是两个人的职业相同，
职业相同的概率为 ，所以两人职业不同的概率 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D
9．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）从1到10的连续10个整数中随机抽取3个，已知这3个数
之和为奇数，则这3个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知要使这3个数之和为奇数，则这3个数必为3个奇数或2个偶数1个奇数，
所以总的抽取法共有 种，
要使这3个数之积为偶数，则必为2个偶数1个奇数，共有 种，
所以所求概率为： .
故选：B.
10．（2023·福建宁德·校考二模）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了
三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，
每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，分派
方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况, 则有： 种方法；
两位女教师分派到同一个地方根据题意，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有： 种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有： 种方法；
故一共有： 种分派方法,
这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女
教师分派到同一个地方的概率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：
11．（2023·河南·统考三模）某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省
各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种．
A．16 B．20 C．96 D．120
【答案】C
【解析】从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，有 种，
其中没有语文教师入选的有 种，
所以满足条件的不同安排方法有 种.
故选：C
12．（2023·广东深圳·统考二模）现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团
人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中 两个代表团已经入住甲宾馆
且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】A
【解析】甲宾馆不再安排代表团入住，
则乙､丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，
所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团.
共有 种方法，
故选：A
13．（2023·福建宁德·校考模拟预测）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼﹐
金渐层猫3只（猫妈妈和2只小猫嶲）、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同
一个猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有（ ）
A．8种 B．30种 C．360种 D．1440种
【答案】C
【解析】根据题意，将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3只金渐层猫看成是1个整体，
4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，则分组方法有 （种）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一共有4个整体进行排列放在5个不同的猫笼，在5个不同的猫笼中可以放4个整体，
则一共可以安排的方法有： （种）
故选：C.
14．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的
部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”
进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，
祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容
（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有 种不同的安排方
法，
其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有
种，
节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食
俗不安排在同一次讲座中的有 种，
故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有 种，
故所求概率为 .
故选：B
15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）某足球比赛有 ， ， ， ， ， ， ， ， 共
9支球队，其中 ， ， 为第一档球队， ， ， 为第二档球队， ， ， 为第三档球队，现将上
述9支球队分成3个小组，每个小组3支球队，若同一档位的球队不能出现在同一个小组中，则不同的分
组方法有（ ）
A．27种 B．36种 C．72种 D．144种
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】根据题意，先排 ，共有1种排法；
再排 ，共有 种不同的排法；
最后排 ，共有 种不同的排法，
由分步计数原理得，共有 种不同的排法.
故选：B.
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关
掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数
是（ ）
A．324 B．364 C．560 D．680
【答案】B
【解析】将路灯分2盏(为保证关闭路灯之间至少有两盏亮)、15盏、3盏(需关闭的路灯)，
首先15盏亮的路灯先排成一排，把3盏关掉的路灯插空，而头尾两盏路灯不能关闭，
所以是除头尾之外的14个位置上插入三盏关掉的灯，共 种，
在每两盏关掉的路灯之间再各放入一盏路灯且路灯无差异，保证关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的
路灯，只有1种方法.
综上，共有 种方案数.
故选：B
17．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可
以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级，
共 种走法，
若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级，
共 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以第二步走两级台阶的概率为 .
故选：C
18．（2023·西藏日喀则·统考一模）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团
中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，
且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．150 B．90 C．48 D．36
【答案】A
【解析】根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：
选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有 种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体要在中间位置发言，则有 种不同的提问
方式．
综上，共有 种不同的提问方式，
故选：A
19．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼
记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊 名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研
读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则 名同学所有可能的选择有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【解析】因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》、《礼记》、《周易》三
种书中选择一种，
甲可在除《诗经》外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，
由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为 .
故选：D.
20．（2023·福建漳州·统考模拟预测）漳州某校为加强校园安全管理，欲安排12名教师志愿者（含甲、乙、
丙三名教师志愿者）在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排4名，则甲、乙、丙安排
在同一个校门值班的概率为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】将12个人平均分为3组，有 种方法，
将甲乙丙分在同一组有 种方法，
所以甲乙丙在同一校门的概率 ；
故选：D.
21．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值
班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，
丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1200种
【答案】C
【解析】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有 （种），
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有 （种）；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有 (种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有 (种).
因此满足题意的方法共有 (种).
故选：C.
22．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、
厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区
组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少
有一个被选，则不同的参观方案有（ ）
A．22种 B．20种 C．12种 D．10种
【答案】A
【解析】若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个： 种，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选二个： 种，
故若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有 种方案.
故选：A.
23．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随
机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有 件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有 ，
所以这2名学生来自不同年级的概率为 .
故选：D.
24．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，
每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】不妨记五名志愿者为 ，
假设 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有
种方法，
同理： 连续参加了两天公益活动，也各有 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有 种.
故选：B.
25．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物
中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】首先确定相同得读物，共有 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 种，
根据分步乘法公式则共有 种，
故选：C.
26．（2023·全国·高三专题练习）一个 的表格内，放有3辆完全相同的红车和3辆完全相同的黑车，每
辆车占1格，每行每列只有1辆车，放法种数为（ ）
A．720 B．20 C．518400 D．14400
【答案】D
【解析】先假设3辆红车不同，3辆黑车也不相同，
第一辆车显然可占36个方格中任意一个，有36种放法，
第二辆车由于不能与第一辆车同行，也不能与第一辆车同列，有25种放法，
同理，第三、四、五、六辆车分别有16，9，4，1种放法．
再注意到3辆红车相同，3辆黑车也相同，
故不同的放法共有 （种）
故选D
27．（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同
的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种
颜色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】所有的涂色方案分3类：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为 ；
(2)用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，涂色方
法为 ；
(3)用到五种颜色，涂色方法为 ；
因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是 .
故选：B
28．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）某市文明办积极创建全国文明典范城市，号召志愿
者深入开展交通督导､旅游宣传､洁净家园､秩序维护4项志愿服务.现有6组志愿者服务队，若每组参与一
项志愿服务，每项志愿服务至少有1组参与，其中甲组志愿服务队不参与旅游宣传志愿服务，则不同的参
与方式共有 种.
【答案】1170
【解析】甲组志愿服务队是单独一组参加一项志愿服务，则 ，
甲组志愿服务队是二个组一起参加一项志愿服务， ，
甲组志愿服务队是三个组一起参加一项志愿服务， ，
所以 .
故答案为：1170
29．（2023春·湖南长沙·高二统考期末）从A，B，C等8人中选出5人排成一排.
(1)A必须在内，有多少种排法？
(2)A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
(3)A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
(4)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
【答案】(1)4200
(2)5520
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)240
(4)4440
【解析】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有 种不同结果，再将这4人与A进行全排列有 种
不同的排法，
故由乘法原理可知共有 种不同排法；
（2）从8人中任选5人排列共有 种不同排法，A，B，C三人全在内有 种不同排法，
由间接法可得A，B，C三人不全在内共有 种不同排法；
（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有 种不同结果，A，B必须相邻，有 种不同
排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有 种不同排法，再将A、B这个整体与C
插入到选出的2人所产生的3个空位中有 种不同排法，由乘法原理可得共有 种不同排
法；
（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有 种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有 种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有 种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有 种排法，
若A不排中间时，有 种排法，共有 种排法；
综上，共有4440种不同排法.
30．（2023·全国·高三专题练习）父母和四个孩子围圆桌而坐，
(1)有几种不同的坐法？
(2)若父、母要相邻而坐，有几种不同的坐法？
(3)若父、母要相对而坐，有几种不同的坐法？
(4)若最小的孩子坐在父、母之间，又有几种不同的坐法？
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)120
(2)48
(3)24
(4)12
【解析】（1）父、母与四个孩子围圆桌而坐，可看成六个元素的回排列，因此有： 种坐
法．
（2）若父、母是相邻而坐的，可将父母看成一组，与其余四个元素的圆排列，则有 种坐标，
对于上述的每一种坐法，父、母的坐法又有两种，因此共有： 种坐法．
（3）若父，母要相对而坐，那么父、母之中，有一位的位置确定，另一位的位置也随之而确定，其余四
个孩子的排列数共有 种坐法．
（4）若最小的孩子坐在父母之间，则可将这三人看成一组，与其余三人的圆排列，有 种坐
法，对于上述的每一种坐法，父、母的坐法又有两种，因此共有： 种坐法．
31．（2023春·天津河西·高二统考期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加 、 、 三个智力竞赛项目，
每个人都要报名且只能参加一个项目．
(1)共有多少种不同的报名方法？
(2)甲必须报 项目，乙必须报 项目，那么有多少种不同的报名方法？
(3)甲、乙报同一项目，丙不报 项目，那么有多少种不同的报名方法？
(4)每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？
(5)甲不报 项目，且 、 项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(5)
【解析】（1）解：每个同学都有 种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为 .
（2）解：甲必须报 项目，乙必须报 项目，则丙、丁各有 种选择，
所以，不同的报名方法种数为 .
（3）解：甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为 ，
丙不报 项目，则丙有 种选择，所以，丁有 种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为 .
（4）解：将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为 、 、 ，
然后再将这三组同学分配给 、 、 三个智力竞赛项目，
所以，不同的报名方法种数为 .
（5）解：分两种情况讨论：
① 项目没人报，且 、 项目的报名人数均为 ，此时不同的报名方法种数为 种；
② 项目有人报，且甲不报 项目， 、 项目报名的人数相同，
则 、 项目报名的人数均为 ，
则甲报 项目或 项目，则报名 项目的有 人，剩余 个项目只有一人报名，
由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为 .
综上所述，不同的报名方法种数为 .
32．（2023秋·高二课时练习）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
【答案】(1)4096
(2)1560
(3)10
(4)2160
【解析】（1）由题意，6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个小球都有4种可能的放法，
故有 种不同的方法；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
先把6个小球分为4组，每组个数为 或 ，再放入不同的4个盒子中，
共有 种不同的方法.
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，
即将6个相同的小球分为4份即可，可采用隔板法，即将6个小球排成一排，
在中间形成的5个空中选3个插入隔板，即可将6个相同的小球分成4份，
故有 种方法.
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒,
将6个不同的小球分为3组，球的个数为 或 或 ，
然后从4个不同的盒子中选3个放入这3组球，
则有 种不同的方法.
1．（2023·四川）已知一组抛物线 ，其中a为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，
5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 交点处的切线相互平行的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】这组抛物线共 条，任取两条取法有 种.
它们在与直线 交点处的切线斜率 ，
若 ，有 ， 两种情形，从中取出两条，有 种取法；
若 ，有 ， ， 三种情形，从中取出两条，有 种取法；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，有 ， ， ， 四种情形，从中取出两条，有 种取法；
若 ，有 ， ， 三种情形，从中取出两条，有 种取法；
若 ，有 ， 两种情形，从中取出两条，有 种取法；
共有 种，故所求概率为 .
故选：B.
2．（2022秋·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）（多选）连接正方体每个面的中心构成一个正八
面体．甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，
且甲、乙的选择互不影响，则（ ）
A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
【答案】ACD
【解析】甲随机选择的情况有 种，乙随机选择的情况有 种，
对于A：甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有 种，
故甲选择的三个点构成正三角形的概率为 ，故选项A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B：甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：
①上下两点都选，中间四个点中选一个，共有 种；
②上下两点中选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有 种；
③中间四个点中选三个点，共有 种，故共有4+4+4= 12种，
所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为 ，故选项B错误；
对于C：乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的
中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有
种，所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为 ，故选项C正确；
对于D ：选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8+16=24种，概率为 ， 甲乙相似，则
甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三
角形相似的概率为 ，故D选项正确.
故选：ACD.
3．（2023·吉林白山·统考二模）（多选）将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得
一张卡片，则（ ）．
A．甲得到A卡片与乙得到A卡片为对立事件
B．甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件
C．甲得到A卡片的概率为
D．甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为
【答案】BCD
【解析】甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，
所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确．
甲得到A卡片的概率为 ，C正确．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】乙2人中有人得到A卡片的概率为 ，D正确．
故选：BCD
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）（多选）在国家宪法日来临之际，某中学开展“学宪
法、讲宪法”知识竞赛，一共设置了7道题目，其中5道是选择题，2道是简答题。现要求从中不放回地
抽取2道题，则（ ）
A．恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是
B．记抽到选择题的次数为X，则
C．在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到简答题的概率是
D．第二次抽到简答题的概率是
【答案】BD
【解析】从7道题中不放回地抽取2道题共有： 种方法，
对于A，恰好抽到一道选择题、一道简答题有 种方法，
所以恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是 ，故A错误；
对于B，记抽到选择题的次数为 ， ，
所以 ， ，
，所以 ，故B正确；
对于C，第一次抽到选择题为事件 ，第二次抽到简答题为事件 ，
则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，故C错误；
对于D，第一次抽到简答题为事件 ，第二次抽到简答题为事件 ，
所以第二次抽到简答题的概率是 ，故D正确,
故选：BD.
5．（2023·全国·高三专题练习）重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．
(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？
(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？
(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多
少种不同的排法？
(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？
(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？
(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？
(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，
有多少种不同排法？
(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位
置上，有多少种不同排法？
【答案】(1)9；
(2)576；
(3)81；
(4)25487；
(5)630；
(6)771；
(7)36；
(8)225.
【解析】（1）实质上是 的Bernoulli-Euler装错信封问题，不同排法的种数有 （种）．
（2）偶数在奇数位置上的不同排法有 种，奇数在偶数位置上的不同排法有 种．由乘法原理，本题的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不同排法有 （种）．
（3）不同排法有 （种）．
（4）用排除法．对8个数进行全排列，有 种排法，再减去没有数在原来的位置上的排法，应有
（种）．
（5）从1，2，3，4，5，6，7，8中取4个数，且在原来位置上，有 种取法，其余4个数不在原来位置
上，有 种排法，故由乘法原理，不同排法有 （种）．
（6）用排除法．先对8个数进行全排列，有 种排法，再去掉恰有 个数在原来位置上的排法 ，
故不同排法有
（种）．
用分类法．至少有4个数在原来位置上，可分为恰有 个数在原来位置上（ ．注：不可能恰有7
个数在原来位置上），
故不同排法有 （种）．
（7）先排偶数，仿第（5）题，不同排法有 种；再排奇数，不同排法也有 种．由乘法原理，
不同排法共有 （种）．
（8）仍先排偶数，至少有两个数不在原来位置上，包括恰有两个数不在原来位置上和4个数都不在原来位
置上两种情况．前一种情形，有 种排法；后一种情形，有 种排法．于是，偶数符合条件的排法有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】种，再排奇数，符合条件的也有 种．由乘法原理，不同排法共有
（种）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
