文档内容
2024 年高考数学摸底考试卷
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ,则
A．2 B． C． D．1
3．已知向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量 ，随机变量 ，若 ， ，则
（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．若函数 在 单调递减，则a的取值范围（ ）
1
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．已知点F、F 分别是椭圆 (a＞b＞0)的左、右焦点，过F 且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、
1 2 1
B两点，若△ABF 为正三角形，则椭圆的离心率是
2
A．2 B． C．3 D．
7．已知等差数列 的前 项和为 ，命题 “ ”，命题 “ ”，则命题 是命题
的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．在边长为6的菱形 中， ，现将菱形 沿对角线BD折起，当 时，三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．有一组样本甲的数据 ，一组样本乙的数据 ，其中 为不完全相等的正数，
则下列说法正确的是（ ）
A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C．若样本甲的中位数是 ，则样本乙的中位数是
D．若样本甲的平均数是 ，则样本乙的平均数是
10．已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
11．已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，则下列说法一定正确
的是（ ）
2
学科网（北京）股份有限公司A．函数 的周期为2 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 为偶函数 D．函数 的图象关于 对称
12．抛物线 的准线方程为 ，过焦点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，则
（ ）
A． 的方程为
B． 的最小值为
C．过点 且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条
D．过点 分别作 的切线，交于点 ，则直线 的斜率满足
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至
少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答)
14．已知正四棱台的侧棱长为3，两底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积为______
15．已知直线 与 交于A，B两点，写出满足“ 面积为 ”的m的
一个值______．
16．设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是____________．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17． 为数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求证：数列 为等差数列；
3
学科网（北京）股份有限公司(2)设 ，求数列 的前n项和 .
18．在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ,且 ．
(1)求角 的⼤小；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
19．如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 是直角梯形， ， ，
，点E在棱PB上．
(1)证明：平面 平面PBC；
(2)当 时，求二面角 的余弦值．
4
学科网（北京）股份有限公司20．为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取
4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是 且每道题正确完成与否互不
影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．
(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；
(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；
(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参
加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．
21．已知函数 在 处的切线方程为
(1)求实数 ， 的值；
(2)设函数 ，当 时， 恒成立，求 的最小值．
5
学科网（北京）股份有限公司22．设直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 ， 两点，且三角形 的面
积为 .
(1)求 的值；
(2)已知直线 与 轴不垂直且斜率不为0， 与 交于两个不同的点 ， ， 关于 轴的对称点为 ，
为 的右焦点，若 ， ， 三点共线，证明：直线 经过 轴上的一个定点.
6
学科网（北京）股份有限公司
