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专题强化三 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
目标要求 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问
题．
题型一 动态平衡问题
1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平
衡状态．
2．做题流程
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3．常用方法
(1)图解法
此法常用于定性分析三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
(2)解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程或根据相似三角形、
正弦定理，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变
化确定因变量的变化．
考向1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下
的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示．
2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定
力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示．
例1 (多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A
的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A物体的半径为球B的半径的3
倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F，A对B的支
1
持力为F ，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F 、F 的变化情况分别是(
2 1 2
)A．F 减小 B．F 增大
1 1
C．F 增大 D．F 减小
2 2
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例2 (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间
均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
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考向2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等
平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值
相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝
例3 (2023·宁夏银川一中检测)如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，O 为光滑铰
1
链，O 为光滑定滑轮，且O 在O 正上方，细绳跨过O 与O连接，水平外力F作用于细绳
2 2 1 2
的一端．用F 表示铰链对杆的作用力，现在水平外力F作用下，θ从缓慢减小到0的过程中，
N
下列说法正确的是( )A．F逐渐变小，F 大小不变
N
B．F逐渐变小，F 逐渐变大
N
C．F先变小再变大，F 逐渐变小
N
D．F先变小再变大，F 逐渐变大
N
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2.一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利
用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不
同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
例4 (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另
一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)．现将重物向右上
方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
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一力恒定，另外两力方向均变化时常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用两力夹角不
变作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．考向3 “活结”的动态分析
如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，F sin θ ＝F sin θ ，故
T 1 T 2
θ＝θ＝θ，根据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d不变，则上下移动绳子结点，θ
1 2 3
不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2F cos θ＝mg，F ＝也减小．
T T
例5 如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光
滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向
C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力( )
A．先变大后不变 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
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题型二 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见
的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力F ＝0.
N
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临
界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向
极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画
出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用
平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
例6 如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，
另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力
F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)
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例7 如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，
向右以v ＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动．已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝
0
10 m/s2.求所需拉力F的最小值．
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