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专题强化二 追及相遇问题
目标要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图像中分析追及相遇问题.3.熟练
运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题．
题型一 追及相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．追及相遇问题
的基本物理模型：以甲追乙为例．
1．二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲 增大、减小或不变，只要v甲 <v乙 ，甲、乙的距离就不断增大．
(2)若v甲 ＝v乙 ，甲、乙的距离保持不变．
(3)无论v甲 增大、减小或不变，只要v甲 >v乙 ，甲、乙的距离就不断减小．
2．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，
也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解
题的突破口．
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目
中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．
(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的
二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分
析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
4．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大．(2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不
上，二者之间有最小值．
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x ，当v ＝v 时，若x >x ＋x ，则能追上；若x
0 B A B A 0 B
＝x ＋x，则恰好追上；若x <x ＋x，则不能追上．
A 0 B A 0
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停
止运动．
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，
恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在
追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
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例2 汽车A以v ＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x ＝7 m处，有以v
A 0 B
＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的
加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
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[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式v t－at2＋x ＝v t，解得经过t＝7 s(另一解舍去)时A恰
B 0 A
好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以v ＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x ＝7 m处，有以v ＝10 m/s的
A 0 B
速度同方向运动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大
小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
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例3 (2023·江西赣州市高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一
通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道．如图所示，引桥与桥
面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s ＝4 m时，B车正以v ＝4 m/s
0 B
速度匀速行驶，A车正以v ＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前
A
方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程
的影响．(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车
匀减速，才能避免与B车相撞．
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安
全超车．
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题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作
出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化
为v－t图像进行分析．
考向1 x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
例4 (2023·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时
间(x－t)或速度－时间(v－t)图像，t 时刻两车恰好到达同一地点．关于两车在t～t 时间内的
1 1 2
运动，下列说法正确的是( )
A．若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大
B．若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小
C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小
D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大
听课记录：_______________________________________________________________
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例5 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3
s时并排行驶，则( )A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前方7.5 m处
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
听课记录：______________________________________________________________
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考向2 利用v－t图像分析追及相遇问题
例6 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均
为v ＝30 m/s.甲、乙相距x ＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度
0 0
随时间变化关系分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
听课记录：______________________________________________________________
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