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第 3 讲 运动图象 追及和相遇问题
——划重点之精细讲义系列
一．x－t、v－t图象
1．对x－t图象的理解
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示速度的大小．
②图线上某点切线的斜率正负表示速度的方向．
2．对v－t图象的理解
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体速度随时间变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的加速度的大小．
②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向．
(3)图线与坐标轴围成的“面积”的意义
①图线与坐标轴围成的“面积”表示位移的大小．
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的
下方，表示这段时间内的位移方向为负．
二．追及、相遇问题
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距
离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇和避免碰
撞等问题．
2．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的
速度．
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近．
【典例1】物体运动的速度—时间图象如图所示，该质点做直线运动时( )
A．在第1秒末速度方向发生了改变
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在第2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
解析：选D.A.在第1秒末质点的加速度方向发生改变，速度方向未改变，A错误．B.
在第2秒末质点的速度方向发生改变，加速度方向未改变，B错误．C.在第2秒内质点一
直沿正方向运动，位移不为零，C错误．D.从第3秒末到第5秒末质点的位移为零，故两
时刻质点的位置相同，D正确．
【典例2】如图所示，为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标 x随时间t变化的
图象，已知甲做匀变速直线运动，乙做匀速直线运动，则 0～t 时间内，下列说法正确的是
2
( )
A．两物体在t 时刻速度大小相等
1
B．t 时刻乙的速度大于甲的速度
1
C．两物体的平均速度大小相等
D．甲的平均速度小于乙的平均速度
解析：选C.根据位移图象的斜率表示速度，则在t 时刻，甲图线的斜率大于乙图线的
1
斜率的绝对值，所以甲的速度大于乙的速度，故A、B错误；坐标的变化量等于位移，根
据图象可知，甲、乙位移大小相等，方向相反，而时间相等，则平均速度的大小相等，故
C正确、D错误.
考点一 两类运动图象的比较
x－t图象和v－t图象的比较
x－t图象 v－t图象
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图象
表示从位置坐标为正处开始一
物 表示先正向做匀减速直线运
① 直做反向匀速直线运动并越过
体 动，再反向做匀加速直线运动
位置坐标为零处
的
② 表示物体静止不动 表示物体做正向匀速直线运动
运
表示物体从位置坐标为零处开 表示物体从静止做正向匀加速
动 ③
始做正向匀速直线运动 直线运动
性
表示物体做正向匀加速直线运 表示物体做加速度增大的正向
质 ④
动 加速运动
【典例1】(多选)一质点做直线运动的v－t图象如图所示，下列选项正确的是 ( )
A．在2～4 s内，质点所受合外力为零
B．质点在0～2 s内的加速度比4～6 s内的加速度大
C．在第4 s末，质点离出发点最远
D．在0～6 s内，质点的平均速度为5 m/s
解析：选AD.由图可知，在2～4 s内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，
A对．由图可知，质点在0～2 s内加速度大小为5 m/s2,4～6 s内加速度大小为10 m/s2，B
错．由图可知，在第5 s末，质点离出发点最远，C错．在0～6 s内，质点的平均速度＝＝
5 m/s，D对．
【典例2】在珠海的航展中，中国展出了国产运－20和歼－31等最先进飞机．假设航
展中有两飞机甲、乙在平直跑道上同向行驶，0～t 时间内的v－t图象如图所示，下列说法
2
正确的是( )
A．飞机乙在0～t 内的平均速度等于
2
B．飞机甲在0～t 内的平均速度比乙的大
2
C．两飞机在t 时刻一定相遇
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．两飞机在0～t 内不可能相遇
2
解析：选B.因为飞机乙做变减速运动，故平均速度不等于，故A错误；由于图线与时
间轴所围成的图形的面积表示位移，在0～t 时间内，飞机甲的位移大于飞机乙，由＝可知，
2
飞机甲的平均速度大于飞机乙的，故B正确；由于不知道甲、乙两飞机初始位置，所以无
法判断两飞机在t 时刻和0～t 时间内能不能相遇，故C、D错误．
1 2
【典例3】甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前 1小时内的位移—时间
图象如图所示．下列表述正确的是( )
A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大
B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大
C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小
D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等
解析：选B.0.2～0.5小时内，甲、乙两人均做匀速直线运动，加速度均为零，选项A
错误；位移—时间图象的斜率表示直线运动的速度，0.2～0.5小时内，v >v ，B正确；
甲 乙
位移—时间图象中，某段时间内的位移等于末位置坐标减初位置坐标，所以 0.6～0.8小时
内，甲的位移比乙的大，C错误；0.8小时内，甲的路程比乙的大，D错误．
图象问题的三个提醒
(1)x－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对
应．
(2)x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
(3)无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．
考点二 运动图象问题的解题思路
用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法．它运用数和形的巧妙
结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律．运用图象解题的能力可归纳为以下两
个方面：
1．读图
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即从图象中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图象所反映的物理过程及规律，
从中获取有效信息，一般需要关注的特征量有三个：
第一：关注横、纵坐标
(1)确认横、纵坐标对应的物理量各是什么．
(2)注意横、纵坐标是否从零刻度开始．
(3)坐标轴物理量的单位也不能忽视．
第二：理解斜率、面积、截距的物理意义
(1)图线的斜率：通常能够体现某个物理量的大小、方向及变化情况．
(2)面积：由图线、横轴，有时还要用到纵轴及图线上的一个点或两个点到横轴的垂线
段，所围图形的面积，一般都能表示某个物理量，如v－t图象中的面积表示位移．
(3)截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距．
第三：分析交点、转折点、渐近线
(1)交点：往往是解决问题的切入点．
(2)转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用．
(3)渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值或确定它的变化趋势．
2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图
象来研究和处理问题．
【典例1】 小明同学利用传感器绘出了一个沿直线运动的物体在不同运动过程中加
速度a、速度v、位移x随时间变化的图象，如图所示．若该物体在t＝0时刻，初速度为零，
则表示该物体沿单一方向运动的图象是( )
解析 选项A所描述的运动在0～2 s内，位移先增大再减小，知运动的方向发生改变，
故A错误；选项B所描述的运动在0～2 s内速度为正值，向正方向运动，在2 s～4 s内速
度为负值，向负方向运动，运动方向发生改变，故 B错误；对于选项C,0～1 s内加速度不
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】变，做匀加速直线运动，1 s～2 s内加速度方向改变，大小不变，向正方向做匀减速直线运
动，2 s末速度为零，在一个周期内速度的方向不变，故C正确；对于选项D，在0～1 s内
向正方向做匀加速直线运动，1 s～2 s内加速度方向改变，大小不变，向正方向做匀减速直
线运动，2 s末速度为零，2 s～3 s内向负方向做匀加速直线运动，运动的方向发生变化，
故D错误．
答案 C
【典例2】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在 t＝0到t＝t 的时间内，它们的
1
v－t图象如图所示．在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
解析：选A.根据匀变速直线运动的规律，＝，由所给v－t图象可知， ＞， ＜，所以
甲 乙
汽车甲的平均速度比乙的大，A正确、B错误．v－t图线与时间轴所围的面积表示位移，
故甲的位移大于乙的位移，C错误．v－t图线的斜率的大小表示加速度大小，由图象知，
甲、乙的加速度均逐渐减小，D错误．
【典例3】A、B两质点在同一直线上运动，t＝0时刻，两质点从同一地点运动的x－t
图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．A质点以20 m/s的速度匀速运动
B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动
C．经过4 s，B质点的位移大于A质点的位移
D．在图示的运动过程中，A、B两质点之间的距离在0～4 s内某一时刻达到最大
解析：选B.x－t图象的斜率大小表示质点运动速度的大小，正负表示速度的方向，由
x－t图象可知，A质点沿正方向做匀速直线运动，其速度v＝＝ m/s＝10 m/s，A错误；B
质点最初4 s沿正方向做减速运动，4～8 s沿负方向做加速运动，B正确；4 s末，A、B两
质点到达同一位置，两质点相遇，C错误；0～4 s内，A、B间的距离先增大后减小，4 s末
A、B相遇，之后B质点反向运动，两质点间的距离继续增大，显然D错误．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点三 追及、相遇问题
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临
界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关
系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x.若v ＝v 时，x ＋x ＜x ，则此时能追
0 A B A 0 B
上；若v ＝v 时，x ＋x＝x ，则此时恰好不相撞；若v ＝v 时，x ＋x＞x ，则此时不能
A B A 0 B A B A 0 B
追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运
动．
4.追及、相遇问题的常见形式
①初速度小者追初速度大者
追及类型 图像描述 相关结论
设 x 为开始时两物体间的距
0
离，t 为速度大小相等的时
匀加速追匀速 0
刻，则应有下面结论∶
a.t=t 以前，后面物体与前面
0
物体间距离增大;
b.t=t 时，两物体相距最远，
0
匀速追匀减速
为x
0
＋△x;
c.t=t 以后，后面物体与前面
0
物体间距离先逐渐减小再逐
渐增大;
d.一定能追上且只能相遇一
匀加速追匀减速 次
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】匀加速追匀速
②初速度大者追初速度小者
追及类型 图像描述 相关结论
匀减速追匀速
设x 为开始时两物体间的距
0
离，开始追赶时，后面物体
与前面物体间距离在减小，
当两物体速度相等时，即
匀速追匀加速
t=t 时刻，则应有下面结论∶
0
a. 若△x=x
0
，则恰能追上，
两物体只能相遇一次，这也
是避免相撞的临界条件;
匀减速追匀加速 b. 若△xx
0
，则相遇两次，设
t 时刻两物体第一次相遇，
1
则t=2t-t 时刻两物体第二次
2 0 1
相遇
匀减速追匀减速
【典例1】(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车
在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
解析 选BD.由题图知，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a ＝10 m/s2.
甲
乙车做初速度v ＝10 m/s、加速度a ＝5 m/s2的匀加速直线运动.3 s内甲、乙车的位移分别
0 乙
为：
x ＝a t＝45 m
甲 甲
x ＝vt＋a t＝52.5 m
乙 03 乙
由于t＝3 s时两车并排行驶，说明t＝0时甲车在乙车前，Δx＝x －x ＝7.5 m，选项
乙 甲
B正确；t＝1 s时，甲车的位移为5 m，乙车的位移为12.5 m，由于甲车的初始位置超前乙
车7.5 m，则t＝1 s时两车并排行驶，选项A、C错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间
沿公路方向的距离为52.5 m－12.5 m＝40 m，选项D正确．
答案 BD
【典例2】春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，
但要求小轿车通过收费站窗口前x ＝9 m区间的速度不超过v ＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车
0 0
在收费站前平直公路上分别以v甲 ＝20 m/s和v乙 ＝34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙
车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a ＝2 m/s2的加速度匀减速刹车．
甲
(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章？
(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现
甲车刹车时经t ＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a ＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避
0 乙
免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两
车至少相距多远？
解析 (1)对甲车速度由20 m/s减速至6 m/s过程中的位移x＝＝91 m
1
x＝x＋x＝100 m
2 0 1
即：甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车
(2)设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：v －a (t－t)＝v
乙 乙 0 甲
－a t，
甲
解得t＝8 s
相同速度v＝v －a t＝4 m/s＜6 m/s，即v＝6 m/s的共同速度为不相撞的临界条件
甲 甲
乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为
x＝v t＋＝157 m
3 乙 0
所以要满足条件甲、乙的距离至少为x＝x－x＝66 m
3 1
答案 (1)100 m (2)66 m
【典例3】两个质点A、B放在同一水平面上，由静止开始从同一位置沿相同方向同时
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】开始做直线运动，其运动的v－t图象如图所示．对A、B运动情况的分析，下列结论正确
的是( )
A．A、B加速时的加速度大小之比为2∶1，A、B减速时的加速度大小之比为1∶1
B．在t＝3 t 时刻，A、B相距最远
0
C．在t＝5t 时刻，A、B相距最远
0
D．在t＝6t 时刻，A、B相遇
0
解析：选D.由v－t图象可知，通过斜率可计算加速度大小，加速时A、B的加速度大
小之比为10∶1，减速时A、B的加速度大小之比为1∶1，选项A错误；由A、B的运动关
系可知，当A、B速度相同时距离最大，故选项B、C错误；由题意可知A、B是从同一位
置同时开始运动的，由速度—时间图象可以算出运动位移，可知 6t 时刻，A、B位移相同，
0
因此在此时刻A、B相遇，选项D正确．
【典例4】因受台风影响，浙江多地暴雨，严重影响了道路交通安全．某高速公路同
一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v ＝40 m/s，v ＝25 m/s，轿
1 2
车在与货车距离s ＝22 m时才发现前方有货车，若此时轿车只是立即刹车，则轿车要经过
0
s＝160 m才停下来．两车可视为质点．
(1)若轿车刹车时货车以v 匀速行驶，通过计算分析两车是否会相撞？
2
(2)若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经 t ＝2 s 收到信号并立即以加速度
0
大小a＝2.5 m/s2加速前进，通过计算分析两车会不会相撞？
2
解析：(1)由v＝2as得轿车刹车加速度大小为
1
a＝5 m/s2.
1
两车恰好不相撞时速度相等，即v－at＝v，
1 11 2
得t＝＝3 s.
1
轿车前进的距离s＝t＝97.5 m，
1 1
货车前进的距离s＝vt＝75 m，
2 21
因为s－s＝22.5 m>s，故两车会相撞．
1 2 0
(2)假设经过时间t后，两车的速度相等，
即v－at＝v＋a(t－t)，
1 1 2 2 0
此时轿车前进的距离s′＝vt－at2，
1 1 1
货车前进的距离s′＝vt＋a(t－t)2，
2 2 2 0
解得s′＝ m，s′＝ m，因为s′－s′＝21.7 m＜s，两车不会相撞．
1 2 1 2 0
答案：见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解追及、相遇类问题的思路和技巧
(1)解题思路和方法
―→―→―→
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰
好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
1．（多选）下列四个图分别为四个质点做直线运动的速度-时间图像，则在前2s内，哪些
质点做匀变速运动（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】AD．速度-时间图像中图线的斜率表示质点运动的加速度，前2s内图线的斜率为
一定值，所以该质点做匀变速运动，故AD正确；
BC．同理，前2s内图线的斜率为不同的值，所以该质点做的不是匀变速运动，故BC错误。
故选AD。
2．（多选）宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车和电梯的设计等多种工作都用到急动度
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】Δa
的概念，急动度j是描述加速度a随时间t变化快慢的物理量，即j= ，它可以用来反映
Δt
乘客乘坐交通工具时的舒适程度，当交通工具的急动度为零时乘客感觉最舒适。如图所示
为某新能源汽车从静止开始启动的一小段时间内的急动度j随时间t变化的规律。下列说法
正确的是（ ）
A．0~5.0s时间内汽车的加速度增加的越来越慢
B．5.0~10.0s时间内汽车的加速度均匀增大
C．12.0s时刻汽车的加速度为零
D．5.0~12.0s时间内汽车加速度的变化量大小为4.8m/s2
【答案】BD
【详解】A．根据题意，由图可知，0~5.0s时间内汽车的急动度增加，则汽车的加速度增
加的越来越快，故A错误；
B．根据题意，由图可知，5.0~10.0s时间内汽车的急动度不变，则汽车的加速度均匀增大，
故B正确；
CD．根据题意可知，j-t图像的面积表示加速度的变化量，汽车从静止开始启动，由图可
知，0∼12s内，图像的面积为正值，则汽车在12.0s时刻的加速度比开始启动时的加速度
增加了，加速度不为0，5.0~12.0s时间内汽车加速度的变化量大小为
1
Δa= ×0.8×[(10.0-5.0)+(12.0-10.0)]m/s2=4.8m/s2
2
故C错误，D正确。
故选BD。
3．一辆摩托车由静止开始做直线运动，它的速度一时间图象如图所示（图中的曲线为拋物
线的一部分），则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．t 时刻摩托车的速度最大，加速度也最大
1
B．0~t 内摩托车做匀加速运动
1
C．摩托车在t~t 内运动的速度与位移同向，速度与加速度反向
1 2
D．摩托车在0~t 内速度、加速度与位移反向
1
【答案】C
【详解】A．t1时刻摩托车的速度最大，斜率为0，则加速度也为0，A错误；
B．0~t1内摩托车做加速度减下的加速度运动，B错误；
C．t1~t2内速度方向不变，与位移同向，由于做减速运动，则速度与加速度反向，C正确；
D．摩托车在0~t1内做加速度运动，速度、加速度与位移同向，D错误。
故选C。
4．如图所示为某质点运动的速度—时间图象，下列有关质点运动情况的判断错误的是（
）
A．0～t 时间内加速度为正，质点做匀加速直线运动
1
B．t～t 时间内加速度为正，质点做匀减速直线运动
1 2
C．t～t 时间内速度为负，质点做匀加速直线运动
2 3
D．t～t 时间内速度为负，质点做匀减速直线运动
3 4
【答案】B
【详解】AB．速度—时间图象的斜率等于加速度，则 0～t1时间内加速度为正，质点做匀
加速直线运动；t1～t2时间内加速度为负，质点做匀减速直线运动，A正确，B错误；
CD． t2～t3时间内速度为负，质点做反向匀加速直线运动；t3～t4时间内速度为负，质点
做反向匀减速直线运动，CD正确。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】本题选择错误的，故选B。
5．如图所示，水平传送带以恒定速率v 向右运转，一工件从传送带左端M处以水平速度
0
v 冲上传送带，最后从右端N处离开传送带。传送带各处粗糙程度相同，则该工件从M运
1
动到N过程中的v-t图像，一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若v0>v1，工件冲上传送带后作加速运动，最后共速；若 v010s（舍去）
2 3
甲车从第一次相遇到停止时所用
Δt=10s-2s=8s
甲车从运动到停止所经过的位移为
v2
400
x' = 1 = m=100m
1 2a 2×2
1
乙车在10s内运动的位移为
1 1
x' = a t2= ×1×102m=50m
2 2 2 0 2
此时甲乙两车相距
Δx″=100m-34m-50m=16m
此时乙车的速度为
v' =a t =1×10m/s=10m/s
2 2 0
乙车运动16m所用的时间为
1
Δx″=v' t + at2
2 3 2 3
解得
t =(2√33-10)s
3
第二次相遇的时间
t =t +t =2√33s
4 3 0
由上分析可知第二次相遇的甲车位移为100m，故选BCD。
7．（多选）甲、乙两车在同一车道上同向匀速行驶，t=0时刻，在前面以速度为10m/s行
驶的甲车突然做加速度大小为a=2m/s2的匀减速直线运动，在后面以20m/s速度行驶的乙
车司机看到甲车减速立马踩下刹车（司机反应时间忽路不计）做匀减速直线运动，则（
）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若两车不相撞，甲车在前6s内的位移大小为25m
B．若两车刹车前相距12m，乙车以加速度6m/s2刹车，可能在t=3s时撞上甲车
C．若两车刹车前相距25m，则乙车的加速度至少4m/s2才能避免两车相撞
D．若两车刹车前相距37.5m，则乙车的加速度至少3m/s2才能避免两车相撞
【答案】AC
【详解】A．若两车不相撞，甲车停止运动的时间为
v
t = 0甲=5s
1 a
则在前6s内的位移大小等于5s的位移，大小为
v
x = 0甲t =25m
1 2 1
选项A正确；
B．若两车刹车前相距12m，乙车以加速度6m/s2刹车，则两车共速时
v=v -at=v -a't
0甲 0乙
解得
t=2.5s
v=5m/s
则此时甲的位移
v +v
s = 0甲 t=18.75m
甲 2
乙的位移
v +v
s = 0乙 t=31.25m
乙 2
因
s +s 7m
1 2
故行人有危险，应抓紧避让。
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