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专题 18 几何图形初步【十二大题型】
【题型1 从不同方向看几何体】..............................................................................................................................3
【题型2 由展开图计算几何体的表面积、体积】.................................................................................................4
【题型3 正方体的展开图】......................................................................................................................................5
【题型4 两点之间的距离】......................................................................................................................................6
【题型5 与线段中点有关的计算】..........................................................................................................................7
【题型6 角平分线的相关计算】..............................................................................................................................7
【题型7 与余角、补角、对顶角有关的计算】.....................................................................................................9
【题型8 利用平行线的判定进行证明】................................................................................................................10
【题型9 平行线判定或性质的实际应用】...........................................................................................................11
【题型10 由平行线的性质求解】............................................................................................................................12
【题型11 根据平行线性质与判定求角度】...........................................................................................................13
【题型12 根据平行线性质与判定证明】................................................................................................................14
【知识点 几何图形初步】
1.直线、射线、线段
(1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。
(2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。
(3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
(4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。
(5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量；
射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；
线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。
2.角
(1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。
(2)角的度量
1°=60′ 1′=60″
(3)角的分类
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①锐角(0°< α < 90°)
②直角(α = 90°)
③钝角(90°< α < 180°)
④平角(α =180°)
⑤周角(α =360°)
(4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
(5)角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(6)余角与补角
余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。
补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。
性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。
3.邻补角与对顶角
邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。
对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
注：对顶角相等。
如：∠1和∠2互为邻补角，∠2和∠3互为对顶角。
4.垂线
(1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线
叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
(2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3.同位角.内错角.同旁内角
如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。
5.平行线
(1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2)平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(3)平行线的性质
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两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(4)平行线的判定
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
【题型1 从不同方向看几何体】
【例1】（2023·湖南·统考中考真题）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰
富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶
“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）用3个同样的小正方体摆出的几何体，从三个方向看
到的图形分别如下图：
这个几何体是（ ）．
A． B． C． D．
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【变式1-2】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图所示是由五个大小相同的正方体搭成的几何
体，则关于它从正面看、从左面看、从上面看到的平面图形，下列说法正确的是（ ）
A．从正面看的图形面积最小 B．从上面看的图形面积最小
C．从左面看的图形面积最小 D．从三个方向看的图形面积一样大
【变式1-3】（2023·黑龙江牡丹江·统考二模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图
如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型2 由展开图计算几何体的表面积、体积】
【例2】（2023·江苏无锡·统考中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正
方形，则该直三棱柱的表面积为 ．
【变式2-1】（2023·四川·统考中考真题）某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（
）
A．200πcm3 B．500πcm3 C．1000πcm3 D．2000πcm3
【变式2-2】（2023·湖北·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数
据计算这个几何体的表面积为 cm2．
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【变式2-3】（2023·广西南宁·统考一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸
片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为30cm，宽为18cm，
AD=2AB，则该纸盒的容积为（ ）
A．960cm3 B．800cm3 C．650cm3 D．648cm3
【题型3 正方体的展开图】
【例3】（2023·湖南益阳·统考中考真题）下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·四川巴中·统考中考真题）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体
的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ）
A．传 B．承 C．文 D．化
【变式3-2】（2023·山东·统考中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K
距离最远的顶点是（ ）
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A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【变式3-3】（2023·山东青岛·统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，
5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，
则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【题型4 两点之间的距离】
【例4】（2023·山东·中考真题）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段
AC= cm．
【变式4-1】（2023·重庆江津·重庆市江津中学校校考二模）如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，
且线段AB+CD=5，则线段AD−BC=
【变式4-2】（2023·四川·中考真题）直线上依次有A，B，C，D四个点，AD=7，AB=2，若AB，BC，
CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为 ．
【变式4-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，AB=12cm，C，D两点分别
从点M，B出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，
点D在线段BM上）．
（1）当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
（2）若点C，D运时，总有MD=2AC，则AM=_______．
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MN
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求 的值．
AB
【题型5 与线段中点有关的计算】
【例5】（2023·河北沧州·模拟预测）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
(1)A、C两站的距离；
(2)C、D两站的距离；
(3)若a=6，C为AD的中点，求b的值．
【变式5-1】（2023·宁夏·统考中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC
的中点，线段AB=√2，则点C表示的数是 ．
【变式5-2】（2023·河南·模拟预测）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12，
AC=8，则CD= ．
【变式5-3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）有两道作图题：①“延长线段AB到C，使BC=AB”；
②“反向延长线段DE，使点D是线段EF的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、
淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点B是线段AC中点”；淇淇说：“如果线段DE=x cm，那么线段EF=3x
cm”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
【题型6 角平分线的相关计算】
【例6】（2023·山东·统考中考真题）如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那
么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为（ ）
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A．互余 B．相等 C．互补 D．不等
【变式6-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB
1
沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE= ∠EOC，再沿OE把角剪
2
开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB= °．
【变式6-2】（2023·河南·中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，
若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【变式6-3】（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边
形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB'O'C'，且∠OAC'=100°，则四边形ABOC旋转的
角度是 ．
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【题型7 与余角、补角、对顶角有关的计算】
【例7】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若
∠1=68°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．32° C．22° D．68°
【变式7-1】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若
∠AOC=140°，则∠BOD的度数为 ．
【变式7-2】（2023·河南·统考中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=80°，∠2=30°，则
∠AOE的度数为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．80°
【变式7-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，
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1
GF与CD交于点H，tan∠ABG= ，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为 ．
2
【题型8 利用平行线的判定进行证明】
【例8】（2023·贵州·统考中考真题）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，
CE=DF，求证：AE∥BF．
【变式8-1】（2023·江苏扬州·校考二模）完成下面的证明：已知：如图，∠1=30°，∠B=60°，
AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC =90°（ ），
∴在△ABC中，∠B+∠ACB=90°（ ），
∵∠B=60°（已知），
∴∠ACB=30°，
∵∠1=30°，
∴ = （ ），
∴AD∥BC（ ）．
【变式8-2】（2023·陕西西安·统考一模）如图，AD，BC相交于点O，OB=OC，OA=OD，延长AD
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到F，延长DA到E，AE=DF，连接CF，BE．求证BE∥CF．
【变式8-3】（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60度得到ΔDBE，点C
的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：BC//AD；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【题型9 平行线判定或性质的实际应用】
【例9】（2023·四川凉山·统考中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空
气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，
∠1=45°,∠2=120°，则∠3+∠4=（ ）
A．165° B．155° C．105° D．90°
【变式9-1】（2023·安徽滁州·校考一模）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上
的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的
光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1=∠2．
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(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，
请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会
随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
【变式9-2】（2023·山西吕梁·统考三模）如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回
归线，CD表示赤道，点P表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬
，太原市的纬度是北纬 ，而冬至正午时，太阳光直
23°26'(∠BOD=23°26') 37°32'(∠POD=37°32')
射南回归线（光线MB的延长线经过地心O），则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角α
的度数是 ．
【变式9-3】（2023·河北邯郸·统考一模）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道
MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，
B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动
10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋
转的时间是（ ）
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A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
【题型10 由平行线的性质求解】
【例10】（2023·西藏·统考中考真题）如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，
∠BAC=90°，∠1=30°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【变式10-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°，则∠D=
度．
【变式10-2】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF
按图中方式放置，点E在AB上，边GF、EF分别交CD于点H、K，若∠BEF=64°，则∠GHC等于
（ ）．
A．44° B．34° C．24° D．14°
【变式10-3】（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，若
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DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，则∠C= °．
【题型11 根据平行线性质与判定求角度】
【例11】（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B=∠D=80∘，
∠E=∠F=47∘，则图中∠G的度数是（ ）
A．80∘ B．76∘ C．66∘ D．56∘
【变式11-1】（2023·浙江·校联考中考模拟）如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个
直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2= ．
【变式11-2】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC
交弧BC于点D，连接DC， 若∠DCB＝34°，则∠BAC＝ ．
【变式11-3】（2023·河南周口·校联考二模）已知一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，
一等腰直角三角板绕点B旋转．
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(1)如图1所示，当等腰直角三角板的斜边交半圆于C点，一直边交半圆于D点，另一直边交半圆于E点，
若点C在量角器上的读数为25°，求此时点E在量角器上的读数；
(2)如图2所示，当点C、D在量角器上的读数α、β满足什么关系时，直角边与半圆O相切于点D？请说明
理由．
【题型12 根据平行线性质与判定证明】
【例12】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，
从D点引一条射线DE，若∠1=∠2，求证：∠B+∠CDE=180°．对于上述问题，请在以下解答过程的
空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
证明：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠BFH（对顶角相等），
∴∠BFD=（ ）（等量代换）．
∴BC∥（ ）．
∴∠C+∠CDE=180°（ ）．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠B=（ ）（两直线平行内错角相等）．
∴∠B+∠CDE=180°．
【变式12-1】（2023·宁夏·统考中考真题）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，
∠EDC=∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形．
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【变式12-2】（2023·辽宁大连·统考二模）如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H
在BD上，DE=BF，DH=BG．求证： EH∥GF．
【变式12-3】（2023·江苏南京·校联考一模）如图1，AB∥CD，点E，F在AB上，点G在CD上，点P
在AB，CD之间，连接EG，GP，PF，∠AFP=∠EGD．
(1)求证：PF∥GE；
(2)如图2，EN平分∠AEG交CD于点N，PG∥EN，FM平分∠PFB， ∠¬:∠MFB=11:7，求
∠FPG的度数；
(3)如图3，EN平分∠AEG交CD于点N，PG∥EN，FM平分∠PFB，GM平分∠PGD，FM，GM
交于点M，∠¬:∠MFB=x:y，∠FMG=50°，直接写出x : y的值．
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