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3.4 对数运算及对数函数（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 对数运算
【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简求值
（1） ；
（2） ；.
（3） ；．
（4） .
【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2.
【解析】（1） ；
（2） ；
（3）
；
（4）
【一隅三反】
（2022·全国·高三专题练习）化简求值：（1） ．
（2） ；
（3） .
（4）
（5） ．
【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5） .
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；（4）
；
（5）
．
考点二 对数函数的单调性
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内单调递增，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，函数定义域满足： ，解得 ，
在 上单调递减，
根据复合函数单调性知， 在 单调递减，函数对称轴为 ，
故 ，解得 .故选：C.
【例2-2】（2022·天津·南开中学二模）已知函数 是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当函数 是R上的单调递减函数，所以 ，解得 ，
因为 且 ，所以当 时， 不可能是增函数，所以函数 在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为 ，故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间为____________．
【答案】
【解析】由 得 ，所以函数 的定义域为 .
令 ，则 ， ，开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上递增， 在定义域内单调递增，
所以 )在 上单调递增，所以函数 的单调递增区间是 .
故答案为： .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞，a)单调递减，则a的取值范围是（
）
A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】A
【解析】 是增函数， 在 上递减，在 递增，
因此 在 上递减，则有 ，解得 ．故选：A．
3．（2021·天津市武清区大良中学高三阶段练习）若函数 在R上单调递增，
则实数a的取值范围是_______
【答案】
【解析】由 ，在R上单调递增，
∴ 在 上递增， 在 上也递增，
由增函数图象特征知： 不能在点 上方，综上， ，解得 ，
∴实数a的取值范围是 .故答案为： .
4．（2022·河北）已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围_____．
【答案】
【解析】令 ，因为外层函数 为减函数，则内层函数 在区间 上
是减函数，所以， ，解得 .故答案为： .
考点三 对数函数的值域（最值）
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为（ ）A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】由题意知 的定义域为 .
所以， ，
， 时等号成立．故选：A.
【例3-2】（2022·四川·宜宾市教科所三模）若函数 的值域为 ，则 的取
值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，f(x)= ，
当 时，f(x)= ，
故要使 的值域是 ，则0≤ ≤1，解得 ．故选：C．
【例3-3】（2022·重庆·模拟预测）若函数 有最小值，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】依题意 且 ，所以 ，解得 或 ，综
上可得 ，
令 的根为 、 且 ， ， ，
若 ，则 在定义域上单调递增， 在 上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
函数不存在最小值，故舍去；
若 ，则 在定义域上单调递减， 在 上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在 取得最小值，所以 ；故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ， ，所以 的定义域为 ，
解得 ，所以该函数的定义域为 ；所以 ，
所以
，所以 ，
当 时， ，当 时， ，所以 ；所以函数 的值域是 ．故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 且 的值域为 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ， ，
当 时， ，
∵函数 的值域为 ，∴ ，又 ，
∴ ，即 ，∴ 的取值范围为 .故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，函数 的值域包含 ，当 时，符合题意；当 时，则 ，解得 ；
当 时，显然不符合题意，故实数 的取值范围是 ．
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，又函数 的值域为R，
则 ，解得 ．故选：C．
考点四 对数式比较大小
【例4-1】（2022·江苏常州·模拟预测）已知 ，则正确的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .故选：B.
【例4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，因为函数 在 上递增，所以函数 在 上递增，
所以 ，所以函数 在 上递增，
所以 ，即 ，即 ，
令 ，令 ，令 ，
则 ，所以函数 在 上递增，所以 ，
所以 ，故 ，即 ，所以 ，综上所述，
.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·浙江·模拟预测）己知实数 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ，
因为 在 上单调递增，且 ， ，所以 ，即 ，
其次， ，所以 ，
又因为 且 单调递增，所以由 可知 ，综上，
．
故选：A2．（2022·全国·模拟预测）定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，
设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 知： 关于直线x=1对称.
当 时， ，
由复合函数的单调性知： 在 上单调递增.
又 ，
而 ， ， ，
所以 .故选：D.
3．（2022·浙江金华·三模）若函数 ，设 ， ， ，则下列选项正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可知 ，故 ，∴函数 为偶函数；
易知，当 时， 在 为单调递增函数；又 ，∴ ，
同理， ；又 ，，故 ，故
.
故选：A.
4．（2022·广东佛山·三模）（多选）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】选项A：
由 ，可得 ，
则 ， ，
则 ，则 .判断错误；
选项B：由 ，可得 为 上减函数，
又 ，则 .判断正确；
选项C：由 ，可知 为R上减函数，又 ，则
由 ，可知 为 上增函数，又 ，则 ，则
又 为 上增函数，则 ，则 .判断正确；
选项D：令 ，则 ，
，
则 ，即 .判断错误.故选：BC
考点五 解对数式不等式【例5-1】（2022·河南濮阳）已知函数 是R上的偶函数，且 在 上恒有
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．(1,e2) C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 是R上的偶函数，所以 关于直线 对称，在 上恒有
，当 时， ，所以 在 单调递减， 在 单
调递增，不等式 需满足 ，解得 .故选：C．
【例5-2】（2022·湖北·二模）已知函数 ，则使不等式 成立的x的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 得 定义域为 ，
，故 为偶函数，
而 ， 在 上单调递增，故 在 上单调递增，
则 可化为 ，得 解得 故选：D【一隅三反】
1．（2021·河南·高三阶段练习（理））设函数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，当 时，由 得： ，解得 ，则 ，
当 时，由 得： ，即0
